- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
- •Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних
- •1. Об'єм циліндричного тіла
- •2. Означення подвійного інтеграла
- •3. Властивості подвійного інтеграла
- •4. Обчислення подвійного інтеграла
- •5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії Площа плоскої фігури.
- •Площа поверхні.
- •6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці Маса плоскої пластини.
- •Статичні моменти.
- •Координати центра мас.
- •Моменти інерції.
- •7. Поняття про потрійний інтеграл
- •8. Заміна змінних в потрійному інтегралі
- •9. Застосування потрійного інтеграла у фізиці
- •Розділ 7. Ряди
- •1. Числові ряди. Основні поняття
- •2. Властивості числових рядів
- •3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів Ознака порівняння.
- •Ознака порівняння в граничній формі.
- •Ознака Даламбера.
- •Радикальна ознака Коші.
- •Інтегральна ознака Коші.
- •5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца
- •Ознака Лейбніца.
- •6. Знакозмінні числові ряди
- •7. Функціональні ряди. Основні поняття
- •8. Область збіжності степеневого ряду
- •9. Ряди Тейлора і Маклорена
- •10. Розвинення функцій в ряд Маклорена
- •11. Застосування степеневих рядів
- •Обчислення значень функцій.
- •Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Доведення формули Ейлера.
- •12. Динамічні ряди
- •Розділ 8. Диференціальні рівняння
- •1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Диференціальні рівняння першого порядку з подільними змінними.
- •Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах.
- •3. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Загальні властивості.
- •4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих
- •6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •7. Системи диференціальних рівнянь
- •Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •8. Задачі економічної динаміки
10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
Нехай потрібно обчислити визначений інтеграл , де функція неперервна на відрізку . При цьому диференційована функція на відрізку , причому , . Покажемо, що
. (5.33)
Дійсно, за формулою Ньютона–Лейбніца
,
де – деяка первісна для функції на відрізку . Оскільки при цьому функція є первісною для функції на відрізку , то
.
Враховуючи, що , , одержуємо , тобто формула (5.33) вірна.
Приклад 5.30. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. Замінимо , . Якщо змінюється від 0 до 1, то змінна змінюється від 0 до . Застосовуючи формулу (5.33) одержуємо
Зауваження. Варто звернути увагу на те, що при обчисленні визначеного інтеграла за допомогою заміни змінної немає необхідності повертатися до колишньої змінної.
11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
Нехай функції і неперервні на відрізку і мають на цьому відрізку неперервні похідні. Тоді диференціал їхнього добутку дорівнює: .
Проінтегрувавши рівність на відрізку , одержимо
.
Оскільки , то формула набуває вигляду , звідки
. (5.34)
Приклад 5.31. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. Нехай , . Тоді , . Застосовуючи формулу (5.34), одержимо
12. Невласні інтеграли
Вводячи визначений інтеграл як границю інтегральної суми, припускали, що відрізок інтегрування скінченний, а підінтегральна функція на ньому неперервна.
Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, дане визначення втрачає зміст, а визначений інтеграл називається невласним.
Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
Нехай функція неперервна на проміжку . Тоді вона є неперервною на будь-якому відрізку , що належить проміжку й існує її визначений інтеграл
.
При цей інтеграл є функцією своєї верхньої границі і тоді
. (5.35)
Якщо така границя існує і скінченна, інтеграл називається збіжним; якщо ж границя нескінченна чи не існує, то він розбіжний.
Приклад 5.32. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. Згідно (5.35) маємо
Рис. 5.4.
Приклад 5.33. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. Застосовуючи формулу (4.14), одержуємо
тобто інтеграл розбіжний.
Аналогічно, якщо функція неперервна на , то
, (5.36)
може бути як збіжним, так і розбіжним.
Приклад 5.34. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. За означенням
– інтеграл збіжний.
Очевидно, що результат залежить від поведінки первісної при .
Для функції , неперервної на всій числовій осі, невласний інтеграл визначається рівністю де – будь-яке число. Якщо хоча б один з інтегралів правої частини рівності розбіжний, інтеграл теж розбіжний.
Невласні інтеграли мають властивості, аналогічні властивостям визначених інтегралів.
Зокрема, якщо ввести умовні позначки то одержимо для розглянутих інтегралів узагальнення формули Ньютона–Лейбніца:
;
;
.