- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
- •Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних
- •1. Об'єм циліндричного тіла
- •2. Означення подвійного інтеграла
- •3. Властивості подвійного інтеграла
- •4. Обчислення подвійного інтеграла
- •5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії Площа плоскої фігури.
- •Площа поверхні.
- •6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці Маса плоскої пластини.
- •Статичні моменти.
- •Координати центра мас.
- •Моменти інерції.
- •7. Поняття про потрійний інтеграл
- •8. Заміна змінних в потрійному інтегралі
- •9. Застосування потрійного інтеграла у фізиці
- •Розділ 7. Ряди
- •1. Числові ряди. Основні поняття
- •2. Властивості числових рядів
- •3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів Ознака порівняння.
- •Ознака порівняння в граничній формі.
- •Ознака Даламбера.
- •Радикальна ознака Коші.
- •Інтегральна ознака Коші.
- •5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца
- •Ознака Лейбніца.
- •6. Знакозмінні числові ряди
- •7. Функціональні ряди. Основні поняття
- •8. Область збіжності степеневого ряду
- •9. Ряди Тейлора і Маклорена
- •10. Розвинення функцій в ряд Маклорена
- •11. Застосування степеневих рядів
- •Обчислення значень функцій.
- •Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Доведення формули Ейлера.
- •12. Динамічні ряди
- •Розділ 8. Диференціальні рівняння
- •1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Диференціальні рівняння першого порядку з подільними змінними.
- •Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах.
- •3. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Загальні властивості.
- •4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих
- •6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •7. Системи диференціальних рівнянь
- •Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •8. Задачі економічної динаміки
Диференціальні рівняння першого порядку з подільними змінними.
Розглянемо рівняння вигляду
, (8.5)
яке називається рівнянням з розділеними змінними. Дане рівняння є рівністю двох диференціалів деяких функцій, з чого випливає, що функції або рівні, або розрізняються на довільну сталу. Розв'язок рівняння одержимо, проінтегрувавши рівність
.
Рівняння з подільними змінними має вигляд
. (8.6)
Розділимо змінні, тобто перетворимо рівняння так, щоб біля диференціала стояла множником функція аргументу , а біля диференціала відповідно функція аргументу . Для цього поділимо рівняння на добуток функцій, що стоять біля “чужих” диференціалів , одержимо рівняння з розділеними змінними
.
Проінтегрувавши, прийдемо до розв'язку у вигляді
.
Рівняння є рівнянням з подільними змінними, тільки якщо , тоді замінивши на і, помноживши рівняння на , одержимо рівняння з розділеними змінними:
, , , , .
Рівнянням такого типу є рівняння . Знайдемо його загальний розв'язок, розділяючи змінні. Будемо мати
, , .
Запишемо довільну сталу у вигляді , що не змінить її змісту, тоді
.
Звідки – загальний розв'язок рівняння.
Розв’яжемо диференціальне рівняння
де шукана функція визначає чисельність населення. Нехай .
Розділимо змінні, одержимо . Проінтегрувавши, знайдемо, що , і, остаточно, – загальний розв'язок диференціального рівняння.
Обчислимо значення довільної сталої, виходячи з початкових умов.
Отже формула для визначення чисельності населення має такий вигляд:
де – численність населення в початковий момент часу; – коефіцієнт природного приросту; – число років.
Наприклад, якщо в деякий державі чисельність населення на даний момент часу 100 млн осіб, коефіцієнт природного приросту , то через 5 років чисельність населення цієї держави буде дорівнювати: млн осіб.
Приклад 8.1. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння , що задовольняє початковій умові .
Розв’язання. Дане рівняння є рівнянням з подільними змінними. Поділимо ліву і праву частину рівності на , одержимо: , , , або , . Звідки – інтеграл диференціального рівняння. Графіком інтеграла даного диференціального рівняння є сім’я кіл з центром у точці на вісі абсцис і радіусом . Надаючи різні значення, одержимо різні інтегральні криві сім’ї. Щоб знайти частинний розв'язок рівняння, підставимо значення у загальний розв'язок і обчислимо відповідне значення : Звідки , або . Отже, частинним розв'язком рівняння є функція .
Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
Будемо називати функцію однорідною -го порядку, якщо для неї справедлива тотожність
.
Наприклад, функція є однорідною другого порядку, тому що .
Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо функція є однорідною нульового порядку.
Можна показати, що однорідна функція нульового порядку може бути зведена до функції вигляду .
Наприклад, ,
У такому випадку диференціальне рівняння набуває вигляду
(8.7)
Підстановкою рівняння можна звести до рівняння з подільними змінними. Дійсно, замість заданого рівняння (8.7) після підстановки одержимо рівняння або
Оскільки , то розділяємо змінні, і, інтегруючи, прийдемо до розв'язку .
Замінюючи в цьому розв'язку допоміжну функцію на приходимо до відповіді.
Приклад 8.2. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння .
Розв’язання. Функція правої частини рівняння є однорідною нульового порядку, тому що
.
Розв’яжемо рівняння , ввівши заміну , Після підстановки в рівняння нової змінної, одержимо або – диференціальне рівняння з подільними змінними , де – шукана функція.
Після розділу змінних прийдемо до виразу . Оскільки то одержимо розв'язок у вигляді чи .
Оскільки , остаточний розв'язок приймає вигляд або .
Диференціальне рівняння вигляду
(8.8)
буде однорідним, якщо і однорідні функції одного порядку.
Дійсно, розв’язуючи рівняння (8.8) відносно , одержимо
,
де – однорідна функція нульового порядку.
Приклад 8.3. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння , якщо .
Розв’язання. У даному рівнянні однорідні функції другого порядку. Розділимо рівняння на і розв'яжемо його відносно , одержимо
.
Замінимо , отримаємо або .
Після поділу змінних прийдемо до рівняння . Звідки або .
Замінюючи , одержимо або – загальний інтеграл рівняння. Підставимо в загальний розв'язок початкові умови і знайдемо значення . Отже, частинний розв'язок заданого рівняння, що задовольняє початковій умові, має вигляд .