6. 6. Геометричний зміст визначеного інтеграла

Нехай у площині дана фігура, обмежена відрізком вісі , прямими , і кривою , де – неперервна, невід’ємна на відрізку функція (рис. 5.1). Будемо називати таку фігуру криволінійною трапецією. Потрібно обчислити площу цієї трапеції.

Рис. 5.1.

Розіб'ємо відрізок на частин довільними точками . Через точки поділу проведемо прямі , , …, , …, , розбиваючи криволінійну трапецію на криволінійних трапецій. Виберемо на кожному з відрізків довільну точку і побудуємо прямокутники з основою і висотою . Площу кожної трапеції з основою обчислимо наближено, як площу прямокутника з такою же основою і висотою : .

Площу криволінійної трапеції з основою обчислимо наближено як площу східчастої фігури, складеної з прямокутників із основами , одержимо

За площу криволінійної трапеції природно прийняти границю, до якої прагнуть площі побудованих зазначеним способом східчастих фігур при наближенні до нуля відрізків , що можливо при необмеженому збільшенні їхнього числа, тобто

. (5.28)

Виходячи з формули (5.28) та означення визначеного інтегралу можна стверджувати, що дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої відрізком вісі , прямими , і кривою .

7. 7. Економічний зміст визначеного інтеграла

Нехай функція описує зміну продуктивності деякого виробництва з часом. Знайдемо обсяг продукції , виготовленої за проміжок часу .

Зазначимо, якщо продуктивність праці не змінюється з часом ( – постійна функція), то обсяг продукції , виготовлений за деякий проміжок часу , задається формулою . У загальному випадку справедлива наближена рівність , де , що виявляється тим точнішою, чим менше значення .

Розіб'ємо відрізок на проміжки часу точками . Для обсягу продукції , виготовленої за проміжок часу , маємо

, де , , .

Тоді

.

Звідки

.

Отже, якщо – продуктивність праці в момент часу , то – обсяг продукції, що випускається, за проміжок , а – обсяг продукції, що випускається, за проміжок .

8. 8. Властивості визначеного інтеграла

Основні властивості визначених інтегралів наступні.

1) Значення визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування, тобто

.

Це твердження безпосередньо випливає з означення інтеграла як числа, рівного границі інтегральних сум.

У випадку невід’ємної підінтегральної функції це особливо очевидно, тому що площа відповідної криволінійної трапеції не залежить від позначення осі абсцис.

2) Визначений інтеграл змінює знак при перестановці меж інтегрування, тобто

.

Нехай . Тоді при складанні інтегральних сум, різниці додатні для лівої частини рівності і від'ємні для правої частини рівності, що і пояснює властивість.

3) Інтеграл від диференціалу змінної дорівнює: .

Дійсно, тут і

4) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю, тобто .

5) Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченного числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів цих функцій, тобто

Справді, за означенням

6) Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто

Доведення цієї властивості аналогічне до доведення властивості 5.

7) Якщо відрізок розбитий точкою на дві частини і , то

.

8) Якщо в кожній точці відрізка , то

.

Справді, будь-яка інтегральна сума для функції на відрізку невід'ємна, тому що і . Отже, .

Наслідок. Якщо функція парна, то .

Якщо ж функція непарна, то .

9) Якщо в кожній точці відрізка то

.

Дійсно, , оскільки

10) Якщо функція неперервна на відрізку і – найменше значення функції, – найбільше значення функції, тобто , то

.

Справді, на підставі властивості 9:

;

.

Звідки .

Ця властивість може бути використана для оцінки величини визначеного інтеграла.