Математический анализ в примерах и задачах

6.4. Основные методы интегрирования

случае – один действительный корень х = 1 x = 1| B,

B B .

После этого система (6.10) упрощается.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы

90.

2x2 41x 91

dx.

(x 1)(x 3)(x 4)

92.

5x3

9x2 22x 8

dx.

x

3

4x

94.

32xdx

.

(2x

1)(4x

2

16x 15)

96.

x6 2x4 3x3 9x2 4

dx.

x

5

5x

2

4x

98.

x4 3x3 3x2 5

dx.

x

3

3x

2

3x 1

x2

100.x3 5x2 8x 4dx.

102.					x2 2x 3
												dx.
			(x		1)(x	3	4x		2
										3x)
103.			x3 2x2				4	dx.
			3				2
			x		(x 2)
		x		3	2		9x 7
105.					6x						dx.
					3
				(x 2)			(x 5)

91.

x5

x4

8

dx .

3

x

4x

93.

5x3 2

dx .

x

3

5x

2

4x

95.

2x2 5

dx.

x

4

2

5x

6

97.

2x2 1

dx.

x

3

5x

2

6x

99.

x2 3x 2

dx.

x(x

2

2x 1)

101. x3 6x2 11x 5dx.

(x 2)4

104.				x2 x 14
								dx .
			(x 4)			3
							(x 2)
106.			xdx		.
			3
		x		1

																						Глава 6. Неопределенный интеграл
107.								2x2 3x 3														108.									dx
																					dx.																				.
			(x				1)(x					2													(x 1)						2	(x		2
													2x 5)																								1)
109.					3x2 x 3																	110.		x5 2x3 4x 4
																			dx.																									dx.
			(x				1)			3	(x		2													x	4		2x				3	2x						2
															1)
111.								x3 6									dx .					112.				dx				.
			x		4			2															1 x						4
								6x				8
			x		3																								2xdx
113.						x 1							dx.									114.																	.
						2 2																	(x 1)(1 x													2	)	2
			(x						2)
115.									7x 15									dx .				116.									x 1												dx.
				x		3		2x				2														(x		2	1)(x						2		9)
													5x
117.										dx										.
				(x				2	1)(x					2
																1)

6.9.ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХФУНКЦИЙ

1) R(sin x,cos x)dx

(6.11)

Интеграл всегда сводится к интегралу от рациональной дроби с помощью подстановки tg(x/2) t .

Тогда sin x	2t	;	cosx	1	t	2	;	dx	2dt	.
1 t2			1 t2					1 t2

Особенно удобно ею пользоваться, если под интегралом стоит дробь, в числителе и знаменателе которой стоят

многочлены относительно sin x и cosx, степени не более

6.9. Интегрирование некоторых тригонометрических…

первой.

	Пример.		Найти интеграл I			dx			.
						cosx 2sin x 3				1 t2
	Сделаем		подстановку tg	x	t, sinx		2t	, cosx			,
	2dt		2				1 t2		1 t2
dx		.
	1 t2

6.4. Основные методы интегрирования

I

2dt

dt

=

1 t

2

4t

t

2

2t 2

(1 t

2)

3

2

2

1 t

1 t

dt

arctg(t 1) C

(t 1)2 1

=

x

C

.

arctg tg

1

2

x

Заметим, что подстановка tg

t

приводит иной раз

2

к сложным выкладкам. Ниже указаны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более простых подстановок.

2) R(sin x,cos x)dx .

Если имеет место тождество R( sinx, cosx) R(sinx,cosx), то удобнее сделать подстановку tg x t .

Тогда

sin x

t

,

cosx

1

, dx

dt

.

Пример.

1 t2

1 t2

1 t2

dx

Найти

интеграл

I

.

sin2

x 3sin xcosx cos2 x

1

1

Так

как

,

2

2

2

2

( sinx) 3( sinx)( cosx) ( cosx)

sin x 3sinxcosx cos

x

то делаем

подстановку

tg x t ,

тогда

sin2 x

t2

,

1

1 t2

cos2 x

,

1 t2

t

dt

sin xcosx

,

dx

.

1 t2

1 t2

I

dt

dt

dt

t

2

3t

1

t2 3t 1

(t 3 2)2 13 4

(1 t2)

2

2

2

1 t

1 t

1 t

1

t 3/ 2

/ 2

C

1

2t 3

C =

ln

ln

=

13

13

2 13 / 2

t 3/ 2 13 / 2

13

2t 3 13

Глава 6. Неопределенный интеграл

1

2tgx 3

C. #

ln

13

2tgx 3

13

13

3) R(sin x)cosxdx.

Для нахождения этих интегралов применяется под-

становка sin x t. Тогда cosxdx dt .

R(cos x)sin xdx.

Подстановка

cosx t.Тогда

sin xdx dt .

sin xdx

Пример. Найти интеграл

dx.

(1 cosx)2

Сделаем подстановку cosx t,sin xdx dt

sin xdx

dt

dt

1

C

1

C . #

(1 cosx)2

(1 t)2

(t 1)2

t 1

cosx 1

4) sin2mxcos2nxdx,

m,n N .

Интеграл

берётся

понижением

степени

2m

2n

с

по-мощью

формул:

2

x

1 cos2x

sin

x и cos

x

cos

,

2

1 cos2x

1

sin2 x

, sinxcosx

sin2x.

2

2

Пример. Найти интеграл cos2 xsin4 xdx.

1

1

1 cos2x

cos2 xsin4 xdx

sin2 2xsin2xdx

sin2 2x

dx

4

4

2

1

1

1

1

1 cos4x

sin2 2xcos2x 2dx

sin2 2xdx

sin32x

dx

16

8

2 8 3

8

2

sin3 2x

1

x

1

sin4x C .

48

16

64

5) sinmxcosnxdx .

Хотя бы одно из чисел m или n – целое положительное нечетное. Например, n 2k 1,k N .

sinm xcosn xdx sinm xcos2k 1 dx

sinm x(cos2 x)k cosxdx sinm x(1 sin2 x)k dsin x .

6.4. Основные методы интегрирования

Дальше можно сделать подстановку sin x t.

5

Пример. Найти интеграл

cos x

dx.

sin3 x

cos5 x

cos4 x

(1 sin2 x)2

dx

cosxdx

dsinx

sin3 x

sin3 x

sin3 x

=

1 2sin2 x sin4 x

dsin x

dsin x

dsin x

2

sin xdsin x

sin3 x

sin3 x

sin x

=

1

sin2 x

ln

sin x

C. #

2sin2 x

2

6)Интегралы вида

sin xcos xdx, sin xsin xdx, cos xcos xdx.

Подынтегральные выражения преобразуются в сумму тригонометрических функций с помощью формул:

sin xsin x 1(cos( )x cos( )x), 2

cos xcos x 1(cos( )x cos( )x), 2

sin xcos x 1(sin( )x sin( )x).

2

Пример. Найти интеграл sin

x

2x

dx .

cos

3

3

x

2x

1

x

1

x

C. #

sin

cos

dx

sin

sinx dx

3cos

cosx

3

3

2

3

2

3

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы

118.			dx			119.	dx		120.
					.			.
		5 3cosx					5 4sin x 3cosx
	dx
	5 4sin		x

121. 2 sin x dx.

2 cosx

dx

123. 8 4sin x 7cosx .

dx

125. 4 3cos2 x 5sin2 x .

Глава 6. Неопределенный интеграл

122.				dx			.
		3 2sin x cosx
124.				dx				.
		3sin	2	x 5cos	2
						x
126. tg5 xdx.						127.			dx		.
									8
									tg	x

128.

dx

. 129.

tgx

dx.

sin

2

x 4sin xcosx 5cos

2

sin xcosx

x

130.

dx

.

131.

dx

.

2

2

4 sin3 xcos5 x

(tg

x 5tg x)cos

x

132.

cos2

x 3

dx .

133. sin3 xcos2 xdx.

4

cos

2

x 4 ctg

x

		sin	3	xdx				cos		3
134.					.	135.					xdx	.
								4sin		2
		cosx 3									x 1
137.	cos6 xdx.					138.		dx			.
								3
							sin		x
140. cos7 xdx .						141. sin2 xcos2 xdx.

143. sin3xcos5xdx . 144. sin10xsin15xdx.

136.				dx								.
	cosxsin							3	x
139.					dx								.
		sin		4	xcos					4
												x
142.		sin3 x					dx.
			cosx

145. cos x cos x dx.

2 3

146.

sin xsin2xsin3xdx.

147. cosxcos2 3xdx.

148.

sec2

x

149.

sin2xdx

dx .

.

cos

3

x sin

2

tg2 x 4tgx 1

x 1

cos

4

x

4

x

150.

sin4 xdx.

151.

sin

dx.

cos

2

2

x sin

x

6.10.ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХФУНКЦИЙ

6.4. Основные методы интегрирования

Основной приём интегрирования таких функций заключается в рационализации подынтегрального выражения.

1)

ax b r1/s1

ax b r2/s2

ax b rn /sn

R x,

,

,...,

dx.

cx d

cx d

cx

d

Интеграл берется с помощью подстановки

ax b

tN ,

где

cx d

i =

N – наи-меньший общий знаменатель дробей

ri /si ,

.

1,n

Пример. Найти интеграл

dx

.

2x 1

4 2x 1

1

1

Дан интеграл

R (2x 1)

2

,

(2x 1)

4

dx,здесь N = 4.

Сделаем подстановку 2x 1 t4 x

t4 1

dx 2t3dt.

2

dx

2t3dt

t2dt

(t2 1) 1

2

2

dt

4

t2 t

t 1

t 1

2x 1

2x 1

dt

t2

2

(t 1)dt 2

2

t ln

t 1

t 1

2

C 2x 1 242x 1 2ln42x 1 1 C .

6.10. Интегрирование некоторых иррациональных…

2) R(x,

a2 - x2 )dx, R(x,

a2 + x2 )dx, R(x, x2 - a2 )dx

.

Интегралы рационализуются с помощью соответствующих тригонометрических подстановок.

R(x,

a2 x2 )dx

– подстановка

x asint

или x acost ;

R(x,

– подстановка

или x actgt ;

a

2

x2 )dx

x atgt

a

a

R(x,

x

2

a2 )dx

– подстановка

x

или x

.

cost

sint

Пример. Найти интеграл

dx .

4 x2

Сделаем подстановку x 2sint dx 2costdt.

Глава 6. Неопределенный интеграл

2cost; t arcsin

x

,

4 x2

4 4sin2 t

2

4 x2 dx 2cost2costdt 4 cos2 tdt 2 (1 cos2t)dt

=

1

x

1

x

2 t

sin 2t

C 2 arcsin

sin 2arcsin

C

2

2

2

2

=

x

1

x

x

C

2 arcsin

2sin arcsin

cosarcsin

2

2

2

2

x

x

x2

x

x 4 x2

2 arcsin

1

C 2arcsin

C .

2

2

2

2

4

3) Интегрирование дифференциальных биномов.

Дифференциальным

биномом

называется

выражение

xm (axn b)p dx . Интегралы

xm(axn b)pdx

берутся в элементар-

ных функциях только в следующих трёх случаях: а)

p – целое;

б)

m 1

– целое, в этом случае делается подстановка

axn b ts ,

n

где p r ; в) m 1 p – целое, подстановка axn b tsxn . s n

																																				3			1				x
		Пример. Найти интеграл																																													dx.
		3																		1										1 1
							1 4
										x																																								1									1						1
															dx x					2 (1 x4 )3 dx.																	Здесь												m						,	n							,		p		,
																																																						2					4							3
								x
	m 1					2,								поэтому имеем второй																															случай.											Подстановка
	n	1
						t3 , x (t3 1)4, dx 4(t3 1)3 3t2dt .
1 x			4
															3		1 4																		t
																							x
																										dx														4(t3 1)33t2dt
																																		(t3 1)2
																		x
																																				3															3
																	t7										t4														(1 4								)7				(1 4					)4
																																														x											x
12						t3(t3 1)dt 12																								C 12																																С. #
																		7																					7																	4
																									4
					Пример. Найти интеграл																																					dx						.
																																							41 x4
							dx						x0(1 x4)															1																																1
																												4 dx . Здесь m = 0, n = 4, p = –																																					,
		4																																																									4
						1 x4

6.4. Основные методы интегрирования

m 1

p

0 1

1

0.

Имеем

третий

случай.

Подста-

n

4

4

новка

1

1 x4 t4x4,

x (t4 1) 4,

1

5

1

(t4 1)

4t3dt, 4

tx t(t4 1)

.

dx

1 x4

4

4

4

dx

5

1

(t4 1) 1dt=

t2

4t3 1(t4 1)4dt t2

(t4 1)

dt

4

t4 1

1 x4

=

1

dt

dt

1

dt

1

t 1

1

t 1

1

arctgt C

ln

ln

4

t 1

t 1

2 t

2 1 4

4

2

4

=

1

4

1 x4

x

1

1 x4

C. #

ln

arctg

4

2

x

41 x4

x

4)

Интегрирование

выражений

вида

R(x,

ax2 bx c

). Подстановки Эйлера.

а)

если a 0,

то применяется первая подстановка Эй-

лера:

ax2 bx c t

ax;

б)

если c 0,

то делается вторая подстановка Эйлера:

ax2 bx c

xt

;

c

в) если ax2 bx c имеет различные действительные корни

x1

и

x2 ,

то

применяется

третья

подстановка

Эйлера:

ax2 bx c

t(x x ).

1

dx

Пример. Найти интеграл

.

x

x2 x 1

Так как a 1 0, то применим первую подстановку Эйлера:

t2 1

t2 t 1

x2 x 1 t x x2 x 1 t2 2tx x2 , x

,

dx

2

dt.

2t 1

(2t 1)2

dx

2t

2

2t 2

3

3

dt

2

dt

x

(2t 1)2

x2 x 1

t(2t 1)2

t

2t 1

3

3

2ln

t

ln

2t 1

C 2ln

x

x2 x 1

2

2(2t 1)

31 x

							Глава 6. Неопределенный интеграл
	–	3									C .
			ln	2x 2	x2 x 1 1		2ln	x	x2 x 1
	2

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы.

dx

152. x 3x 24x

154.				x					dx .
				4		3
1					x
156.									dx
										(x 1)3
			x 1

153.	xdx
			.
	1 2	1/3
	(x 1)	(x 1)

155. x2 1 xdx.

.	157.			dx				.
					3
			2x 1
						2x 1

158.											xdx								.			159.								3 3x					4dx									.							160.				1 x							dx	.
																														3
						x 3 x2																							1 3x 4																										1 x x
																																																	dx			.
161.																dx								.					162.									1 x								2
																																						4
				4 (x 1)3(x 2)5
																																									x
															dx .
163.								1 x2														164.												dx											.									165.							dx							.
								2
									x																	x			2 (1 x2)3																													(a			2 x2)3
166.											dx											167.												(1 x2)5dx																				168. x 1(1 x1 3) 3dx .
																				.																														.
																																						x	6
							(x2 a2)3
169.										dx										170.												dx																						171. x5 3											dx.
																	.																								.																		(1 x3)2
			x																					x	2			(2 x							3		)	5 3
						3 x2 1
																																																																3
172.						1 x4										dx.						173.													dx																			174. x3(1 2x2)
																																																	.															2 dx.
						5																												3
																																								4
									x																						x		3		1							x		3
175.											dx											. 176.															dx																	177.
																																																					.				x2				2x 1dx.
			x 2 x x2																								(2x 3) 4x x2