- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
- •Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних
- •1. Об'єм циліндричного тіла
- •2. Означення подвійного інтеграла
- •3. Властивості подвійного інтеграла
- •4. Обчислення подвійного інтеграла
- •5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії Площа плоскої фігури.
- •Площа поверхні.
- •6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці Маса плоскої пластини.
- •Статичні моменти.
- •Координати центра мас.
- •Моменти інерції.
- •7. Поняття про потрійний інтеграл
- •8. Заміна змінних в потрійному інтегралі
- •9. Застосування потрійного інтеграла у фізиці
- •Розділ 7. Ряди
- •1. Числові ряди. Основні поняття
- •2. Властивості числових рядів
- •3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів Ознака порівняння.
- •Ознака порівняння в граничній формі.
- •Ознака Даламбера.
- •Радикальна ознака Коші.
- •Інтегральна ознака Коші.
- •5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца
- •Ознака Лейбніца.
- •6. Знакозмінні числові ряди
- •7. Функціональні ряди. Основні поняття
- •8. Область збіжності степеневого ряду
- •9. Ряди Тейлора і Маклорена
- •10. Розвинення функцій в ряд Маклорена
- •11. Застосування степеневих рядів
- •Обчислення значень функцій.
- •Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Доведення формули Ейлера.
- •12. Динамічні ряди
- •Розділ 8. Диференціальні рівняння
- •1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Диференціальні рівняння першого порядку з подільними змінними.
- •Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах.
- •3. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Загальні властивості.
- •4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих
- •6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •7. Системи диференціальних рівнянь
- •Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •8. Задачі економічної динаміки
3. Властивості подвійного інтеграла
Доведення властивостей подвійного інтеграла безпосередньо випливають з його означення.
1) Подвійний інтеграл має властивість інваріантості – не залежить від позначення змінних інтегрування.
2) Сталий множник можна виносити за знак подвійного інтеграла:
.
3) Подвійний інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі подвійних інтегралів від доданків:
.
4) Якщо область розбита на дві області, які не перетинаються, то
.
Доведення випливає з геометричного змісту подвійного інтеграла (рис. 6.3).
Рис. 6.3.
5) Якщо всюди в області , то
.
6) Якщо всюди в області , то
.
7) Модуль подвійного інтеграла не перевищує подвійного інтеграла модуля функції, що інтегрується, тобто
.
8)Якщо в області , то .
Ця властивість дозволяє використовувати подвійні інтеграли для обчислення площин плоских фігур.
9) Якщо функція неперервна в замкненій області , то справедлива нерівність
,
де – найменше значення функції в області ; – найбільше значення функції в області ; – площа області інтегрування.
Приклад 6.1. Оцінити інтеграл , де – квадрат, обмежений лініями , , , .
Розв’язання. Для функції маємо
, .
Оскільки площа області інтегрування , то .
Якщо приймемо значення інтеграла рівним середньому арифметичному нижньої і верхньої оцінок, то одержимо
.
Точне значення інтеграла .
Теорема 6.1 (теорема про середнє значення інтегралу). Якщо функція неперервна в замкненій області , то в цій області існує така точка , що
.
Дійсно, згідно властивості 9 подвійного інтеграла
.
Поділивши нерівність на , одержимо: . Оскільки функція неперервна в замкнутій області, то вона приймає всі проміжні значення. Отже, в області знайдеться така точка , що
, тобто .
Для невід’ємної в області функції теорема допускає таке геометричне тлумачення: об'єм циліндричного тіла з основою, що обмежене поверхнею , дорівнює об'ємові прямого циліндра з тією ж основою і висотою, рівною значенню функції у деякій точці області (рис. 6.4).
Рис. 6.4.
4. Обчислення подвійного інтеграла
Будемо називати область простою відносно , якщо будь-яка пряма, перпендикулярна до вісі перетинає область не більш, ніж у двох точках (рис. 6.5). Таку область можна задати за допомогою системи нерівностей:
Аналогічно область будемо називати простою відносно , якщо будь-яка пряма, перпендикулярна до вісі перетинає область не більш, ніж у двох точках (рис. 6.6). Таку область можна задати за допомогою системи нерівностей:
|
|
Рис. 6.5. |
Рис. 6.6. |
Теорема 6.2. Подвійний інтеграл по простій області може бути обчислений за допомогою повторного інтегрування за однією з формул:
; (6.3)
. (6.4)
Очевидно, що для функції неперервної в області ,
,
тобто подвійний інтеграл не змінюється від зміни порядку інтегрування.
Зауваження. Якщо й область – прямокутна, задана системою нерівностей
то
.
Можна запропонувати такий порядок обчислення подвійного інтеграла.
1. Побудувати плоску область S і записати її нерівностями як просту відносно x або як просту відносно y.
2. Розставити границі інтегрування у повторному інтегралі.
3. Обчислити внутрішній інтеграл.
4. Обчислити зовнішній інтеграл.
Приклад 6.2. Обчислити подвійний інтеграл по області, що обмежена лініями y=0, y=x2, x=2 (рис. 6.7).
Рис.
6.7.
Тоді .
Обчислимо внутрішній інтеграл:
.
Проінтегруємо отриману функцію за аргументом :
.
Звичайно при обчисленні інтеграла запис не переривають і записують так:
Якщо розглянути область як просту відносно , то її можна записати системою нерівностей
Тоді
Нехай область інтегрування задана в полярній системі координат. Будемо називати область простою відносно , якщо будь-який промінь, що проходить через внутрішню точку області, перетинає її межі не більш, ніж у двох точках (рис. 6.8).
Рис. 6.8.
Введемо поняття подвійного інтеграла для функції заданої в полярній системі координат.
Складемо інтегральну суму для заданої функції. Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способу розбивання області на елементарні ділянки, розіб'ємо область найбільш зручним способом: променями і концентричними колами , , ..., (рис. 6.9).
Інтегральна сума для даної функції буде мати вигляд:
.
Якщо існує границя такої інтегральної суми за умови, що площа найбільшої ділянки розбиття прямує до нуля, то вона і буде називатися подвійним інтегралом функції по області у полярних координатах, тобто
. (6.5)
Рис. 6.9.
Обчислимо елемент площі у полярній системі координат як площу прямокутника (рис. 6.9):
.
Тоді формула (6.5) набуде вигляду
. (6.6)
Для обчислення подвійного інтеграла його потрібно замінити повторним. Якщо область проста відносно , то
. (6.7)
Іноді подвійний інтеграл у полярних координатах обчислюється набагато простіше, ніж у декартових. Тому треба вміти виконувати перехід від декартових координат до полярних в самому інтегралі, застосовуючи формули переходу
, , .
Тоді
. (6.8)
Приклад 6.3. Обчислити по чверті кільця , що лежить у першому квадранті (рис. 6.10).
Рис.
6.10.
Тоді
.
Зауваження. До полярної системи координат має сенс переходити у випадку, якщо область інтегрування обмежена колом чи її частиною або в підінтегральній функції міститься вираз .