Математический анализ в примерах и задачах

78

Глава 6.

Неопределенный интеграл

Пример. Найти интеграл I

dx

.

sin2 x 3sin xcosx cos2 x

Так как

1

1

,

2

2

2

2

( sinx)

3( sinx)( cosx) ( cosx)

sin x 3sinxcosx cos

x

то делаем подстановку tg x t , тогда sin2

x

t2

, cos2 x

1

,

1 t2

t

dt

1 t2

sin xcosx

,

dx

.

1 t2

1 t2

I

dt

dt

dt

t

2

3t

1

t2 3t 1

(t 3 2)2 13 4

(1 t2)

2

2

2

1 t

1 t

1 t

1

t 3/ 2

/ 2

C

1

2t 3

C =

ln

ln

=

13

13

2

13 / 2

t 3/2

13 /2

13

2t 3

13

1

2tgx 3

ln

13

C. #

13

2tgx 3

13

3) R(sin x)cosxdx.

Для нахождения этих интегралов применяется подстановка

sin x t. Тогда cosxdx dt .

R(cos x)sin xdx. Подстановка cosx t.Тогда sin xdx dt .

Пример. Найти интеграл

sin xdx

dx.

(1 cosx)2

Сделаем подстановку cosx t,sin xdx dt

sin xdx

dt

dt

1

C

1

C . #

(1 cosx)2

(1 t)2

(t 1)2

t 1

cosx 1

4) sin2mxcos2nxdx, m,n N .

Интеграл берётся понижением степени sin2m x и

cos2n x с по-

2

1 cos2x

2

1 cos2x

1

мощьюформул: cos

x

,

sin

x

, sinxcosx

sin2x.

2

2

2

Пример. Найти интеграл cos2 xsin4 xdx.

cos2 xsin4 xdx

1

sin2

2xsin2xdx

1

sin2 2x

1 cos2x

dx

4

4

2

	6.6. Рациональные дроби														79
	1		sin2	2xcos2x 2dx	1		sin2	2xdx	1	sin32x	1			1 cos4x	dx
	16				8				2 8 3		8			2

sin3 2x 1 x 1 sin4x C . 48 16 64

5) sinmxcosnxdx .

Хотя бы одно из чисел m или n – целое положительное нечетное. Например, n 2k 1,k N .

sinm xcosn xdx sinm xcos2k 1 dx

sinm x(cos2 x)k cosxdx sinm x(1 sin2 x)k dsin x .

Дальше можно сделать подстановку sin x t.

					5
Пример. Найти интеграл						cos x		dx.
						sin3 x
	cos5 x		cos4 x				(1 sin2 x)2
		dx		cosxdx					dsinx
	sin3 x		sin3 x					sin3 x

6.9. Интегрирование некоторых тригонометрических…

79

=

1 2sin2 x sin4 x

dsin x

dsin x

dsin x

2

sin xdsin x

sin3 x

sin3 x

sin x

1

sin2

x

=

ln

sin x

C.

#

2 x

2sin

2

6)Интегралы вида

sin xcos xdx, sin xsin xdx, cos xcos xdx.

Подынтегральные выражения преобразуются в сумму тригонометрических функций с помощью формул:

sin xsin x 1(cos( )x cos( )x), 2

cos xcos x 1(cos( )x cos( )x),

																	2
							sin xcos x													1		(sin( )x sin( )x).
																	2
			Пример. Найти интеграл sin																									x				2x
																													cos					dx .
																												3				3
					x		2x						1											x							1										x
		sin				cos					dx						sin								sinx dx												3cos							cosx C. #
							3						2
			3																				3								2								3
								Задачи для самостоятельного решения
			Вычислить интегралы
118.						dx				.		119.													dx								.					120.									dx
				5 3cosx														5 4sin x 3cosx																												5 4sin x
121.				2 sin x					dx.													122.										dx								.
				2 cosx																						3 2sin x cosx
123.							dx										.						124.										dx									.
				8 4sin x 7cosx																							3sin			2		x 5cos						2
																																								x
125.								dx											.				126.					tg5			xdx.								127.							dx		.
				4 3cos				2				5sin			2																															8
											x						x																													tg	x

80																				Глава 6. Неопределенный интеграл
										dx
128.																					. 129.						tgx			dx.
		sin			2			x 4sin xcosx 5cos										2								sin xcosx
																			x
130.								dx				.					131.									dx								.
																								2								2
		4 sin3 xcos5 x																				(tg			x 5tg x)cos								x
132.						cos2				x 3					dx .				133. sin3 xcos2 xdx.
						4
		cos										2
								x 4 ctg					x
			sin				3	xdx									cos		3														dx
134.										.			135.							xdx			.			136.												.
																	4sin		2										cosxsin							3	x
			cosx 3																		x 1
137.	cos6 xdx.											138.					dx			.						139.							dx						.
																	3												sin		4		xcos				4
																sin		x																				x
140.	cos7 xdx .												141. sin2 xcos2 xdx.													142.				sin3 x						dx.
																															cosx

143. sin3xcos5xdx . 144. sin10xsin15xdx. 145. cos x cos x dx. 2 3

146.	sin xsin2xsin3xdx.						147. cosxcos2 3xdx.
			sec2	x			149.						sin2xdx
148.						dx .												.
										cos		3	x sin			2
			tg2 x 4tgx 1														x 1
								cos	4				4	x
150.	sin4 xdx.						151.				x sin				dx.
								cos	2		2
											x sin			x

6.10.ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХФУНКЦИЙ

Основной приём интегрирования таких функций заключается в рационализации подынтегрального выражения.

ax b r1/s1

ax b r2/s2

ax b rn /sn

1)

R x,

,

,...,

dx.

cx d

cx d

cx d

Интеграл берется с помощью подстановки ax b tN , где N – наи- cx d

меньший общий знаменатель дробей ri /si , i = 1,n.

6.9. Интегрирование некоторых тригонометрических…

81

Пример. Найти интеграл

dx

.

2x 1 4

2x 1

1

1

Дан интеграл

2

,

(2x 1)

4

N = 4. Сде-

R (2x 1)

dx,здесь

t4 1

лаем подстановку 2x 1 t4

x

dx 2t3dt.

2

dx

2t3dt

t2dt

(t2

1) 1

2

2

dt

4

t2 t

t 1

t 1

2x 1

2x 1

dt

t2

2

(t 1)dt 2

2

t ln

t 1

t 1

2

C 2x 1 242x 1 2ln42x 1 1 C .

6.10. Интегрирование некоторых иррациональных…

2) R(x,

a2 - x2 )dx, R(x,

a2 + x2 )dx,

R(x,

x2 - a2 )dx .

Интегралы рационализуются с помощью соответствующих три-

гонометрических подстановок.

R(x,

a2

x2 )dx

– подстановка x asint

или x acost ;

R(x,

a2

x2 )dx

– подстановка

x atgt

или x actgt ;

R(x,

a

a

x2

a2 )dx

– подстановка x

или x

.

cost

sint

Пример. Найти интеграл

4 x2

dx .

Сделаем подстановку x 2sint dx 2costdt.

2cost; t arcsin

x

,

4 x2

4 4sin2 t

2

4 x2 dx 2cost2costdt 4 cos2 tdt 2 (1 cos2t)dt

=

1

x

1

x

2 t

sin 2t

C

2

arcsin

sin 2arcsin

C

2

2

2

2

=

x

1

x

x

2

arcsin

2sinarcsin

cosarcsin

C

2

2

2

2

x

x

x2

x

x 4 x2

2

arcsin

1

C 2arcsin

C .

2

2

4

2

2

3) Интегрирование дифференциальных биномов.

82

Глава 6. Неопределенный интеграл

Дифференциальным

биномом

называется

выражение

xm (axn b)p dx . Интегралы

xm(axn b)pdx

берутся в элементар-

ных функциях только в следующих трёх случаях: а)

p – целое;

б)

m 1

–

целое,

в этом случае делается подстановка

axn b ts ,

n

где

p

r

;

в)

m 1

p – целое,

подстановка axn b tsxn .

s

n

3

1 4

Пример. Найти интеграл

x

dx.

x

3

1

1 1

1 4

x

1

1

1

dx x

2 (1 x4 )3 dx. Здесь

m

, n

, p

,

2

4

3

x

m 1

2,

поэтому имеем второй случай.

Подстановка

1

t3 ,

1 x

4

n

x (t3 1)4, dx 4(t3 1)3 3t2dt .

3

1 4

t

x

dx

4(t

3 1)33t2dt

(t3 1)2

x

3

t7

t4

(1 4

)7

3

(1 4

)4

x

x

12

t3(t3 1)dt 12

C 12

С. #

7

7

4

4

Пример. Найти интеграл

dx

.

41 x4

dx

x0(1 x4)

1

1

4 dx . Здесь m = 0, n = 4, p = –

,

4

4

1 x4

m 1

p

0 1

1

0.

Имеем

третий

случай.

Подстановка

n

4

4

1

1 x4 t4x4,

x (t4 1) 4,

1

5

1

dx

(t4

1)

4 4t3dt, 41 x4

tx t(t4

1) 4 .

4

dx

5

1

t2

4t3 1(t4 1)4dt t2(t4 1) 1dt=

(t4 1)

dt

4

t4 1

1 x4

6.9. Интегрирование некоторых тригонометрических…

83

1

dt

dt

1

dt

1

t 1

1

t 1

1

arctgt C

=

ln

ln

4

t 1

t 1

2

t2

1 4

4

2

4

4

=

1

ln

1 x4

x

1

arctg

1 x4

C. #

4

2

x

41 x4

x

4) Интегрирование

выражений

вида R(x, ax2 bx c).

Подстановки Эйлера.

а) если a 0, то применяется первая подстановка Эйлера:

ax2 bx c t ax;

б) если c 0, то делается вторая подстановка Эйлера:

ax2 bx c xt c ;

в) если ax2 bx c имеетразличныедействительныекорни x1 и x2 ,

то применяется третьяподстановкаЭйлера: ax2 bx c t(x x1).

6.10. Интегрирование некоторых иррациональных…

83

Пример. Найти интеграл

dx

.

x

x2

x 1

Так как a 1 0, то применим первую подстановку Эйлера:

t2 1

t2 t 1

x2 x 1 t x x2 x 1 t2 2tx x2 ,

x

,

dx

2

dt.

2t 1

(2t 1)2

dx

2t

2

2t 2

2

3

3

dt

dt

x

(2t 1)2

x2 x 1

t(2t 1)2

t

2t 1

3

3

2ln

t

ln

2t 1

C 2ln

x

x2 x 1

3

2

2(2t 1)

–

C .

ln

2x 2

x2

x 1 1

2ln

x

x2

x 1

2

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы.

152.

dx

153.

xdx

.

3

4

1 2

1/3

x

x 2

x

(x 1)

(x 1)

x2

154.

x

dx .

155.

1 x

dx.

3

1 4 x3

1 x

156.

dx

.

157.

dx

.

3

2x 1

x 1 (x 1)3

2x 1

3

dx

.

160.

dx

.

158.

xdx

.

159.

3x

4

1 x

3

x 3 x2

1 3x 4

1 x x

dx

.

161.

dx

.

162.

1 x

2

4

4 (x 1)3(x 2)5

x

dx .

163.

1 x2

164.

dx

.

165.

dx

.

2

x

x

2 (1 x2)3

(a

2 x2)3

166.

dx

.

167.

(1 x2)5dx

. 168. x 1(1 x1 3) 3dx .

x

6

(x2 a2)3

169.

dx

170.

dx

171. x5 3

dx.

.

.

(1 x3)2

x

x

2

3

)

5 3

3 x2 1

(2 x

84																								Глава 6.								Неопределенный интеграл
																																								3
				1 x4																			dx
172.										dx.			173.																						174. x3(1 2x2)										dx.
																															.												2
		5
					x													x		3	3		1			4		x	3
175.								dx					. 176.												dx
																																		. 177.						x2 2x 1				dx.
		x 2 x x2													(2x 3) 4x x2
178.												dx. 179.														dx									. 180.						3x2 5x
				1 4x x2																																											dx.
																		1 x2 2x 2																							3 2x x2
																	(9 x2)3
181.					x		2		3		dx.		182.														dx .					183.									dx									.
								2													6
						x													x																	(x		2	1) x x					2		1

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 6
1.C							1				.					2. C						2						ex ln														x			.				3.			z 2ln						z									1		C .
								x													3x			x																																											z
																																																										1
	2																								6			6										4	4																										arcsin x C .
4.				x2											x C .							5.									x7												x3						C.				6.
														x
5																							7													3																					3
										2(1,5)x																	C ctgx tgx.
7. 3x																		C .				8.
													ln1,5
9.arctgx																1	C .					10. x sin x C .																														11. C ctgx x.
																x
		tgx C .																			x 2arctgx C .																															tg4x
12.																	13.																																14.					C .
																																																				4
15.		C															1						16. C															(8 2x)3
																					.																														.
												8(2x 3)4																															3
					1																		2																																								1
																																		2									3																													2		3
17.									ctg5x C .													18.										(x				1)												C .				19.C																(1 x					)		.
					5																																																										3
																							3
				5																															2
20.								5 (x3 2)6 C.																					21.											4 x5										C .			22.														3x2 5x 6 C .
		18																																5
			1																																																			2
														4																																																								3
23.						sin									x C.						24.								1 2cosx C .																							25.							(ln x)												C .
		4																																																			3

6.10. Интегрирование некоторых иррациональных…

85

26.	C																1																.27.								C			1			cos(2x 3).														28.							1		tg(2x														) C .
										2(arcsin x)2																																		2																						2																4
29.																	x													30.											1		x5													31. ln(e									x
	C cose																			.																						e				C .																					1) C .
																																									5
32.	C ln(1 cos2 x).																																										33.						1		ln(x2 1) C .
																																															2
			1																										x C .																			1		arcsin						3x			C .																	1			arctgx2 C .
34.											arctg												2																				35.																							36.
																				3																											3																											2
	3		2																																																			2
	1			arctg											ex						C.																							1																						1																	(x 1)
37.																																								38.										cos2x C .																39.									arctg										C .
	2															2																												2																						2																2
		1
40.				ln						sin(x2 1)																						C .										41.arcsinx															1 x2								C .
	2
42.		1		arctgx												2								1					ln(x								4		1) C . 43.C x 6ln																												3 x								.
	2																						4
																																								45.x 2arctgx C .																															x 1									C .
44.		x 4ln													x 4													C .																																	46.ln
																																															1									x4			2													x
																							1
	arcsin x																																				C .																									C.
47.																																												48.										ln
																																																								x4 2
																					1 x2																										16
								1													x																										1
																																2/3																									3
																																									C .																						6
49.													ln																																		50.							ln	x						x					2					C.
	2		2					6												x												2/3															3												11															4
51.												3																																								52. C
							ln								x			6												ln					x				C.																																											.
	3																																																										2(x 2)2																x 2

21

53.3(x 1)3 3(x 1)3 3ln 1 3x 1 C . 2

	6		6					5	12					5			12		5						1				2
54.						x			2			x			2ln			x			1	C .			55.			ln		tgx C .
	5																								2
56.2																								C .			57.C						(1 x2)3	.
			1 ln x ln										ln x			2ln			1 ln x 1
																																	3x3
						1 x2																4
58.	C										arcsin x.								59.				(3ex 4)4 (ex					1)3 C .
									x
																						21