Математический анализ в примерах и задачах

2.2. Предел дробно-рациональной функции. Иррациональные выражения	23

Г Л А В А 2

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

2.1. ПРЕДЕЛФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Пусть функция y f (x) определена в некоторой окрестности

точки x0, за исключением, быть может, самой точки x0.

Число

A называется пределом

f (x) в точке

x0, и пишут

lim

f (x) A, если для любого 0

существует ( ) 0 такое, что

x x0

для любых x таких, что 0

x x0

, выполняется

f (x) A

.

То же самое запишется с помощью кванторов

( 0),

( 0)

(0

x x0

f (x) A

).

Число A называется пределом f (x) при x , если для любо-

го 0 существует число

M( ) 0

такое, что для любых x таких,

что

x

M , выполняется

f (x) A

.

Теорема 1. Пусть lim

f (x) A и lim

g(x) B.

Тогда выпол-

няется:

x x0

x x0

а)

lim ( f (x) g(x)) A B; б) lim ( f (x) g(x)) AB;

x x0

f (x)

A

x x0

в)

lim

, (B 0).

x x0

g(x)

B

Неопределенностями называются следующие предельныевыражения:

0			,				, 0 , ,	1		,	00		,	0		. Например, запись
	0

1 означает, что это есть предельное выражение для функции

f (x)g(x) при стремлении x x	0	(т.е.	lim f (x) 1 и
			x x0

lim g(x) ).

x x0

24	Г л а в а 2. Предел функции

2.2.ПРЕДЕЛ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

При вычислении предела дробно-рациональной функции

a

0

xn

a xn 1 ... a

n

P (x)

R(x)

1

n

в точке

x применяется ме-

b xm

b xm 1 ... b

Q

(x)

0

0

1

m

m

тод разложения многочленов Pn(x),

Qm(x) на множители.

Пример. Вычислить предел lim

x2

2x 3

.

3x

x 3 x3 4x2

x2 2x 3

0

(x 3)(x 1)

x 1

2

lim

lim

lim

.

3

4x

2

3x

3

x 3 x

0

x 3 x(x 3)(x 1)

x 3 x(x 1)

Вычисление предела R(x)

при x производится методом деле-

ния P (x) и Q

(x)

на xS , где S max{n,m}. Получаем

n

m

n

n 1

0,

n m;

a

x

a x

... a

x a

0

n 1

n

lim

1

,

n m;

b xm 1

... b

x b

x b xm

a

0

1

m 1

m

0

, n m.

b

0

Пример. Вычислить предел

lim

2 x 4x3

.

x 1 x x2 x3

Разделим числитель и знаменатель дроби на x3.

	2 x 4x3			2		1/ x2 4
				x	3
lim		lim						4.
					1/ x2
x 1 x x2 x3		x 1/ x3					1/ x 1

Метод деления на x в старшей степени применим и к пределам функций, содержащих иррациональные выражения.

Пример. Вычислить	lim	x3	5x2			4 9x8 1		.
						7 x x2
	x (x			x	)

Старшая степень x в числителе – вторая у выражения 49x8 ,

ав знаменателе также вторая при произведении x на x2 . Тогда

x3

5x2

4

9x8 1

x2

4

9

3.

lim

lim

x ((x

x

) 7 x x2 )/ x2

x 1

Часто при вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, применяется метод перевода иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот.

2.2. Предел дробно-рациональной функции. Иррациональные выражения																		25
			3							1
Пример. Вычислить lim								x							.
x 1			1 x										2x
			3				1						0
					x
lim													=				=
															0
x 1 1 x 2x

lim

(3

x

1)(3

x2

3

x

1)(

1 x

2x

)

=

)(3 x2 3

x 1(

1 x

2x

)(

1 x

2x

x

1)

=

lim

(x 1)(

1 x

2x)

2

2

.

3

x 1(1 x)(3 x2 3

x

1)

Пример. Вычислить lim(

x2 3x 2

x2

3).

x

lim( x2 3x 2

x2 3) [ ]

x

= lim

( x2

3x 2

x2

3)( x2

3x 2

x

2 3)

=

x

x2 3x 2

x2 3

= lim

3x 1

(делим числительи знаменатель наx) =

3

.

2

x x2 3x 2 x2 3

Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы.

		x3 3x 1
1. lim						1 .
x 0				x 4
4.lim			x3	x 2			.

x 1 x3 x2 x 1

2. lim

x2 3

. 3. lim

x3 3x3 2x

.

x4 x2 1

x2 x 6

x

3

x 2

5. lim

1

1

.

x

2 3x

2

x 2

x(x 2)2

6.lim

x 2

x 4

7. lim

1 x 3x

3

.

.

2

3(x2 3x

2

3x3

x 1

x

5x 4

2)

x 1 x

8.

lim

2x3 2x2

3x 3

9. lim

(2x 3)3

(3x 2)2

.

.

x 1

x3 x2 x 1

x

x5

5

(x 1)3

x3

x3

x2

10.

lim

. 11. lim

x

. 12. lim

.

3

2

2

1

x

2x

1

2x 1

x 2x 3x 1

x x

26 Г л а в а 2. Предел функции

13.

lim

x 4

. 14.

lim

4 x2

x

.

15.

lim

x2 1

.

x 4 x4 5

x x 1

x 4 16x4 1

16.

lim

(x 1)3 (x 1)3

.

17.lim

x3 4x

.

18. lim

x2 x 20

.

x (x 1)2 (x 1)2

x 2x2 4x 12

x 5

x2 5x

x 1

2

x

2

x

3

1 x

3

1 x

19.

lim

.

20.lim

.

21. lim

.

x 5

x

x 5

x 1

x 1

x 0

n

1

x

x2 1 x) .

22.

lim

, (n и m – целые числа).

23.

lim (

x 1m x 1

x

lim

3

.

x

8

.

5

.

24.

5 x

25. lim

26.

lim

2x

7

x 4 1 5 x

x 8

3 x 2

x 9

x 3

2

.

27.

lim

x 14

x 2

28.

lim (

x) .

(x a)(x b)

x2 4

x 2

x

29.

lim (

x2 2x 1

x2 7x 3). 30.

lim(3 (x 1)2 3 (x 1)2).

x

x

3

8x3 5

3

9x2

31.

lim

5x 2

32.

lim

x

.

.

x

4 x 7 x

x 3x 4 9x8 1

33. lim 4x 1 327x3 4 .

x 4x 3 x5 x

2.3.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Функция (x)

называется бесконечно малой при

x x0

(б.м.),

если

lim (x) 0.

Пусть (x) и

(x) –

б.м. при

x x0 . Если

x x0

lim

(x)

0, то (x)

называется бесконечно малой более высокого

x x0 (x)

порядка, чем (x),

и

пишут

(x) o( (x)),

x x0 .

Если

lim

(x)

C 0

(C ), то

(x)

и (x)

называются б.м. одного

x x0 (x)

(x)

порядка малости.

Если

lim

1, то (x) и

(x) называются

x x0 (x)

эквивалентными и это обозначается (x) ~ (x)

при

x x0 . Если

существует число k, такое что

lim

(x)

C 0, то (x) называ-

x x0 ( (x))k

2.3. Бесконечно малые величины. Первый замечательный предел

27

ется б.м. порядка k относительно (x).

y F(x) называется беско-

нечно большой (б.б.) при x x0 , если

lim F(x) .

x x0

Теорема. (x) – бесконечно малая при

x x

1

– бес-

0

(x)

конечно большая при x x0 .

sin x

Первый замечательный предел – это

равенство lim

1

или иначе sin x ~ x при x 0.

x 0

x

Следующие б.м. величины при x 0 – эквивалентны:

x ~ sin x ~ tg x ~ arcsin x ~arctg x ~ (ex 1)~ ln(1 + x);

1 – cos x ~

x2

, ax 1~x ln a.

2

Если (x), (x)

б.м. при

x x0

и

(x) ~ 1(x) ,

(x) ~ 1(x) ,

то lim (x) (x)

lim (x) (x) и

lim

(x)

lim

1(x)

.

x x0

x x0 1

1

x x0 (x)

x x0

(x)

1

Разность б.м. величин можно заменить в пределе на разность величин, им эквивалентных, только если эти величины не эквивалентны между собой.

Пример. Вычислить lim

tgx sin x

.

x 0

x3

tg x ~ sin x при

x 0, следовательно, нельзя заменить tg x

и sin x на x:

tgx sin x

sin x(1 cosx)

x x2 /2

1

lim

lim

= lim

=

.

x 0

x3

x 0

x3 cosx

x 0

x3 cosx

2

При вычислении пределов с использованием эквивалентных б.м. величин часто применяется метод замены переменной.

Пример. Вычислить lim

ln(2 cosx)

.

x 3sinx 1 2

lim

ln(2 cosx)

0

= замена

y x =

2

x 3sinx 1

0

= lim

ln 2 cos( y)

= lim

ln(2 cos y)

=

3sin( y) 1 2

y 0

y 0 3sin y 1 2

= lim

ln(1 (1 cos y))

lim

y2 /2

1

.

y 0

sin2 yln2 3

y 0 y2 ln2 3

2 ln2

3

28

Г л а в а 2. Предел функции

Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы.

1 cos3 x

34. lim

sin x

35. lim

2arcsin x

36. lim

.

.

.

xsin2x

x 0 sin x

x 0 3x

x 0

37. lim

tg

.

38. lim

1 sin x cosx

.

39. lim

1 sinx

.

0 3 (1 cos )2

x 01 sin x cosx

x /2 ( /2 x)2

40.

lim

cos x

.

41. lim

sin3x

.

42.

lim ( /2 x)tgx.

x /2 3 (1 sin x)2

x sin2x

x /2

43.

lim

cosx sinx

.

44. lim

sin(x /6)

.

45.

lim (2xtgx /cosx).

x /4

cos2x

x /6

3/2 cosx

x /2

46. lim	2 1 cosx	.
x 0	sin2 x

48. lim 1 cosxcos2x .

x 0 x2

47. lim	1 sin x	1 sin x	.
	tg x
x 0

ln(2 cosx)

49. lim .

x 3sinx 1 2

Определить порядок относительно x функции, бесконечно малой при x 0:

50.		1 2x		1			x	.	51.ln(1			xsinx			) .	52. (1 x2)tg( x/2) .
																	55. ln(1 4		).
53.ln(1 x2) 23 (ex 1)2 .											54.arcsin( 4 x2					2) .		x5
56.	sin(				1).						57. esinx3		1.
			1 x

Дана функция. Найти ей эквивалентную вида C x : а) при x ;

б) при x 0.

58. y 3

sin(x5) 3x6 .

59. y x3

x5 cosx 1.

x

60. y arctgx3 5x4 3

.

x7

61. y 7x 4x3 arcsin

.

x

62. y ln(1 x2) 4x5 4

.

63. y x x2

sin

.

x

x

x

64. y 2x4 arcsin x2 x.

2.4.

Второй замечательный предел

29

2.4.

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Второй

замечательный

предел раскрывает

неопределенность

1

x

1

:

lim 1

e. В более общем виде этот предел можно за-

x

x

1

писать так:

lim (1 (x))

x

e , где (x)- б.м. при x x .

x x0

0

Пусть

lim ( f (x))g(x)

дает неопределенность вида

1

. Так как

x

x0

lim f (x) 1, то , f (x) 1 (x),

где (x)–

б.м. при

x x0 . Тогда

x x0

g(x)

(x)

lim ( f (x))g(x)

lim (1 (x))g(x)= lim (1 (x))

(x) =

x x0

x x0

x x0

lim g(x) (x)

ex x0

.

1

Пример. Вычислить lim(cosx asinbx)

x

.

x 0

1

1

lim(cosx asinbx)

x

lim(1 (cosx asinbx 1)

x

=

1

x 0

x 0

lim

cosx asinbx 1

= ex 0

x

.

Рассмотрим

lim

cosx asinbx 1

.

Имеем asinbx ~ abx

при x 0

x 0

x

и (cosx 1) ~

x2

. Бесконечно малые величины asinbx

и (1 cosx)

2

cosx asinbx 1

lim

не являются эквивалентными и, следовательно,

ex 0

x

lim

abx x2

/2

=eab.

x

= ex 0

Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы.

x 3 x

x 2 2x

x 1 2x 1

65.

lim

.

66.

lim

.

67. lim

.

x

x

x

x 1

x x 2

1

x 1

3x 4

x 1

x2 1 x

2

x

3

68. lim

1

.

69.

lim

.

70. lim

.

2

x

x

x

3x 2

x x

1

30 Г л а в а 2. Предел функции

x 1 x

x2 2x 1 x

x2 2x

x

71.

lim

.

72. lim

.

73. lim

.

2

2

4x 2

x

2x 1

x x

4x 2

x x

74. lim(1 sinx)cosecx.

75. lim(1 tg2

1

ln(a x) lna

)

2x

.

76. lim

.

x

x 0

x 0

x 0

x

1

sinx

sinx x sinx

77. lim(x(ln(x a) lnx)).

78. lim(cosx)sinx .

79.

.

lim

x

x

x 0

x 0

1

x2

x2 6

3x 2 (x 1)/2

3

80.

lim(cosx sinx)x .

81.

82.

lim

.

lim

.

x 0

2

1

x x

x 3x 4

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 2
1. 3/4.				2. 0.			3. –2/5.								4. .		5.		.			6. 0.					7. –1. 8. 5/2.								9. 72.
10.	1/2.		11. 0.				12. 1/4.						13. 1.				14. 0.					15. 1/2.							16. 3.		17. 1.					18. 9/5.
19.	1/4.			20. 3.						21. 2/3.					22. m/n.							23. 0, если x ;															,
если x .								24. –1/3.							25. 12.				26. 6/5.									27. –3/32.							28.		a b						,
																																						2
если x ;							, если x . 29.														5/2. 30. 0.										31. 2. 32. 3															.
																																									3
33.	0.	34. / .								35. 2/3.					36. 3/4.				37.			.					38. –1.				39. 1/2.						40. .
41.	–3/2.			42. 1.					43.							44. 2.					45. –2.								46.							47. 1.
													2/2.																			2/8.
48.	3/2.			49. e 5 .							50. 1/2.						51.				Эквивалентная б.м.															52. 1.
53. 2/3.				54.	2.						55.		5/4.			56. 1.						57.			3.				58.		а) 3x6; б)							3				.
																																							x
						1																3
			3						2								4						x	7										3
59.	а) x			; б)			x			.		60. а) 5x						;		б)					.				61. а)		4x				;	б)				x .
					2
62.	а) 4x5 ;				б)			4				. 63. а) x2								;		б)						.	64. а) 2x4 ;									б) –x.
											x								x								x
65.	e3.			66.		e2 .					67.				e6 .	68.			1.			69.					e 2/3.				70. e2 .					71. 0,
если x ;							,				если x .								72. e2 .									73. e2 . 74. e.							75.									.
																																								e
76.	1/a.			77.		a.					78.		1.		79.		1/e.				80.			e.					81.	e4 .					82.		e.

Г Л А В А 3

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Число A называется пределом функции y f (x) в точке x0

справа (слева), и пишут lim f (x) A		lim		, если для
			f (x) A
x x0 0	x x0 0

любого	0	существует		число ( ) 0 такое,					что из условия
0 x x0		( x x0 0) следует				f (x) A		. Будем также
предел справа (слева) обозначать f (x0 0) (f (x0 0)).
Пусть функция y = f(x) определена в точке x0									и некоторой	ее
окрестности. Функция f (x) называется непрерывной в точке										x0 ,
если выполняется одно из следующих трех условий:
1)	lim y lim		f (x0	x) f (x0) 0;
	x 0	x 0
2)	lim f (x) f (x0);
	x x0
3)	lim	f (x)	lim	f (x) f (x0) .
	x x0 0		x x0 0

Эти условия равносильные.

Все основные элементарные функции непрерывны на своей естественной области определения.

Сумма, разность, произведение, композиция конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если функция, стоящая в знаменателе, не обращается в нуль.

Функция y f (x) называется непрерывной на множестве E , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

Типы разрывов функции в точке. а) Пусть существуют конеч-

ные пределы f (x0 0) и f (x0 0), причем f (x0 0) = f (x0 0), но не равны f (x0), либо f (x0) не определена. Тогда x0 называется точкой устранимого разрыва функции.

32		Г л а в а 3. Непрерывность функции
б) Пусть	f (x0 0) и	f (x0 0) существуют, конечны, но не

равны между собой. Тогда в точке x0 у функции разрыв типа ска-

чок. Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Во всех остальных случаях точка x0 есть точка разрыва вто-

рого рода, т.е. если хотя бы один из односторонних пределов равенили не существует.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

f(x) 2(x 1)/(x2(x 1)).

Точками возможного разрыва являются

x1

0

и

x2 1.

Вычислим односторонние пределы.

x 1

1

x 1

1

lim

;

lim

.

x

2

(x 1)

x

2

(x 1)

x 0 0

0

x 0 0

0

Следовательно,

в т.

x1 0 у функции разрыв устранимый, так

как lim

f (x) lim

f (x) 0

и f (x) в нуле не определена,

x 0 0

x 0 0

lim

x 1

2

;

lim

x 1

2

.

2

2

x 1 0 x

(x 1)

x 1 0

x

(x 1)

0

0

Тогда lim

f (x) и

lim

f (x) 0.

x 1 0

x 1 0

В точке x2 1 f (x)

имеет разрыв второго рода.

Задачи для самостоятельного решения

Найти точки разрыва функции, определить их характер и по-

строить схематично график функции в окрестности точек разрыва.

1.	y			1		и		y			1			.			2.	y	sin x				и	y	cosx		.
			x 2							(x 2)2										x						x
				1																1						1
3.	y						.	4.		y sin					.		5.	y					.	6.		y 2		x2 4	.
	1 31/x												x							lg	x
				x							1
7.	y 3			4 x2		.		8.		y						.	9.	y e1/(x 1) .						10.		y 31/(1 x) .
												x2(x 1)
11. y				1					.
						1/(x 2)
				2 3