Математический анализ в примерах и задачах

8.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести

141

Пример.

Найти статические моменты Mx, My

и координаты

центра тяжести фигуры,

ограниченной параболой

y2 2px, осью

Ox и ординатой, соответствующей абсциссе x (рис. 8.20).

Так как y

, то по формуле (*) имеем:

2px

x

x

x

2

1

1

2

3/ 2

2p

5/ 2

Mx

2pxdx

px

,

My x

2pxdx

2p x

dx

x

.

2

2

5

0

0

0

x

x

x3 / 2

Так как

S ydx

2pxdx 2

2p

/ 3,

то по форму-

0

0

лам (**) получим:

1 3 2

x5/2

2p

3

x ,

3

x ,

2 2p x3/2 5

5

5

px2 3

3

p

3

3

3

y.

x

2px

y ,

2 2 2p x3/2

4 2p

8

8

8

Пример. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной одной

аркой циклоиды: x a(t sint),

y a(1 cost),

t [0; 2 ]

и осью

Ox (рис. 8.21).

y

M (x, y)

x

y

2 a x

Рис. 8.20 Рис. 8.21

Площадь фигуры равна

2	2
S	y(t)x/(t)dt	a2(1 cos t)2dt 3 a2 .

0 0

142 Г л а в а 8. Геометрические и механические приложения

	Из геометрических соображений					a – совпадает с абсциссой
	середины арки. По формуле (*)
	1		2	1		2				5
	Mx		y2(t)x/ (t)dt			a3(1 cos t)3dt					a3.
		2		2						2
			0			0
	Тогда из (**) имеем
			Mx /S			5 a3		5
									.
								6
					2 3 a2							5
	Таким образом, центр тяжести имеет координаты ( , ) a;													a	.
												6

Задачи для самостоятельного решения

68. Вычислить статический момент прямоугольника с основанием a и высотой h относительно его основания.

69. Найти центр тяжести симметричного параболического сегмента с основанием, равным a и высотой h.

	70. Найти статический момент дуги эллипса						x	2		y2
											1, ле-
							a
								2		b2
жащей в первом квадранте, относительно оси абсцисс.
	71. Найти статический момент фигуры, ограниченной линиями
y		2	и	y x2, относительно оси абсцисс.
1 x2
	72. Найти статический момент фигуры, ограниченной линиями
y x2		и	y			, относительно оси абсцисс.
					x
	73. Найти декартовы координаты центра тяжести сектора, ог-
раниченного одним полувитком архимедовой спирали										a (от

1 0 до 2 ).

74. Найти декартовы координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кардиоидой a(1 cos ).

75. Найти центр тяжести поверхности полусферы, используя теорему Гульдина.

76. Найти координаты центра тяжести дуги астроиды x acos3 t , y asin3 t , расположенной в первом квадранте.

Ответы к задачам главы 8																			143
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 8
1.	16		2.	8		3.	72				4. a2				3				5.	8
		.			.			3.				1						.			.
3			15			5							6		2				15

	a2																																								a2																							1
6.													7. S 18.																						8.													9.						S																																						10. 2 2.
						.																																				.																										1								.
		4																																							4																							2									4
11.			3		.								12.															1			.						13. 17,5 6ln6.																															14. 32/3.																									15. 3/2.
		4																		2
																										3											18. 3 a2 /2.																																																								20. 5 a2 /2.
16.		(e 1)2 /e.																		17. 27.																																																19. 9 /2.
									8 5																																						2																					2																																	3a
																						5																																																												3
21. L																									1 .															22. t												. x a																																			.						y											.
								9						2						2																												3																								3																													2
																																																																																	2
23.			L 8a.																																			24. L 4								26			.																			25.						L 4															.
																																																																																					3
																																											27
																																ln						(	1 e2					1)(													1)									.
																																																					2
26.				L					1 e2																																																																	27. L 2a																											.
																												2																																																																					3
																																												e
																																		a																																																									1
28.			L a											1 4 2																						ln 2								1 4 2 .																														29.L																			(4 ln3).
																																		2																																																									2
30.			L 2.											31.																					32.2 . 33.																							2															34.								8												35.									4			ab2 .
																										2 .																																						2 .																								.
																																																						4																										3																					3
				3																32															3								16							3																		4										3																													2			3
36.								.						37.																		a					.				38.							a			.													39.										a						.											40.					а) 5												a				;
		10																		105																							3																									21
б) 6 3a3;														в)						a3								9 2									16 .						41.									8					a3.																42.								2			R2H 400 см3.
																				6																															3																													3
43. 8.								44. 3 2 /8.																										45.					4 a2b/3.															46. (e2																		1)/4.																			47.					16 a3 /5.
																																																			56																																																									1 .
48.			S 4 2ab.																	49.												S 3 . 50. S																												a2. 51. S																																		(1 a4)3
																																																						3																														9
																																																																																												2							2
																																																																																																2
																																					2) .
52.			S											2						ln(1																							53.								S																		5								2 ln																												.
																																																																																															5 1
54.			S a										2																														55.								S											12						a				2										56. S																			32			a					2
																		2 2																.																																							.																																						.
																														2																																		5																																					5
57.			S 4 2r2.																											58.							S 2 a2(2																																						59.							S 3 a2 .
																																																									2).

144													Г л а в а 8.							Геометрические и механические приложения
		g	2M					3															см								4				dabH2
60.										эрг M и						m в г, g в									.			61.																240 кгм.
		6m2																					сек2					15
62. 22,2 m.													63.		H2			.			64.		y Cx4 ,					вращение вокруг оси Oy .
															6E														gt2															ah2
65. F					2			a		3			66. F				2		a	2	b			67. S															68.
												.										.										.													.
					3												3																											2
																										2		2
69. На оси симметрии на расстоянии																											h от основания.
	b2																								5
70.							ab																								71.									4				72.		3
											arcsin ,					где –						эксцентриситет.																					.				.
																																					2			5						20
2							2
73.					6a(4 2)												2a( 2					6)					74.				5				a, 0.
														,										.
											3									3											6
75.								На					оси симметрии									на расстоянии											R			от				центра.							76.
																															2

2 a . 5

145

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. –

М.: Наука, 1975.

2.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1977.

3.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1. –

М.: Наука, 1982.

4.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1. – М.: Высшая школа, 1981.

5.Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1. – М.: Нау-

ка, 1983.

6.Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А.В. Ефимова

иБ.П. Демидовича. Т. 1. – М.: Наука, 1986.

7.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: ГИФМЛ, 1961.

146	ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ
	Стр.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ............................................................	5
ПРЕДИСЛОВИЕ.....................................................................................	7
Глава 1. Действительные функции одной переменной..............	8
1.1. Основные понятия, определения..............................................	8
Задачи для самостоятельного решения.............................	11
1.2. Некоторые типы функций......................................................	12
Задачи для самостоятельного решения.............................	12
Задачи для самостоятельного решения.............................	13
Задачи для самостоятельного решения.............................	14
Задачи для самостоятельного решения.............................	15
1.3. Обратная функция..................................................................	16
Задачи для самостоятельного решения.............................	17
1.4. Линии на плоскости................................................................	17
Задачи для самостоятельного решения.............................	19
Задачи для самостоятельного решения.............................	20
Ответы к задачам главы 1..................................................	21
Глава 2. Предел функции.................................................................	23
2.1. Предел функции. Основные понятия.....................................	23
2.2. Предел дробно-рациональной функции.
Иррациональные выражения..................................................	24
Задачи для самостоятельного решения.............................	25
2.3. Бесконечно малые величины. Первый замечательный
предел......................................................................................	26
Задачи для самостоятельного решения.............................	28
2.4. Второй замечательный предел............................................	29
Задачи для самостоятельного решения.............................	29
Ответы к задачам главы 2.................................................	30

	147
Глава 3. Непрерывность функции.................................................	31
Задачи для самостоятельного решения.............................	32
Ответы к задачам главы 3...................................................	33
Глава 4. Дифференциальное исчисление функции
одной переменной..............................................................	35
4.1. Производная. Дифференцирование явно заданных
функций..................................................................................	35
Задачи для самостоятельного решения............................	37
4.2. Дифференцирование функций, заданных неявно
или параметрически................................................................	38
Задачи для самостоятельного решения.............................	39
4.3. Производные высших порядков ............................................	40
Задачи для самостоятельного решения.............................	42
4.4. Геометрический и механический смысл производной..........	42
Задачи для самостоятельного решения.............................	44
4.5. Дифференциал........................................................................	45
Задачи для самостоятельного решения.............................	47
4.6. Теоремы о дифференцируемых функциях.............................	47
Задачи для самостоятельного решения.............................	48
4.7. Правило Лопиталя – Бернулли ..............................................	48
Задачи для самостоятельного решения.............................	50
4.8. Формула Тейлора ...................................................................	51
Задачи для самостоятельного решения.............................	53
Ответы к задачам главы 4..................................................	54
Глава 5. Исследование функций с помощью
производных........................................................................	59
5.1. Возрастание и убывание функций..........................................	59
5.2. Точки экстремума функций ...................................................	59
Задачи для самостоятельного решения..............................	61
5.3. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба
графика функции.....................................................................	62
Задачи для самостоятельного решения..............................	63
5.4. Асимптоты графика функции.................................................	64
Задачи для самостоятельного решения..............................	65

148	ОГЛАВЛЕНИЕ
	5.5. Общая схема исследования функций......................................	65
	Задачи для самостоятельного решения...............................	67
	Ответы к задачам главы 5 ....................................................	67
Глава 6. Неопределенный интеграл..............................................		69
	6.1. Первообразная и неопределенный интеграл .........................	69
	6.2. Основные свойства неопределенного интеграла...................	69
	6.3. Таблица основных неопределенных интегралов...................	69
	6.4. Основные методы интегрирования........................................	70
	Задачи для самостоятельного решения.............................	73
	6.5. Интегрирование простейших функций, содержащих
	квадратный трехчлен..............................................................	75
	Задачи для самостоятельного решения..............................	77
	6.6. Рациональные дроби...............................................................	77
	6.7. Интегрирование простейших рациональных дробей ............	79
	6.8. Интегрирование рациональных дробей.................................	80
	Задачи для самостоятельного решения.............................	82
	6.9. Интегрирование некоторых тригонометрических
	функций.................................................................................	83
	Задачи для самостоятельного решения.............................	86
	6.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций........	87
	Задачи для самостоятельного решения.............................	90
	Ответы к задачам главы 6..................................................	91
Глава 7. Определенный интеграл..................................................		99
	7.1. Интегральная сумма. Понятие определенного интеграла.
	Геометрический и физический смысл определенного
	интеграла.................................................................................	99
	Задачи для самостоятельного решения...........................	102
	7.2. Основные свойства определенного интеграла.....................	103
	Задачи для самостоятельного решения...........................	105
	7.3. Вычисление определенного интеграла.
	Формула Ньютона – Лейбница ............................................	106
	Задачи для самостоятельного решения...........................	106
	7.4. Основные методы вычисления определенного
	интеграла..............................................................................	107
	Задачи для самостоятельного решения...........................	108

	149
7.5. Несобственные интегралы ...................................................	109
Задачи для самостоятельного решения...........................	117
7.6. Приближенные методы вычисления определенного
интеграла...............................................................................	118
Задачи для самостоятельного решения...........................	121
Ответы к задачам главы 7.................................................	122
Глава 8. Геометрические и механические приложения
определенного интеграла...............................................	123
8.1. Вычисление площадей плоских фигур...........................	123
Задачи для самостоятельного решения............................	126
8.2. Вычисление длины дуги плоской кривой.............................	126
Задачи для самостоятельного решения............................	128
8.3. Вычисление объемов пространственных тел .......................	128
Задачи для самостоятельного решения............................	132
8.4. Вычисление площади поверхности вращения......................	133
Задачи для самостоятельного решения............................	134
8.5. Вычисление работы переменной силы.................................	135
Задачи для самостоятельного решения............................	136
8.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести.........	137
Задачи для самостоятельного решения............................	142
Ответы к задачам главы 8.................................................	143
Список литературы................................................................................	145

150	ОГЛАВЛЕНИЕ

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

С.Н. Веричев, Г.Б. Корабельникова, В.Н. Максименко, А.А. Шалагинов, Э.Б. Шварц

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Учебное пособие

Часть 1

Редактор Л.Н. Ветчакова Обложка А. В. Волошина

Компьютерная верстка С. Н. Кондратенко

Лицензия ИД № 04303 от 20.03.01

Подписано в печать 23.12.05.

Формат 70 108 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс» Уч.-изд. л. 13,3. Печ. л. 9,5. Тираж 1000 экз. Заказ № 87

Издательство Новосибирского государственного технического университета

630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20 Тел. [phone]

E-mail: office @ publish.nstu.ru

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета

630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20