Математический анализ в примерах и задачах

Ответы к задачам главы 6

93

65. 1 x2 arctgx ln x 1 x2 C.

67. xln(x2 1) 2x 2arctgx C.

66.	x2		1	xsin2x	1	cos2x C.
4		4			8

x1

68.C 2(1 x2) 2arctgx.

69.		(x3						1)ln(1 x)																	x3						x2						x				C .
							3
																						9						6				3
70.	x2 1										(arctgx)2 xarctgx																								1			ln(1 x2) C.
					2																											2
71.	2(																		arcsin											) C .
								x								1 x													x
72.						eax									(bsinbx acosbx) C .																														73.			e3x		(sin2x 5cos2x) C.
			a2 b2																																										13
		x																																									x									a2
																																															2		2											2	2
74.					(coslnx sinlnx) C.																											75.															a x							ln		x			a		x			C.
	2																																						2												2
		e x						cos2x 2sin2x
76.																																	C.												77. C ln1 x												5 2x x2
																													1																																					.
					2										5
78.		1		arscin									3x					2			C.							79.				1								x 2							C .				80.			2	arctg				1 2x			C .
																																		ln
																																								x 5													3
	3														2																	7																													3
81. C 8																									3arcsin											x						1		.
												5 2x x2
																																							6
82.		29				arctg								5x 3									3			ln(5x2							6x 18) C.
	45
															9							10

83.3x2 2x 2 4ln x 1 x2 2x 2 C .

84.1ln(x2 2x 2) arctg(x 1) C . 2

85.3x2 4x 5 ln x 2 x2 4x 5 C .

86.

2

ln

3x2 2x 5

20

arctg

3x

1

C .

3

x

3

14

14

2

x

87.

ln

C .

88.

arcsin

1

C. 89.

arcsin

C .

1 1 x2

x 1

x 5

90.

ln

(x 1)4

(x 4)5

C .

91.

x3

x

2

4x ln

x2(x 2)5

C .

(x 3)7

(x 2)3

3

2

94 Г л а в а 6. Неопределенный интеграл

92.

5x 2ln

x

3ln

x 2

4ln

x 2

C .

x1/2(x 4)161/6

93.

5x ln

C .

(x 1)7/3

94.

ln

2x 1

6ln

2x 3

5ln

2x 5

C .

1

x

1

x

95.

ln

2

ln

3

C .

x

x

2

2

2

2 3

3

96.

x2

ln

x(x 2)

(x 1)(x 1)3

C.

2

x 2

97. 1ln x 7 ln x 2 17 ln x 3 C.

		6										2																															3
98.		x2										1										2																			C .																				99. ln								x2								6				C.
		2																							(x 1)2																																										x 1									x 1
												x 1
100.				4										ln										x 1											C .												101.						C					1																	1						ln					x 2					.
			x 2																																																							3(x 2)3															2(x 2)2
																																																																	x
102.				1								ln											(x 1)(x 3)																							C.						103.						1															1				1				1								C.
																																																														ln													1
			x 1																													x																															x 2										x
																																																													4																2x					2(x 2)
104.												13																	3																			x 4					C. 105.																						3			ln						x 5				C .
																																						2ln
						2(x 4)2																								x 4																		x 2																					2(x 2)2
106.			1		ln												x 1																								1					arctg					2x					1				C .
		3													x2 x 1																										3											3
107.		ln							(x2 2x 5)3																																		1				arctg						x 1							C .
																	x 1																										2									2
108.			1		ln							x 1														1					ln(x2										1)											1									C .
		2																				4																												2(x 1)
		1														x2								1																							7
109.						ln																									arctg x																											C .
																																																							2
		4														x 1																																	(x 1)

110.x2 2x 2 2ln(x2 2x 2) 2arctg(x 1) C. 2 x

Ответы к задачам главы 6																																											95
				x2 4						3													x			3															x
111.																																				2										2				C .
	ln														arctg																								arctg
					x2 2					2											2					2																	2
	1						x2			x										1																				x
112.						ln													2														2			arctg									2
																																																		C .
		4 2 x2 2 2x 1																								4													1 x2
113.			2 x									ln(x2									2)					1																	x
																																							arctg									C .
		4(x2 2)								2																4										2							2
114.			x 1								1		ln					x 1										1				ln(1 x2) C .
		2(x2 1)								2																4

115.3ln x2 2x 5 2arctg x 1 C .

x2

	1						x2 1								1				1			x
116.				ln															arctgx		arctg		C .
	16						x2 9
															8				24		3
117.	1					x 1									1		arctg x C.				118.			1								x		C .
			ln																								arctg		2tg
	4					x 1									2									2
																													2
	1																							2				5tg		x		4
119.										C .											120.					arctg			2						C
		2 tg						x																3					3
						2

4					1			x
121. ln(2 cosx)				arctg			tg			C .
					3
3							2

		x		C.
	122. arctg tg		1
		2

				tg			x		5																												x
																									1									3tg
123.	ln						2					C .							124.									arctg											C.
							x																	15											5
				tg					3
							2
125.		1	arctg(3tg x) C .																126.				1		tg	4				x	1		tg		2			x ln			cosx					C.
	3																						4								2
127.					1					7					1		5			1		3
		x					ctg				x					ctg		x			ctg		x ctgx 3.
					7										5				3
128.	arctg(tg x 2) C .																		129.2											C .						130. 44								C.
																									tgx																		tg x
		1				tgx 5																					1
131.			ln											C .						132. C										tg x(2 tg2 x)													4 ctg2 x C .
	5
							tgx																			3

133. 1 cos3 x(3cos2 x 5) C. 134. cos2 x 3cosx 8ln cosx 3 C .

15

2

	96																																																																																	Г л а в а																6.								Неопределенный интеграл
	135.					1								sin x																	3																				2sin x 1																									C .																136. ln																			tgx																1								C .
																																								ln
																																																			2sin x 1																																																																												2sin2
		4																												16																																																																																																							x
		5														1																																											4											5														2		15
	137.											x																	sin2x																	cos																	x																cos							x													C.
		16
																12																																																						4																18
	138.	C																		cosx																						1																				x
																																																		ln							tg									.
																	2sin2																																											2
																														x												2
	139.		(tg2 x 1)(tg4																																							x 10tg2 x 1)																																									C .
																																	3tg3 x
	140.	sin x sin																											3			x														3						sin						5			x										1						sin					7			x C .																			141.												x											sin4x						C .
																																										5																												7																																																									32
																																																																																																								8
																																				2																																																				143.																	cos8x																				cos2x							C .
	142.	2																																												cos5 x C .
																	cosx
																															5																																																																									16																							4
	144.						sin25x																										sin5x																						C .																															145.									3						sin								5x					3sin																x	C .
																50															10																																																							5																		6																							6
	146.		1									cos6x																						1									cos4x																							1				cos2x C.
		24
																															16																													8
	147.		sin x																						sin5x																								sin7x														C .
		2																										20																								28
	148.	ln						tgx 2																																	tg2 x 4tgx 1																																											C .
	149.						2							ln								1 cosx																															2				ln					cos2															x 2cosx 2																															6				arctg														1 cosx										C .
		5																																																		5																																																				5
	150.		3		x															1				sin2x																							1										sin4x C .																													151.										1											1 tgx																					1	sinxcosx C.
																																																																																																					ln
		8														4																														32																																																								4				1 tgx																					2
	152.	2																33														84																							66														4812																			3ln 1 12
												x																	x																					x																x																			x																												x
				33											ln 6																																					2															171												arctg								212										1							C .
																														12																																																														x
																												x																		x
		2																																																																				7																7
																															3																													4																										7
		6									1																																		1																															1				(x 1)																			1			(x 1)
	153.																(x 1)														2																		(x 1)3																																								6
																																																																												7
					9																																					8																																																								6

52

1(x 1)6 1(x 1)3 C .

5	4

Ответы к задачам главы 6

97

3							4
4		4		3					3
154.			x		ln			x		1		C.

																																									2
																											(1 x)																							1 x																1 x												1
155.	63 (1 x)2																																																																															C.
																																	16																			5															7										4
156.																																																				157. t									3							3						t		2	3t ln(t 1)																			3			C ,
	2arctg																		1 x C .
																																																																				2
		где t 6																																		.
																						2x 1
																																							6								1
																																											x
158.	2						x 66															x 3ln																																C .
																																							6
																																											x 1
159.		1			(3x 4)																					1					(3x 4)2/3 (3x 4)1/3 ln																																																				3													1						C
																																																																																					3x 4
	3																									2
																																																																																												4
160.	ln										1 x																			1 x											2arctg																						1 x										C.										161.												4					x 1							C .
										1 x 1 x																																																			1 x																															3 x 2
												(1 x2)3																																																																																																2
162.	C																																				163. C																				1 x										2			arcsinx																	164.													1					2x							C.
																													.																																																						.
															3x3																																													x
																																																																																																				x			1 x2
165.													x																C .																											166. C																									x									.
		a2 x2 a2																																																																										a2 x2 a2
																																									(1 x2)5																										(1 x2)3
																																																																																					1 x2
167.						x											1 x2																																																																																	C .
	ln
																																												5x5																										3x3																	x
															3																					23
																																															3
																				x																							x
168.	3 ln																																																						C .
																			3																									3									2
												1											x											2(1															x)
		1								3																																	1
169.					ln											x			2																													ln						3		(x				2				1)							2
	2																																										4
																							1 1
																																																23
																																																								x2 1											1
																																					3
		3 x2									1 1																																																																	C .
																																							arctg
																																	2
																																																														3
					1 4 3x3																																																																		1 3																		1 3
170.																																		C .																										171.																	(1 x						3 8															(1 x							3			5		C .
																																																																																			)																							)
				8																								2																																											8																		5
									x(2 x3)3
																																																																																																	3			1					2
	1												1 x4 1 1																																		1 x4																																								3
172.				ln																																																							C .																		173.						2						x 4																		C .
		4																		x2																			4											x4

98																					Г л а в а 6.													Неопределенный интеграл
		1 1 x2
174.															C .			175. C			1												2 x x2					2			1
																													ln																.
	2					1 2x2															2															x					2 2
						1									x 6 60x 15x2
176.		C										ln														.
																2x 3
						15
	1
177.			(x 1)										x2		2x 1 ln					x 1								x2			2x 1					C .
	2
		1																								x 2
178.															1 4x x2 5arcsin
						(x 2)																										C.
		2																								5
		1							x2 2x 2
179.																ln x 1						x2				2x 2								C.

x1

180.C 1(3x 19) 3 2x x2 14arcsin x 1.

2

2

(9 x2)5

x

2

3

x2 3

181.

ln

x

C .

182.

C.

x

45x5

183.

ln

x

1 x2

C .

1 x2

Г Л А В А 6

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

6.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Функция F(x)называется первообразной функции f (x), заданной на некотором множестве X , если F (x) f (x)для всех x X .

Если x иF(x)– две первообразные для одной и той же функции f (x), то Ф(х) = F(x) + C, где С – произвольная постоянная. Совокупность всех первообразных функции f (x), выражаемая форму-

лойF(x) C, называется неопределённым интегралом от функции

f (x)и обозначается f (x)dx: f (x)dx F(x) С .

6.2.ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1) f (x)dx f (x).	2) d f (x)dx f (x)dx.
3) df (x) f (x) С.	4) af (x)dx a f (x)dx .

5)( f1(x) f 2(x))dx f1(x)dx f 2(x)dx.

6.3.ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1.

u du

u

C, –1.

1

2.

du

ln

u

C.

u

au

audu

3.

C .

lna

4.

eudu eu C .

6.cosudu sinu C .

7.tg udu ln cosu C .

8.ctg udu ln sinu C.

du

9. ctg u C . sin2 u

Глава 6. Неопределенный интеграл

5. sinudu cosu C .

10.

du

tg

u C.

cos2 u

11.

du

u

C .

14.

du

u

ln

tg

arcsin

C.

sinu

2

a

a

2

u

2

du

u

C.

du

1

a u

C .

12.

ln

tg

15.

ln

cosu

2

4

a2 u2

2a

a u

13.

du

1

u

16.

du

C.

ln

u

u2 a2

C.

arctg

a2 u2

a

a

u2 a2

6.4. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

а) Метод непосредственного интегрирования Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы

раздела 6.3 и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.

Примеры. Непосредственным интегрированием найти следующие интегралы:

dx

-

1

x3 4

4

x

4dx

C

4 x3 C (формула 1 табл. 6.3) #

4

3 4

3

x

2xexdx (2e)xdx

(2e)x

2xex

C

C (формула3табл.6.3) #

ln(2e)

ln2 1

x2 9

(x2 8) 1

1

1

x

2

2

dx

dx dx

dx x

ln

C. #

x2 8

x2 8

x2 8

4

2

x

2

2

(формула 15 из табл. 6.3 и свойство 5 из 6.2)

б) Метод подведения под знак дифференциала

Напомним,

что du uxdx,

если u u(x). При интегрировании

бывает удобно представить

dx

1

d(ax b)

или

xdx

1

d(x

2

a)

a

2

и т.д. Это и используется при интегрировании методом подведения под знак дифференциала.

Примеры. Методом подведения под знак дифференциала найти следующие интегралы:

											-	1										1
			dx			1		(5x 2)										1(5x 2)2								2
											2
													d(5x 2)												C			5x 2 C. #
						5												5 1 2								5
			5x 2
			xdx			1				d(x2)					1		x2
																ln					1 x4				C . #
			1 x4			2			1 (x2)2					2

6.4. Основные методы интегрирования

x2ex

3

1

ex

3

1

ex

3

dx

d(x3)

C . #

3

3

в) Метод замены переменной

Пусть требуется вычислить интеграл f (x)dx.

Если

f (x)dx

можно представить в виде

f

где функции

(x)dx = g( (x)) (x)dx,

f ( (x)), (x),

сделав подстановку

t (x),

(x)непрерывны, то,

получим

f (x)dx

=

g(t)dt . Если при этом

g(t)dt G(t) C , то

f (x)dx= g( (x)) (x)dx G( (x)) C .

Примеры. Найти следующие интегралы методом замены пе-

ременной.

xdx

. Сделаем подстановку t

x 1 x t2 1 dx 2tdt .

x 1

xdx

(t

2

1)2tdt

3

2

2

(t2

1)dt 2

t

t

C 2t

t

1 C

x 1

t

3

3

x 1

2

2 x 1

1 C

x 1(x 2) C . #

3

3

dx

2tdt

ex 1 t ex t2 1 x ln(t2 1) dx

. Заменим

.

t2 1

ex 1

dx

2tdt

2

dt

2arctgt C 2arctg ex 1 C. #

(t2 1)t

t2 1

ex 1

г)

Метод интегрирования по частям

Если u(x) и v(x) – непрерывно дифференцируемые функции,

то имеет место формула:

udv uv vdu.

(6.1)

К u следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании. Формула (6.1) может применяться неоднократно. Интеграл, стоящий справа в (6.1), должен быть проще интеграла, стоящего слева.

Большая часть интегралов, берущихся по частям, может быть разбита на следующие 3 группы:

1) xkeaxdx;	xk	sinaxdx ; xk cosaxdx	(k N). Здесь за
u(x) берется xk , а за dv		eaxdx, sinaxdx, cosaxdx.

Глава 6. Неопределенный интеграл

Пример. Найти интеграл x2e3xdx.

Найдем этот интеграл методом интегрирования по частям.

												2					du 2xdx											1
x		2		3x					u x																							2			3x
			e		dx														1									3 x					e					–
												3x					v			e3x
									dv e dx									3
	2									u x								du dx										1
						3x																												2			3x
				xe			dx														1		e3x									x				e
	3												3x				dx	v										3
										dv e								3
	2							2		e3xdx			1					2														2
		xe3x													x2e3x									xe3x												e3x C. #
	9								9					3								9									27
2)		xk ln xdx,									xk arcsin xdx, xk arctgxdx. В этом случае за

u(x) нужно взять трансцендентную функцию ln x, arcsin x, arctgx, а за dv xkdx.

Пример. Найти интеграл xln xdx .

Найдем интеграл, интегрируя его по частям.

du

dx

u ln x

x2

x

x

xln xdx

dv xdx

v

x2

2

ln x 2dx

2

x2 ln x x2 C . #

24

3)eax sinbxdx, eax cosbxdx . Эти интегралы берутся дважды

по частям. В процессе решения приходим к уравнению относительно искомого интеграла.

e2x sinxdx

2x

du 2e

2x

dx

e2x cosxdx

u e

e2x cosx 2

dv sinxdx

v cosx

2x

du 2e

2x

e2x sin xdx.

= u e

dx e2x cosx 2e2x sin x 4

dv cosxdx

v sin x

e2x sin xdx .

Получили

уравнение

относительно

Решая его,

будем иметь: