Математический анализ в примерах и задачах

1.2. Некоторые типы функций

13

Пример. Доказать, что функция

f (x) cosx – монотонно убы-

вающая в интервале (0;

).

f

f (x2) f (x1) cosx2 cosx1

(1.3)

2sin((x2 x1)/2)sin((x2 x1)/2).

Так как x ,x

(0;

), при x x

2

имеем

0 (x

x )/2 и,

сле-

1

2

1

2

1

f 0 или

довательно,

sin((x2 x1)/2) 0, то из (1.3) следует,

что

f (x1) f (x2),

т.е. f (x) cosx монотонно убывает в (0; ) .

Пример. Исследовать на монотонность функцию

f (x)

ax b

, a 0,b 0, c 0,d 0.

cx d

D( f ):x ( ; d /c) ( d /c;

) .

f (x)

a(x b/a)

a[(x d /c) d /c b/a]

a

b/a d /c

1

c(x d /c)

c(x d /c)

c

x d /c

=

a

bc da

1

a

k

1

,

где k

bc da

.

c2

x d /c

c

x d /c c

c2

f f (x2) f (x1) k

1

k

1

k

x2

x1

.

x1 d /c

x2 d /c

(x2 d /c)(x1 d /c)

а) Если x1 x2

d /c, то x2

x1 0,

x2 d /c 0,

x1 d /c 0

и f

сохраняет знак

x ( ;

d /c),

значит, f (x)

монотонна

в ( ; d /c).

б) Если d /c x1

x2, то x2

x1 0,

x2 d /c 0,

x1 d /c 0

и f

сохраняет знак x ( d /c;

), значит,

f (x) – монотонная

функция в ( d /c; ).

Отметим, что знаки f

совпадают в обоих интервалах.

Задачи для самостоятельного решения

Доказать, что указанные функции являются монотонно возрастающими (убывающими) в указанных промежутках.

34.	f(x) sinx, /2 x /2.	35.	f(x) tg x, /2 x /2.
36.	f (x) 2x sin x, x .	37.	f (x) ctgx, 0 x .

38. f (x) ax, a 0, x .

14

Г л а в а 1. Действительные функции одной…

Четныеинечетныефункции.Функция f (x),определенная всим-

метричном

интервале

( l, l),

называется

четной,

если

f ( x) f (x),

и нечетной, если f ( x) f (x).

Пример.

а) f (x) 5x x3 ,

f ( x) 5( x) ( x)3 5x x3

= (5x x3) f (x), таким образом, функция f (x)

– нечетная.

x

x

1

x

x

x

б) g(x) x

a 1

, g( x) x

a

x

(1/a ) 1

x

(1 a

)a

x

x

1

x

x

x

)

a 1

a

(1/a ) 1

a (1 a

ax

1

= x

g(x), функция g(x) – четная.

ax

1

Пример. Доказать, что всякую функцию, определенную в ( l,l), можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

f (x) f (x)/2 f (x)/2 [ f (x) f ( x)]/2 [ f (x) f ( x)]/2

= 1(x) 2(x), где 1(x) [f(x) f( x)]/2, 2(x) [f(x) f( x)]/2;

1( x) [f ( x) f ( ( x))]/2 [f ( x) f (x)]/2 1(x), значит,

1(x)– четная;

2( x) [f ( x) f ( ( x))]/2 [f( x) f(x)]/2 2(x),

значит, 2(x) – нечетная.

Задачи для самостоятельного решения

39. Какие из указанных ниже функций четны, какие нечетны, какие не являются ни четными, ни нечетными?

a) f(x) x4 2x2,		б)	f (x) x x2 ,		в) f (x) cosx, г) f (x) 2x ,
д)	f (x) sin2x,	е)	f (x) 2 x2	,	ж)	f (x) (ax a x)/2,
з)	f (x) (ax a x)/2,				и)	f (x) ln((1 x)/(1 x)) .

Представить в виде суммы четной и нечетной функций:

40. y ax . 41. y (1 x)100.

42. Доказать, что произведение двух четных функций есть четная функция, произведение двух нечетных – четная функция, произведение четной и нечетной – нечетная функция.

Периодические функции. Функция f (x), определенная в D,

называется периодической, если существует число T>0 такое, чтоx D выполняется

f (x T) f (x).

(1.4)

Наименьшее из T , для которых выполняется (1.4), называется периодом f (x); тогда kT (k 1, 2,...)– период функции в широком смысле слова.

1.2. Некоторые типы функций

15

Пример. Найти, если существует, период функции

f(x) sinax (a 0).

Функция определена x R. По определению sina(x T) sinax, sin(ax aT) sinax 0– уравнение для определения T; преобразуем

его: 2cos(ax aT /2)sin(aT /2) 0. Так как x – любое из R,				то по-
следнее уравнение	выполняется,		если sin(aT /2) 0;	отсюда
aT /2 k , T 2k /a . Наименьшее			положительное (отличное от
нуля) T получим при k 1:T 2 /a.
З а м е ч а н	и	е. Функции	sinax, cosax имеют	период
T 2 /a, функции tgax,		ctgax – период T /a.
Теорема 1.1. Если функция f (x), определенная в D1, имеет
период T1, а функция	(x), определенная в D2 , – период T2 , то:

1) определенная в D D1 D2 функция f (x) (x)будет периоди-

ческой с периодом T, если отношение T1 /T2 – рациональное число;

2) период T – наименьшее общее кратное чисел T , T .

1

2

Доказательство. 1) По определению (1.4):

f (x) f (x k1T1), (x) (x k2T2),

(1.5)

где k , k

2

– целые.

1

f (x) (x)– периодическая с периодом T, то-

Пусть функция

гда по определению (1.4)

f (x) (x) f (x T) (x T), отсюда

с учетом (1.5) следует T k1T1 k2T2

или T1 /T2 k2 /k1. При целых

k ,

k

2

отношение k

2

/k – рациональное число.

1

1

2) Доказать самостоятельно.

Пример.Будет ли периодической функция y sin x sin(x

2) ?

Функции

f (x) sin x

и (x) sin(x

определены x R

2)

и имеют периоды T1 2 и T2

2 /

соответственно. Тогда y оп-

2

ределена

x R.

Так как

T1 /T2 (2 )/(2 /

– иррацио-

2)

2

нальное (трансцендентное) число, то функция

y sin x sin(x

2)–

непериодическая.

Задачи для самостоятельного решения

Выяснить, какие из нижеследующих функций будут периодическими, и определить период.

43. y sin2 x . 44. y sin x2. 45. y xcosx. 46. y 1 tg x.

47. y 5. 48. y sin x (sin2x)/2 (sin3x)/3.

49. y cos(x3) 2sin2x.

16 Г л а в а 1. Действительные функции одной…

50. Построить график периодической функции с периодом

T 1, которая на промежутке [0;1) задана формулой: а) y x, б) y x2. 51. Доказать методом полной индукции: если T – период

функции f (x), то f (x kT) f (x), где k 1,2,3,... .

1.3.ОБРАТНАЯФУНКЦИЯ

Пусть даны множества Х = {x} и Y = {y} и функции f : X Y и g : Y X, при этом функция f двум разным значениям х1 и х2 из Х ставит в соответствие разные значения y1 = f (x1) и y2 = f (x2) из Y.

Функцию g будем называть обратной к функции f, если для всякого x X выполняется

g(f(x)) = x

и для всякого y Y выполняется

f(g(y)) = y.

– 1

Функция g, обратная к f, обозначается f . Если учесть, что

традиционно функцию обозначают у, а аргумент обозначают х, то

– 1

обратной функцией к y = f (x) будет y = f (x).

Теорема 1.2. Если функция f	строго монотонна в области X
и имеет область значений Y, то для	нее существует однозначная об-

ратная функция f 1, определенная на Y и с областью значений X. Если непрерывная функция не является строго монотонной во

всей своей области определения, то, если возможно, область определения разбивают на интервалы, в которых функция строго монотонна, и в каждом таком интервале справедлива теорема 1.2.

Для функций, заданных аналитически y f (x), обратную функцию можно получить, выразив x через y, затем, следуя традиции, условимся менять x и y местами.

Пример. Найти обратную функцию для функции y x2 .

Если областью определения функции y x2 считать всю числовую ось, то на ней функция не является строго монотонной: на ( ,0) функция убывает, на (0, ) – возрастает, и однозначно определенной обратной функции нет. Но на интервалах монотонного изменения функции y x2 обратная функция существует:

а) x ( ; 0): y x2, x	y		, т.е. обратная функция y		x	;
б) x [0; ): y x2, x				, т.е. обратная функция y			.
			y
					x

Взаимно обратными функциями являются,например, (k 0, 1, 2,...):

1.4. Линии на плоскости

17

а)

б)

в)

г)

f (x) cosx

f (x) sin x

f (x) tg x

f (x) ctg x

X [0; ],		f 1			(x) arccosx			X [ 1;1],
Y [ 1; 1];								Y [0; ];
X [ /2;		/2],	f		1			X [ 1;1],
							(x) arcsin x
Y [ 1; 1];								Y [ /2; /2];
X ( /2;		/2),	f	1				X ( ; ),
						(x) arctgx
Y ( ; );								Y ( /2; /2);
X (0;	),							X ( ; ),
		);			f 1(x) arcctgx
Y ( ;								Y (0; );

д)

f (x) ax

X ( ; ),

1

(x) loga x

X (0; ),

f

(a 0,

a 1)

Y (0;

);

Y ( ; ).

Задачи для самостоятельного решения

Найти функцию, обратную данной.

y 10x 1.

52.

y 1/(1 x),

53.

y x2 2x .

54.

55.

y 1 lg(x 2).

56.

y logx 2.

57. y 2x /(1 2x).

58.

y 2sin3x .

59.

y 4arcsin

1 x2 .

1.4. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

Полярные

координаты.

Выберем

на

плоскости некоторую

точку O (полюс) и некоторый выходящий из нее луч Ox (рис. 1.1). Кроме того, укажем единицу масштаба. Полярными координатами

точки M называются числа

и , первое из которых (полярный

радиус ) равно расстоянию точки M от

M

полюса O, а второе (полярный угол ) –

угол, на который надо повернуть против

часовой стрелки луч Ox до совпадения с

)

лучом OM, при этом точка M отлична от

полюса.

Точка M с полярными координа- O

x

тами

и обозначается

символом

Рис..1..11.

M( , ).

Для полюса O полярный радиус равен нулю, а полярный уголнеопределенный, т.е. ему можно приписать любое значение.

Для взаимно однозначного соответствия между отличными от полюса точками плоскости и парами координат ( , ) считают, чтои меняются в границах:

0 ,

0 2

(или ).

(1.6)

18	Г л а в а 1. Действительные функции одной…

З а м е ч а н и е. В некоторых задачах, связанных с непрерывным перемещением точки по плоскости, требуется непрерывное изменение полярных координат этой точки. В таких задачах удобнее отказаться от ограничений для и , указанных в соотношениях (1.6), и выяснять закон изменения величин и в каждом конкретном случае.

Уравнение линии на плоскости. Пусть на плоскости введены декартовы координаты x и y (или полярные координаты и ) и задана некоторая линия L.

Уравнение F(x, y) 0 (или ( , ) 0), связывающее переменные x и y (или и ), называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y (или и ) любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L. Сама линия L представляет геомет-

рическое место точек, координаты которых удовлетворяют урав-

нению F(x, y) 0 (или ( , ) 0). Уравнение линии при таком определении тесно связано с неявно заданной функцией y f (x) (или g( )), а сама линия L является в таком случае графиком функции.

Эскиз линии L строится, например, по точкам.

Розами называются кривые, полярные уравнения которых имеют вид

asinn или acosn .

Пример. Построить график трехлепестковой розы, заданной полярным уравнением asin3 (a 0).

Из условия	0	следует	2k 3 (2k 1) или
2k /3 (2k 1) /3.	Для	взаимно	однозначного соответствия

пар чисел ( , ) , удовлетворяющих уравнению кривой, и точек, принадлежащих графику кривой, необходимо положить k 0;1;2. Тогда [0; /3] [2 /3; ] [4 /3;5 /3]. Кривая состоит из трех конгруэнтных (совпадающих при повороте) петель (лепестков), поэтому достаточно заполнить таблицу значений и только для одной петли ( [0; /3]).

	0																									2							3						5
		18					12							9								6		9							4								18				3
				a				a							a										a							a								a
	0									2							3					a					3							2									0
		2																																					2
							2							2										2							2

Эскиз линии приведен на рис. 1.2.

1.4. Линии на плоскости

19

Рис. 1.2

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 60–63 построить линии, заданные уравнениями в полярных координатах.

60. Спираль Архимеда a , a 0, [0, ) .

61. Логарифмическая спираль ca ,	c 0,	a 0,	a 1,
[0, ) .

62. Гиперболическая спираль a , a 0, (0, ).

63. Синусоидальными спиралями называются кривые, уравнения которых имеют вид

m am sinm или m am cosm .

(1.7)

Это класс кривых, богатый по разнообразию и сложности форм, в силу чего трудно сделать какие-либо общие выводы относительно формы синусоидальных спиралей. Чтобы убедиться в этом, достаточно построить графики для частных случаев уравнений (1.7) a 0:

а)	m 1:	acos – окружность;
б)	m 1:	asin – окружность;
в)	m 1:	a/cos – прямая;
г)	m 1:	a/sin – прямая;
д)	m 2:	2	a2 cos2 – лемниската;
е)	m 2:	2	a2 sin2 – лемниската;
ж) m 2 :		2	a2 /cos2 – гипербола;
з)	m 2 :	2	a2 /sin2 – гипербола;
и) m 1/2:		acos		2			a	(1 cos )– кардиоида;

2 2

20

Г л а в а 1. Действительные функции одной…

к) m 1/2:

asin

2

a

(1 cos )– кардиоида;

2

2

a

2a

л)m 1/2 :

– парабола.

cos

2

1 cos

2

Параметрическое представление линии. Для аналитического представления линии L часто бывает удобно выражать переменные координаты x и y точек этой линии при помощи третьей вспомогательной переменной (или параметра) t:

x (t),

y (t),

t T ,

(1.8)

где функции (t) и (t) предполагаются непрерывными по параметру t в области изменения этого параметра. Исключение из уравнений (1.8) параметра t (если возможно) приводит к рассмотренному выше уравнению F(x, y) 0.

Для построения линии по точкам нет необходимости исключать параметр.

Пример. Построить циклоиду, параметрическое уравнение ко-

торой x a(t sint),

y a(1 cost), t [0;2 ].

Придавая параметру t конкретные значения из отрезка [0;2 ], вычислим соответствующие значения x и y. Результаты вычислений оформим таблицей.

t	0						3				5			3			7		2
		4			2	4				4			2			4
x	0	0,078a			0,571a	1,648a			3,142a	3,925a			4,710a			5,495a			6,283a
y	0	0,293a			a	1,707a			2a	1,707a				a		0,293a			0

Эскиз линии изображен на рис. 1.3.

	Рис. 1.3
	Задачи для самостоятельного решения
	В задачах 64 – 71 построить линии, заданные параметриче-
скими уравнениями (a 0,b 0).
64.	Окружность x acost, y asint, t [0;2 ].
65.	Эллипс x acost, y bsint , t [0;2 ].

Ответы к задачам главы 1

21

66. Трохоида (укороченная циклоида (если b a ) или удлинен-

ная циклоида (если b a))

x at bsint ,

y a bcost :

а) b 0,2a,

t [0;2 ];

б) b 1,2a ,

t [ ;3 ].

67. Астроида

x acos3t ,

y asin3t ,

t [0;2 ].

68. Трактриса x a(lnctg

t

cost),

y asint.

2

a

a

69. Циссоида Диоклеса

x

,

y

.

t

2 1

t(t2 1)

70. Спираль Архимеда

x atsint , y atcost

(см. задачу 60).

71. Кардиоида

x 2acost acos2t, y 2asint asin2t (см. за-

дачи 63. и), к)).

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 1

1.

x 3.

2.

x 5/2.

3. x ( ;

1) ( 1;

0) (0; 1) (1; ).

4.

x ( ; 0) (4;

).

5.

x [ 3/2; 5/2].

6. x [0;1/2].

7. Пустое множество.

8.

x (0;

1) (1;

).

9. x [1; 4).

10.

x (3 2 ; 3 ) (3;4]. 11.

x [ 4; ] [0; ].

12. x ( 1; 1] [2; 3).

13.

x (2; 3) .

14.

s x2

4R2 x2

/2R,

0 x 2R.

15.

а)x (2k ; (2k 1) )

k 0,

1,

2,...;

б)

x (1; e).

16.

y 3 (at

1)2 .

17.

u

1 (lgsin x)2 .

18. y v3, v sin x .

19.

y sinv,

v x3. 20. y lgv,

v tgx.

21. y 5u, u v2, v 3x 1.

22.

а) 3/8, б)sin12; в)

sin2xcos2 2x; г)

x9 3x7

3x5 2x3 x;

y 3

.

д) sin(2sin2x). 23.

y b

x2 a2 /a.

24.

a3 x3

25.

y (log2 5)/ x .

26. y 1 104 / x.

27.

y Arccos(x2 /(1 x)) arccos(x2 /(1 x)) 2k (k 0, 1, 2,...).

28.

Не ограничена.

29. Ограничена.

30. Ограничена снизу.

31.

Ограничена снизу. 32. Не ограничена.

33. Ограничена сверху.

34.

Монотонно возрастающая. 35. Монотонно возрастающая.

36.

Монотонно возрастающая.

37. Монотонно убывающая.

38.

Монотонно возрастает при 0 a 1,

монотонно убывает при a 1.

22	Г л а в а 1. Действительные функции одной…

39.а), в), е), ж) – четные, д), з), и) – нечетные, б), г) – нечетные,

не нечетные. 40. y (ax a x)/2 (ax a x)/2.

41. y (1 x)100 (1 x)100 /2 ((1 x)100 (1 x)100)/2.

43. Периодическая,T = . 44. Непериодическая.45. Непериодическая.

46. Периодическая, T . 47. Периодическая, T – любое число.

48. Периодическая, T 2 . 49. Непериодическая.

50.

а) Y

б) Y

		0 1		2 3					X					0	1			2		3		X
52.	y (x 1)/ x .			53. y 1							, y 1						.	54.		y lg(x/10).
										x 1					x 1
55.	y 2 10x 1.							56.	y 21/ x .					57. y log2(x/(1 x)).
58.	y (arcsin(x/2))/3.							59. y cos(x/4),						y cos(x/4),								x [0;2 ].