Спосіб парабол.

Поділимо відрізок на парне число рівних частин ( ). Площу двох сусідніх смуг розбивки обчислимо приблизно як площу, обмежену параболою , що проходить через точки , , .

Коефіцієнти , , легко обчислити, враховуючи, що парабола проходить через три заданих точки (рис. 5.8).

Обчислимо попередньо площу з основою . Для цього виберемо допоміжну систему координат, направивши вісь вздовж прямої (рис. 5.9)

Беручи суми площ смуг по дві, одержуємо

або

(5.44)

Рис. 5.8.	Рис. 5.9.

Якщо існує й обмежена на відрізку четверта похідна підінтегральної функції , то оцінку результату можна одержати за формулою

, (5.45)

де – найбільше значення модуля .

Приклад 5.37. Обчислити за формулою трапецій , прийнявши .

Розв’язання. Попередньо оцінимо точність результату. Оскільки , то , . На відрізку . Тоді за формулою . Отже, при обчисленні інтеграла за формулою трапецій значення функції в точках ділення потрібно обчислити не більш, ніж із трьома десятковими знаками.

Обчислення записуємо в таблицю

xi	–x^2
0,0	–0,00	1,000
0,2	–0,04	0,961
0,4	–0,16	0,852
0,6	–0,36	0,698
0,8	–0,64	0,527
1,0	–1,00	0,368

За формулою (5.42) одержимо

.

14. 14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.

На підставі задачі про площу криволінійної трапеції і означення визначеного інтеграла можна стверджувати, що площа фігури, обмеженої відрізком вісі , прямими , і графіком невід’ємної функції (рис. 5.10.) обчислюється за формулою

. (5.46)

Якщо ж функція неперервна і не додатня на відрізку , то для неї . Абсолютне значення цього інтеграла дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої зверху відрізком вісі , прямими , і знизу графіком невід’ємної функції (рис. 5.11).

Рис. 5.10.	Рис. 5.11.

У цьому випадку

. (5.47)

Якщо ж функція неперервна на відрізку і не знакостала, то визначений інтеграл дорівнює алгебраїчній сумі площ криволінійних трапецій, що лежать над і під віссю . У цю суму площі криволінійних трапецій, що лежать над віссю , входять зі знаком плюс, а площі криволінійних трапецій, що лежать під віссю , зі знаком мінус (рис. 5.12).

Розглянемо фігуру (рис. 5.13).

Якщо обидві функції і на відрізку невід'ємні чи не додатні, то площу фігури можна обчислити як різницю площ криволінійних трапецій і , тобто або

. (5.48)

Рис. 5.12.	Рис. 5.13.

Можна сказати, що формула (5.48) справедлива і для випадку коли функції різних знаків на відрізку .

Площі фігур більш складного вигляду звичайно обчислюються за допомогою визначеного інтеграла після попередньої розбивки їх на частини зазначеного вище типу.

Приклад 5.38. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, заданими рівняннями (рис. 5.14).

Розв’язання. Площу зображеної на фігури обчислюємо, використовуючи формулу (5.48).

Знайдемо границі інтегрування. Із системи рівнянь маємо .

За формулою (5.48) обчислимо площу

(кв.од.).

Рис. 5.14.

У розглянутих випадках межі криволінійних трапецій задаються своїми явними рівняннями. Нехай тепер лінія, що обмежує трапецію зверху, задана параметричними рівняннями

,

Відомо, що . Обчислення площі S зведеться до заміни змінної в основній формулі

, (5.49)

де .

Приклад 5.39. Обчислити площу, обмежену еліпсом, заданим рівняннями (рис. 5.15):

Розв’язання. Обчислимо частину площі, обмеженої еліпсом, розташовану в першій чверті

Рис. 5.15.

. Виконуючи заміну змінної,

З рівняння одержали , відповідно з рівняння – .

Внаслідок симетричності еліпса відносно осей координат