Математический анализ в примерах и задачах

68	Глава 6. Неопределенный интеграл

6.5.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

а) Интегралы вида

		dx				dx
			и					(6.2)
ax2		bx c
						ax2 bx c

сводятся к табличным 13-16 (см. разд. 6.3) после выделения из квадратного трехчлена полного квадрата.

				Пример. Найти интеграл																																						dx							.
																																		2x2								5x 7
									dx											1								dx											1																				dx														=
								2																				5					7																			5							25								25
																	2									2												2																																	7
		2x							5x 7														x								x									x2						2								x
																												2					2
																																																				4															16
																																																											16												2
																																						5																											5
		1									dx												1								d	x														1			1													x
																																						4
																																																														4						C
=																																																								arctg
		2										2													2								5 2													2
										5							31																								31											31												31
							x																					x
																																																				4										4
										4							16																							16
																																	4
=			2			arctg					4x				5				C . #
		31										31
					б) Интегралы вида
																				mx n									dx					и											mx n													dx.													(6.3)
															ax2								bx c
																																												ax2 bx c

При интегрировании таких функций сначала в числителе создаётся

дифференциал квадратного трехчлена:

d(ax2 bx c) (2ax b)dx .

Числитель преобразуется следующим образом:

n

m

2an

m

2an

mx n m x

2ax

(2ax b)

b .

m

m

2a

m

2a

После этого первый из интегралов (6.3) по свойству 5 раздела

6.2 разбивается на два:

m

2ax b

dx

2an mb

dx

,

ax2 bx c

2a ax2 bx c

2a

первый из которых берётся по

формуле 2

таблицы

раздела 6.3,

а второй – интеграл (6.2), рассмотренный раньше. Аналогично берётся и второй интеграл из (6.3)

6.5. Интегрирование простейших функций, содержащих…

69

Пример.

Найти интеграл

x 3

dx.

3 2x x

2

x 3

1

2x 6

1 ( 2x 2) (2 6)

dx 2

dx 2

dx

3 2x x2

3 2x x2

3 2x x2

1

2x 2

dx 4

dx

2

3 2x x

2

3 2x x

2

1

2x 2

dx 4

dx

2

3 2x x

2

4 (x 1)

2

1

1(3 2x x2)

2

x 1

x 1

4arcsin

C 3 2x x2

4arcsin

C.

2

12

2

2

в) Интегралы вида

dx

.

(6.4)

(mx n)

ax2 bx c

1

Эти интегралы приводятся к интегралам (6.3) подстановкой

t.

mx n

dx

Пример. Найти интеграл

.

(x 1)

x2 2

dx

1

1

1

dt; x2

1 2

t x 1

dx

2 1

2

t

2

t

(x 1)

2

x 1

t

x 2

2 1

2 1

2t 1 t2

1 t2 dt t

dt

1

2

1

=

t

t

2

t

t

2

t

2

1 2t t2

1 2t t2

t

1

dt

t 1

1

arcsin

C arcsin

x 1

C

2 (t 1)2

2

2

arcsin

2 x

C .

2(x 1)

70 Глава 6. Неопределенный интеграл

									Задачи для самостоятельного решения
			Вычислить интегралы																															dx
77.								dx						78.						dx							.	79.									.
																															x	2		3x 10
					5 2x x2												12x 9x2 2
80.							dx			.				81.					8x 11						dx.			82.						4 3x					dx.
		x x						2	2,5																					5x			2
																			5 2x x2
																																		6x 18
83.						3x 1							dx.	84.			(x 2)dx						.					85.						3x 5				dx.
																	2
				x		2 2x 2																										x2 4x 5
																x 2x 2
86.						4x 8						dx.		87.						dx		.						88.						dx							.
			3x			2
								2x 5									x 1 x2												(x 1) x2 2x
89.							dx					.
		x				x	2
									x 1

6.6. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

Функция называется дробно-рациональной или рациональной дробью, если она представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены степени m и n соответственно. Для такой функции используют обозначение R(x):

R(x)	Pm(x)	.	(6.5)
	Qn(x)

Если m n , дробь (6.5) называется правильной, если же m n –

дробь (6.5) неправильная.

Если дробь (6.5) неправильная, то в этой дроби можно выделить целую часть, т.е. представить её в виде:

	Pm(x)	T	(x)	Sr (x)	,	(6.6)
	Q (x) m n			Q (x)
	n			n
где Tm n(x) и Sr(x) – многочлены, причем						r n, а значит, дробь

Sr(x) – правильная. Выделение целой части производится делени-

Qn(x)

ем числителя Pm(x) на знаменатель Qn(x) “уголком”.

Пример. Выделить целую часть дроби x3 2x2 4 . x2 x 1

6.5. Интегрирование простейших функций, содержащих…

71

Разделим “уголком” числитель на знаменатель

x x 4

x x

x x 4

x

x x 4

x x

x

Целая часть T (x) x ; S1(x) = – 2x + 3.

x

x

x

Итак,

x

. #

x

x x

x

Дроби вида

A

,

A

,

Mx N

,

Mx N

,

(6.7)

(x a)k

x

(x2 px q)k

x a

2 px q

(k 2), p2 4q 0 называются простейшими или элементарными.

72	Глава 6. Неопределенный интеграл

Правильную рациональную дробь Pm(x) можно разложить на

Qn(x)

сумму простейших дробей указанных четырёх типов (6.7). Это разложение зависит от разложения на множители Qn(x).

Пусть

Q (x) (x a)k	...(x2	px q)l	...,	(6.8)
n
где (x a)k соответствует действительному			корню a	многочлена

Qn(x) кратности k , а (x2

ных корней Qn(x)кратности

В разложении Pm(x)

Qn(x)

px q)l			– паре комплексных сопряжен-
p
l			q , k ... l ... n.
	4

на элементарные дроби сомножителю

(x a)k из (6.8) будет соответствовать сумма k дробей вида

A1

A2

...

Ak

,

x a

(x a)2

(x a)k

а сомножителю (x2 px q)l

из (6.8) – сумма l

дробей

M1x N1

M2x N2

...

Mlx Nl

.

(x2 px q)2

(x2 px q)l

x2 px q

О нахождении коэффициентов – в разделе 6.8.

Пример. Не определяя коэффициентов, записать разложение правильной дробно-рациональной функции

5x 13

R(x) x3(x 4)(x2 2x 2)(x2 5)2

на элементарные дроби.

В разложении знаменателя дроби R(x) на множители со-

множитель x3 соответствует действительному корню x 0 кратно-

сти 3, x 4 – действительному простому корню x 4, x2 2x 2 –

паре простых комплексных сопряженных корней 1 i ; (x2 5)2 –

паре комплексных сопряженных корней x 5i кратности 2. То-

гда разложение R(x) на элементарные дроби будет выглядеть так:

R(x)

A

B

C

D

Ex F

Kx L

Mx N

. #

x3

x2 2x 2

x2 5

(x2 5)2

x x2

x 4

6.7.6Интегрирование.6. Рациональныепростейшихдроби

рациональных…

73

6.7.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Рассмотрим интегрированиекаждой из простейших дробей (6.7).

Дробь I типа.

A

dx

Aln

x a

C.

x a

A(x a) k 1

A

Дробь II типа.

dx A (x

a) k dx

C .

(x a)k

k 1

Дробь III типа.

Mx N

p

dx ,

q .

x2 px q

Создадим в числителе дифференциал знаменателя, т.е. выражение

(2x p)dx .

Mx N

x

N

M

2x

2N

M

dx =M

dx =

M

dx=

x2 px q

x2 px q

2

x2 px q

2N

M

(2x p)

p

M

=

dx

2

x2 px q

M

2x p

2N pM

dx

=

dx

2

x2 px q

2

x2 px q

=

M

ln(x2 px q)

2N pM

dx

=

2

2

2

p

p2

x

q

2

4

=

M

ln(x2 px q)

2

N pM

arctg

2x p

C .

2

4q p2

4q p2

Дробь IV типа.

Mx N

dx,

p2

q 0,

k 2.

Интег-

(x2

px q)k

4

рирование этих дробей после выделения в числителе дифференциа-

ла квадратного трехчлена x2 px q и выделения полного квадрата в этом трехчлене сводится в вычислению двух интегралов

74 Глава 6. Неопределенный интеграл

1) (x2 px q) k (2x p)dx

1

;

(k 1)(x2

px q)k 1

2)

dt

.

Предварительно сделана

замена переменной

(t2

a2)k

2

x

p

t и

q

p

a2

. Этот интеграл вычисляется по рекур-

2

4

рентной формуле:
	dt		1		t		2k 3		dt
										.
	(t2 a2)k		2a2(k 1)		(t2 a2)k 1		2a2(k 1)		(t2 a2)k 1

6.8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Пусть R(x) Pm(x) – правильная рациональная дробь. Чтобы

Qn(x)

её проинтегрировать, нужно Pm(x) разложить на сумму элементар-

Qn(x)

ных дробей, результат интегрирования которых выражается элементарными функциями (логарифм, степенная, арктангенс).

Если R(x) Pm(x) – неправильная рациональная дробь, то

Qn(x)

R(x) можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (см. раздел 6.6), об интегрировании которых говорилось выше (см. раздел 6.7).

		2x2	5x 13
Пример. Найти интеграл				dx.
	(x 1)(x 2)(x 3)

Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Знамена-

тель её имеет действительные простые корни x								1, x		2, x	3.
						1		2		3
Разложим подынтегральную дробь на элементарные:
	2x2 5x 13		A		B			C
									.
					x 2
	(x 1)(x 2)(x 3)		x 1				x 3

Приведя к целому виду обе части этого тождества, получим

2x2 5x 13 A(x 2)(x 3) B(x 1)(x 3) C(x 1)(x 2).

Полагая последовательно x 1, x 2, x 3, получаем систему уравнений:

6.8. Интегрирование6.6. Рациональныерациональныхдр би

дробей

75

x 1

6 6A A 1;

x 2

15 15B B 1;

x 3

20 10C C 2.

2x2 5x 13

dx

dx

dx

2

dx

(x 1)(x 2)(x 3)

x 1

x 2

x 3

=ln

x 1

ln

x 2

2ln

x 3

C.#

Пример. Найти интеграл

2x3 5x2 6x 5

dx.

(x 1)2

(x2 1)

Под интегралом – правильная рациональная дробь. Разложение на элементарные дроби имеет вид:

	2x3 5x2 6x 5		A		B		Cx D	,
					(x 1)2		x2 1
	(x 1)2(x2 1)		x 1
2x3 5x2 6x 5 A(x 1)(x2			1) B(x2 1) (Cx D)(x 1)2 . (6.9)

Коэффициенты А, В, С, D можно найти, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x многочленов, стоящих справа и сле-

ва в (6.9):

x3 2 A C

x2 5 A B D 2C

(6.10)

x1 6 A C 2D

x0 5 A B D

Решив систему уравнений, получим

A 2; B 1; C 0; D 2,

	2x3 5x2 6x 5			2		dx		dx
		dx			dx		2
	(x 1)2(x2 1)			x 1		(x 1)2		x2 1
	2ln	x 1		1	2arctgx C .#

x1

За м е ч а н и е. Часть коэффициентов можно найти до решения системы (6.10), подставляя в обе части (6.9) значения действительных корней знаменателя. В нашем случае – один действительный корень х = 1

x= 1| B,

B B .

После этого система (6.10) упрощается.

76																																		Глава 6.									Неопределенный интеграл
														Задачи для самостоятельного решения
		Вычислить интегралы
90.				2x2 41x 91																														91.		x5								x4 8
																												dx.																											dx .
																																										x		3				4x
	(x 1)(x 3)(x 4)
92.	5x3					9x2 22x 8																												93.											5x3 2
																													dx.																																	dx .
							x		3			4x																											x				3		5x							2
																																																						4x
94.												32xdx																				.		95.									2x2 5														dx.
	(2x					1)(4x										2																					x				4			5x							2
																		16x 15)																																				6
96.	x6 2x4 3x3 9x2 4																																	97.											2x2 1
																																	dx.																											dx.
							x	5			5x								2																		x					3		5x							2
																					4x																																	6x
98.	x4 3x3 3x																			2 5														99.								x2 3x 2
																											dx.																																dx.
		x		3		3x				2																											x(x								2
														3x 1																																		2x 1)
100.												x2															dx.							101.							x3 6x2 11x 5
																																																																			dx.
			x		3	5x						2																																					(x				2)					4
															8x 4
102.							x2 2x 3
																															dx.
			(x			1)(x								3		4x						2
																								3x)
103.			x3			2x2 4																												104.										x2 x 14
																				dx.																																												dx .
				x		3	(x 2)										2																							(x					4)						3
																																																					(x 2)
105.			x		3	6x						2			9x 7												dx.							106.									xdx							.
					(x 2)								3																														3
															(x 5)																									x 1
107.							2x2 3x 3																							dx.				108.																	dx														.
			(x			1)(x								2																											(x					1)					2		(x		2
																	2x 5)																																								1)
109.					3x2 x 3																		dx.											110.				x5							2x3 4x 4																					dx.
			(x			1)			3			(x				2																										x		4				2x						3	2x								2
																		1)
111.							x3		6											dx .														112.								dx							.
			x		4				2																											1 x											4
						6x									8
113.			x3 x 1													dx.																		114.													2xdx														.
			(x			2	2)						2																						(x 1)(1 x																				2	)		2

6.6. Рациональные дроби																		77
115.						7x 15					dx .		116.			x 1			dx.
		x	3		2x		2							(x	2	1)(x	2
								5x										9)
117.						dx						.
		(x		2		1)(x			2
										1)

6.9.ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХФУНКЦИЙ

1) R(sin x,cos x)dx							(6.11)
Интеграл всегда сводится к интегралу от рациональной дроби с
помощью подстановки tg(x/2) t .
Тогда sin x	2t		; cosx	1 t2	; dx	2dt	.
		2		1 t2		1 t2
1 t

Особенно удобно ею пользоваться, если под интегралом стоит

дробьИнтегрирование, числителе и знаменателе которой стоят многочлены отно-

6.9. некоторых тригонометрических…

сительно sin x и cosx, степени не более первой.

Пример. Найти интеграл I

dx

.

cosx 2sin x 3

Сделаем подстановку tg

x

t,

sinx

2t

, cosx

1 t

2

,

dx

2dt

.

2

1 t

2

1 t

2

1 t

2

I

2dt

dt

=

1 t

2

4t

t

2

2t 2

(1 t2)

3

2

2

1 t

1 t

dt

arctg(t 1) C

(t 1)2 1

x

C .

= arctg tg

1

2

x

Заметим,

что подстановка tg

t приводит иной раз к слож-

2

ным выкладкам. Ниже указаны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более простых подстановок.

2) R(sin x,cos x)dx .

Если имеет

место тождество R( sinx, cosx) R(sinx,cosx),

то удобнее сделать подстановку tg x t .

Тогда sin x

t

, cosx

1

,

dx

dt

.

1 t2

1 t2

1 t2