- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
- •Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних
- •1. Об'єм циліндричного тіла
- •2. Означення подвійного інтеграла
- •3. Властивості подвійного інтеграла
- •4. Обчислення подвійного інтеграла
- •5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії Площа плоскої фігури.
- •Площа поверхні.
- •6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці Маса плоскої пластини.
- •Статичні моменти.
- •Координати центра мас.
- •Моменти інерції.
- •7. Поняття про потрійний інтеграл
- •8. Заміна змінних в потрійному інтегралі
- •9. Застосування потрійного інтеграла у фізиці
- •Розділ 7. Ряди
- •1. Числові ряди. Основні поняття
- •2. Властивості числових рядів
- •3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів Ознака порівняння.
- •Ознака порівняння в граничній формі.
- •Ознака Даламбера.
- •Радикальна ознака Коші.
- •Інтегральна ознака Коші.
- •5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца
- •Ознака Лейбніца.
- •6. Знакозмінні числові ряди
- •7. Функціональні ряди. Основні поняття
- •8. Область збіжності степеневого ряду
- •9. Ряди Тейлора і Маклорена
- •10. Розвинення функцій в ряд Маклорена
- •11. Застосування степеневих рядів
- •Обчислення значень функцій.
- •Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Доведення формули Ейлера.
- •12. Динамічні ряди
- •Розділ 8. Диференціальні рівняння
- •1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Диференціальні рівняння першого порядку з подільними змінними.
- •Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах.
- •3. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Загальні властивості.
- •4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих
- •6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •7. Системи диференціальних рівнянь
- •Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •8. Задачі економічної динаміки
Інтегрування трансцендентних функцій.
Інтеграли виду
(5.15)
де раціональна функція змінних і завжди можна звести до інтегралів від раціональних функцій за допомогою підстановки (її називають універсальною тригонометричною підстановкою)
(5.16)
Ця підстановка перетворює інтеграл (5.16) до виду
(5.17)
Помітимо, що підстановка (5.16) часто призводить до громіздких викладок, тому її використовують тоді, коли не знайдено інших шляхів інтегрування.
Якщо підінтегральна функція має одну із властивостей
1)
2)
3)
то для обчислення інтегралу зручно використовувати підстановки
1) 2)
3)
Приклад 5.27. Обчислити інтеграл
Розв’язання. Тут тому, поклавши одержимо
Інтеграли виду
(5.18)
де раціональна функція змінних і , завжди можна звести до інтегралів від раціональних функцій з допомогою підстановки Іноді зручно використовувати підстановки
Інтеграли виду
(5.19)
підстановками або і відповідно або завжди можна звести до інтегралів від диференціального бінома.
Зауважимо, що при досить великих степенях зручно застосовувати формули зниження (одержані інтегруванням частинами):
Інтеграли виду
(5.20)
обчислюються після перетворення добутку тригонометричних функцій в алгебраїчну суму за допомогою формул тригонометрії:
;
;
.
Приклад 5.28. Обчислити .
Розв’язання. Використаємо тригонометричні формули:
Тоді
Інтеграли виду
(5.21)
де многочлен степеня а одна з наступних функцій: обчислюються за допомогою багатократного інтегрування частинами.
Зауважимо, що має місце формула Ейлера
яку можна використати для контролю при обчисленні відповідних інтегралів.
Інтеграли від трансцендентних функцій часто не виражаються через елементарні функції. До таких інтегралів відносяться, наприклад, такі, які часто зустрічаються:
; ; (5.22)
(5.23)
Первісні (5.22), які при перетворюються в нуль, позначаються відповідно (інтегральний синус) та (інтеграл ймовірностей). Первісна (5.23), яка прямує до нуля при позначається та називається інтегральним логарифмом.
5. Поняття визначеного інтегралу
Нехай функція визначена на сегменті і довільне розбиття цього сегменту на частин. Позначимо Виберемо на кожному із сегментів точку і складемо вираз
(5.24)
який назвемо інтегральною сумою.
Означення 5.3. Якщо існує скінчена границя яка не залежить від способу розбиття сегмента і вибору точок то число називають означеним інтегралом функції на сегменті і позначають
(5.25)
функцію називають інтегрованою по Ріману на сегменті .
Означення 5.4. Нижньою та верхньою сумами Дарбу функції на сегменті при фіксованому розбитті цього сегмента, називають відповідно суми
(5.26)
де
Теорема 5.2. Для того, щоб функція була інтегрованою на сегменті необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність
(5.27)
де коливання функції на сегменті .
Зокрема неперервна функція, кусочно-неперервна функція і монотонна на сегменті інтегровані на ньому.