Математический анализ в примерах и задачах

5.3. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции

63

Точка

x0,

f (x0)

называется точкой перегиба графика функ-

ции, если в левой окрестности точки х0

график функции выпуклый

(вогнутый), а в правой – вогнутый (выпуклый).

x

, f(x )

Теорема 2

(необходимое условие перегиба). Пусть

0

0

точка перегиба графика функции y f (x). Тогда или f (x0) 0

или

f (x0) не существует.

f (x) дваж-

Теорема 3 (достаточное условие перегиба). Пусть

ды дифференцируема в некоторой окрестности точки

x0

и

ли-

бо f (x0)

существует

и

конечна,

либо

f (x0)

не

существует

и

x ,

f(x ) –

f (x) меняет знак при переходе через точку x . Тогда

точка перегиба графика функции.

0

0

0

Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки пе-

региба графика функции y f (x) 3

x(x 6)2 .

Область определения D(f ) = R. Вычислим вторую производ-

ную.

y x1/3(x 6)2/3

1

x 2/3(x 6)2/3 x1/3

2

(x 6) 1/3

x 2

3

3

3 x2

3

x 6

.

1

2/3

2/3

1/3

2

8

1/3

y

x

(x 6)

x

(x 6)

.

3

x5/3(x 6)4/3

3

Абсциссы точек возможного перегиба:

x1 0,

x2 6, так

как

f

x1,x2 D( f ) . Проверим смену знака

(0) и f

( 6)не существует и

f

(x):

–

–

+

знак

f (x).

–6

0

Следовательно, точка перегиба графика одна – (0,0). Функция выпукла на интервале ( ,0) и вогнута на (0, ).

Задачи для самостоятельного решения

27. Показать, что графикфункции y ln(x2 1) везде выпуклый. 28. Доказать, что если график функции везде выпуклый или везде вогнутый, то эта функция не может иметьболее одного экстремума. Найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости для

следующих функций.

64

Г л а в а 5.

Исследование функций с помощью производных

29. y x 36x2 2x3 x4.

30. y a 3

.

x b

31. y

a

ln

x

, a 0.

32. y x4(12ln x 7).

33. y xln

x

.

x

a

34. y 3 (x 1)2 3 (x 1)2 .

35. y x7 7x 1.

36. 3

.

37. y (1 x2)ex .

4x3 12x

38.

y ln(1 x2) .

5.4.АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Пусть существует такая прямая, что расстояние до нее от точки M(x, f (x)) графика функции y f (x) стремится к нулю при удалении т. М в бесконечность. Тогда прямая называется асимптотой графика функций.

	Прямая	x x0 называется вертикальной асимптотой,					если хо-
	тя бы один из пределов:		lim	f (x) или	lim f (x)	равен беско-
	нечности.		x x0 0		x x0 0
							f (x)
	Если	существуют	конечные		пределы	lim		k
				y kx b		x	x
	и lim ( f (x) kx) b, то прямая				есть наклонная асимпто-
	x

та графика функции y f (x). Пределы могут не существовать или быть бесконечными при x и существовать при x (левая наклонная асимптота).

	Если функция		f (x) может	быть			представлена в виде
	f (x) kx b (x),	где (x)– бесконечно					малая при x , то
	y kx b есть наклонная асимптота.
	Пример. Найти асимптоты графика функции y xln(e 1/ x).
	Найдем область определения функции:
		1		1
	e		0 x ,			(0, ),
		x			e

			1
	lim	xln e
			x
	x 1e 0

1

ln(e 1/ x)

lim

xln e

[0 ] lim

x

x 0

x 0 1/ x

питаля) = lim

1/ x2

:

1/ x2

lim

x 0 e 1/ x

x 0

,

(применим правило Ло-

1 0. Следовательно, e 1/ x

5.5. Общая схема исследования функций

65

x 1/e – вертикальная асимптота, а x 0 не является асимптотой. Проверим наличие наклонной асимптоты.

k lim ln e 1/ x lne 1,

x

	b lim xln e 1/ x x lim		ln(e 1/ x) 1		0			, применим пра-
			1/ x			0
	x	x

1/ x2

1

1

1

вило Лопиталя

= lim

:

lim

. Следова-

x

2

x

e 1/ x e

x e 1/ x

тельно, y x 1/e– наклонная асимптота.

Задачи для самостоятельного решения

Найти асимптоты графиков следующих функций.

39.

y

2x2 6

40.

y

x3 5x

41. y 3ln

x

.

.

1.

x 2

5 3x2

x 3

42. y c

a

43.

3x2

30

44. y

x2

4x 13

.

y

.

.

(x b)2

3

x

4x 3

45.

2y(x 1)2

x3.

46.

y xe2/ x 1. 47. y xarcsecx .

48.y x3 3x2 1.

x2 3x 2

5.5.ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ

Для построения графика функции y f (x) нужно провести ис-

следование по следующей схеме.

1.Область определения функции f (x).

2.Четность, нечетность, периодичность. Точки пересечения графика f (x) с осями координат.

3.Нахождение точек из области определения, в которых либо f (x) 0, либо f (x) не существует.

4.Нахождение точек из области определения, в которых либо f (x) 0, либо f (x) не существует.

5.Нахождение экстремумов, перегибов, интервалов возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости графика по сводной таблице.

6.Асимптоты.

7.Построение графика.

66	Г л а в а 5. Исследование функций с помощью производных
	Пример. Провести полное исследование функции y x3/ 2(1 x)2 и

построить график.

В соответствии со схемой имеем:

1)D( f ) R \{ 1};

2)функция общего вида. График проходит через точку (0,0);

3)y 1 x3 3x2 . Точки возможного экстремума имеют абсцис- 2 (1 x)3

сы x 0, x 3;

4)

y

3x

. Точкавозможного перегибаимеетабсциссу x = 0;

(1 x)4

5)

результаты сводим в таблицу.

x

( , 3)

–3

(–3, –1)

(–1, 0)

0

(0, )

y

+

0

–

+

0

+

y

–

–

–

0

+

y

3

3

0

8

лок. max

перегиб

x3

6) lim . Следовательно, x 1 – вертикальная x 1 0 2(1 x)2

асимптота. Выделим целую часть f (x);

	x3		1	x 1	3x 2	и так как	3x 2		– бесконечно
	2(1 x)2		2		2(1 x)2		2(1 x)	2

малая при x , то y 1 x 1 – наклонная асимптота; 2

7) рисунок.

#

Ответы к задачам главы 5

67

Задачи для самостоятельного решения

Провести полное исследование функций и построить графики.

x3 3x

x4

x3

x3

49. y

. 50. y

. 51. y

.

52. y

.

x2

1

x3 1

x4

1

x2 3

54. y 3

.

55. y

x2

.

53. y 3

3

.

x2 2x

x 1

x 1

3 x3 4

56. y xarctgx.

57.

y (2x 1)e2/ x.

58. y

1

.

xln x

59. y ln(1 x2) .

60.

y x ln(x 1).

61. y x2e x .

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 5

3. ( , 1) возрастает, (–1,

1) убывает, (1, )

возрастает.

4. ( ,0)

возрастает, (0, ) убывает.

5. (0,1) убывает, (1,е) убывает, (e, )–

возрастает. 6.

(0,1/2) убывает,

(1/2, ) возрастает. 7. Монотонно

возрастает. 8. Убывает на ( ;0), возрастает на (0; ). 9. Возраста-

	ет на (–2; 0).													10.			ymax =		1				при x = –3.									11. ymax = 0								при x 0.
																			ln3
	12. ymax = 0 при x 0, ymin =																				2			при x 1.							13.					ymin =			2	при x			2	.
																					3
																								1																	3
	14. Эктремума нет.																15.	ymax =							при x = 0,							ymin =							при		x 1.
																							2													8
	16. 8 и 0.									17. 2 и –12.								18.						и			.	19. 3								и 0.			20. –1 и 3/5.
																																	9
																					2					2
																																		3p								4p
	21.				и 0.						22.			0			и 5.	23. Боковая сторона =																			, основание =								.
	4																																			5					5
	24.	4R				5			и				R	5		. 25. Длина балки =13												1	м, сторона поперечного се-
	5										5																	3
	чения =						2					м.		26.				2		.
										2											29. Точки перегиба (–3, 294) и (2, 114).
									3									3
	Интервалы: выпуклости ( , 3),																									(2, ); вогнутости –															(–3, 2).
	30. Точка перегиба (b,a). Интервалы: выпуклости –																																						( ,b), вогну-
	тости – (b, ).																											3/2			3		3/2
														31. Точка перегиба												ae				,		e					. Интервалы: вы-
																															2
	пуклости –										(0,ae3/2), вогнутости –															(a3/2, ).										32. Точка перегиба

(1, –7). Интервалы: выпуклости – (0,1), вогнутости – (1, ). 33. Точка перегиба (0,0). Интервалы: выпуклости –( ,0), вогнутости –(0, ).

68

Г л а в а 5. Исследование функций с помощью производных

34.

График всюду выпуклый.

35. Точка перегиба (0,1). Интервалы:

выпуклости – ( ,0), вогнутости –

(0, ).

36.

(

и (0,0) –

3;0)

точки перегиба; график вогнутый на ( ;

выпуклый

3) (0;

3),

на

3;0

3; . 37. ( 3;10/e3) и ( 1;2/e)

– точки перегиба;

график вогнутый

на ( ; 3) ( 1; ) ,

выпуклый

на ( 3; 1).

38.

( 1,ln2)

–

точки

перегиба;

график

выпуклый

на

( ; 1) (1; ),

вогнутый на ( 1;1). 39.

Вертикальная x = 2,

на-

клонная y = 2x + 4.

40.

Вертикальные

x

,

наклонная

5/3

y x/3. 41. Вертикальные

x = 3, x = 0,

горизонтальная. y = –1.

42.

Вертикальная

x = b,

наклонная

y = c.

43.

x 3,

y 3x 9.

44.

x 3/4,

y x/4 13/16.

45. x 1,

y

1

x 1.

47. y x 1.

2

46.

x 0,

y x 3.

48. x 1, x 2,

y x.

49.

(0, 0)

– точка

перегиба;

2

и

y x – асимптоты.

x 1

50.

ymax = y(3

4 3

ymin

= y(0) 0;

3

2

3

4)

4 ,

2,

2

– точка переги-

3

3

ба;

x 1 и

y x – асимптоты.

51. (0,0) – точка перегиба;

x 1 и

y 0– асимптоты.

52. ymax = y( 3) 4,5; ymin = y(3)=4,5;

(0,0) –

точка перегиба;

x

–

асимптоты.

53.

ymax = y(0) 2,

3, y x

1,3

– точки перегиба; y 0

асимптота.

54.

ymin = y(1) 1;

2

(0,0)

и (2,0) – точки перегиба.

55. ymax = y(0) 0,

ymin = y(2) 3

;

16

3

– точка

перегиба;

x 3

и

y x

–

асимптоты.

4, 3

2

4

56. ymin = y(0) 0,

y

x

1 – левая асимптота,

y

x

1 – правая

57. (1,e2)

2

2

асимптота.

– точка перегиба,

x 0 – правая асимптота,

y 2x 3 – асимптота.

58. ymax .= y

1

e;

x 1, x = 0 – асим-

птоты, y

e

=

0 –

правая

асимптота.

59.

(0; 0)

–

точка минимума,

( 1,ln2)

– точки перегиба; интервалы: убывания

( ;0), возраста-

ния (0; ),

выпуклости ( ; 1) (1; ), вогнутости

( 1;1); асим-

птот нет. 60. (0; 0) – точка минимума; точек перегиба нет; x = – 1 – асимптота; функция убывает на интервале ( 1;0), возрастает на ин-

тервале (0; ); график функции всюду вогнут. 61. (2,4/e2) – точка максимума, (0; 0) – точка минимума, (2 2) – абсциссы точек перегиба; y = 0 – асимптота; интервалы: убывания ( ;0) (2; ), возрастания (0;2).

6.4. Основные методы интегрирования	69

Г Л А В А 6

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

6.1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Функция F(x)называется первообразной функции f (x), заданной на некотором множестве X , если F (x) f (x)для всех x X .

Если x иF(x)– две первообразные для одной и той же функции f (x), то Ф(х) = F(x) + C, где С – произвольная постоянная. Совокупность всех первообразных функции f (x), выражаемая форму-

лойF(x) C, называется неопределенным интегралом от функции

f (x)и обозначается f (x)dx: f (x)dx F(x) С.

6.2.ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1)	f (x)dx f (x).	2) d f (x)dx f (x)dx .
3)	df (x) f (x) С .	4) af (x)dx a f (x)dx .

5)( f1(x) f 2(x))dx f1(x)dx f 2(x)dx.

6.3.ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1.u du u C , –1. 6. cosudu sinu C .

1

2.

du

ln

u

C .

7. tg udu ln

cosu

C .

u

au

audu

8. ctg udu ln

3.

C .

sinu

C .

lna

70	Г л а в а 6. Неопределенный интеграл

4.eudu eu C .

5.sinudu cosu C .

11.

du

ln

tg

u

C.

sinu

2

12.

du

u

C .

ln

tg

cosu

2

4

9.

du

ctg u C.

2

u

sin

10.

du

tg u C .

2

u

cos

14.

du

arcsin

u

C .

a

2

2

u

a

du

1

a u

C.

15.

ln

a

2

2

2a

a u

u

13.

du

1

u

16.

du

arctg

C.

ln

u

u2 a2

C.

2

2

2

2

a

u

a

a

u

a

6.4. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

а) Метод непосредственного интегрирования Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы

раздела 6.3 и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.

Примеры. Непосредственным интегрированием найти следующие интегралы:

dx

-

1

x3 4

4

x

4 x

3 C (формула 1 табл. 6.3) #

4dx

C

4

3 4

3

x

2xexdx (2e)xdx

(2e)x

2xex

C

C (формула3табл.6.3)#

ln(2e)

ln2 1

x2 9

(x2

8) 1

1

1

2

x

2

dx

dx dx

dx x

ln

C. #

2

2

2

x

8

x

8

2 2 x

x 8

4 2

(формула 15 из табл. 6.3 и свойство 5 из 6.2)

б) Метод подведения под знак дифференциала Напомним, что du uxdx, если u u(x). При интегрировании

бывает удобно представить dx	1	d(ax b) или	xdx	1	d(x	2	a)
	a			2

и т.д. Это и используется при интегрировании методом подведения под знак дифференциала.

Примеры. Методом подведения под знак дифференциала найти следующие интегралы:

6.4. Основные методы интегрирования

71

1

1

dx

1

1(5x 2)

2

2

(5x 2)

2

d

(5x 2)

C

5x 2 C. #

5

5

1 2

5

5x 2

xdx

1

d(x2)

1

ln

x2

C. #

1 x4

1 x4

2

1 (x2)2

2

x2ex

3

1

ex

3

1

ex

3

dx

d(x3)

C . #

3

3

в) Метод замены переменной

Пусть требуется

вычислить интеграл

f (x)dx.

Если

f (x)dx

можно представить в виде

где функции

f (x)dx = g( (x)) (x)dx,

f ( (x)), (x),

то,

сделав подстановку

t (x),

(x)непрерывны,

получим f (x)dx =

g(t)dt . Если при этом

g(t)dt G(t) C , то

f (x)dx= g( (x)) (x)dx G( (x)) C .

Примеры. Найти следующие интегралы методом замены пере-

менной.

xdx

. Сделаем подстановку t

x t2

1 dx 2tdt .

x 1

x 1

xdx

(t

2

1)2tdt

3

2

2

(t

2 1)dt 2

t

t C 2t

t

1 C

x 1

t

3

3

x 1

2

2 x 1

1 C

x 1(x 2) C . #

3

3

dx

t ex t2 1 x ln(t2 1) dx

2tdt

.

. Заменим

ex 1

2

x

e

1

t 1

dx

2tdt

2

dt

2arctgt C 2arctg

ex 1 C. #

(t

2

1)t

t

2

e

x

1

1

г)

Метод интегрирования по частям

Если u(x) и v(x)

– непрерывно дифференцируемые функции,

то имеет место формула:

udv uv vdu.

(6.1)

К u следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании. Формула (6.1) может применяться неоднократно. Интеграл, стоящий справа в (6.1), должен быть проще интеграла, стоящего слева.

72	Г л а в а 6. Неопределенный интеграл
Большая часть интегралов, берущихся по частям, может быть
разбита на следующие 3 группы:
1) xkeaxdx;	xk sinaxdx;	xk cosaxdx	(k N). Здесь за

u(x)берется xk , а за dv eaxdx, sinaxdx, cosaxdx .

Пример. Найти интеграл x2e3xdx.

Найдем этот интеграл методом интегрирования по частям.

				u x2								du 2xdx														1
x2e3xdx																												x2e3x –
															1
							3x	dx				v					e3x									3
				dv e											3
	2				u x									du dx													1
		xe3xdx																													x2e3x
	3																1										3
									3x					v						e		3x
					dv	e						dx
																	3
	2	xe3x		2	e3xdx					1	x2e3x								2		xe3x								2			e3x C . #
	9
			9						3								9											27
2) xk lnxdx,			xk arcsinxdx ,											xk arctgxdx. В этом случае за

u(x) нужно взять трансцендентную функцию ln x, arcsin x , arctgx , а за dv xkdx.

Пример. Найти интеграл xlnxdx.

Найдем интеграл, интегрируя его по частям.

du

dx

u lnx

x

x2

x

xlnxdx

lnx

dx

x

2

2

2

dv xdx

v

2

x2 ln x x2 C . #

24

3)eax sinbxdx, eax cosbxdx. Эти интегралы берутся дважды

по частям. В процессе решения приходим к уравнению относительно искомого интеграла.

	u e2x		du 2e2xdx
e2x sinxdx				e2x cosx 2 e2x cosxdx
			v cosx
	dv sinxdx
u e2x		du 2e2xdx
=			e2x cosx 2e2x sinx 4 e2x sinxdx .
		v sinx
dv cosxdx