Математический анализ в примерах и задачах

86																																													Глава 6. Неопределенный интеграл
60.										x2						a2					C .												61.					1		sin2x									1		xcos2x C .
											a2x																										4											2
62.	C e x(x 1).																																63.						x2 1							arctgx							x	C .
																																								2											2
64.							x																	x				C .
																ln				tg
					sin x
																					2
65.			1 x2														arctgx ln															x						1 x2									C .
		x2					1																		1
66.																xsin2x															cos2x C .
	4
							4																		8
67.		xln(x2 1) 2x 2arctg x C .
68.	C																x									1			arctgx.
										2(1 x2)															2
		(x3 1)ln(1 x)																													x3						x2						x
69.																																															C .
																3															9						6						3
70.	x2 1											(arctgx)2															xarctgx															1		ln(1 x2) C.
	2
																																								2
71.	2(																						arcsin													) C .
								x											1 x																x
72.							eax											(bsinbx acosbx) C .																														73.				e3x			(sin2x 5cos2x) C.
			a2 b2																																																13

74.x (cosln x sinln x) C. 2

		x														a			2
75.					a		2		x		2									ln	x	a			2	x		2			C .
	2
															2
76.		e x				cos2x 2sin2x																			C.
																						1
	2														5
77.	C ln1 x																	5 2x x2							.
		1	arscin							3x				2			C.										1					x	2		C .
78.																						79.
																													ln
																											7					x	5
	3												2

6.10. Интегрирование некоторых иррациональных…

87

80. 2arctg1 2x C . 3 3

81. C 85 2x x2 3arcsin x 1.

					6
82.	29	arctg	5x 3			3	ln(5x2 6x 18) C.
					10
45		9

83.3x2 2x 2 4ln x 1 x2 2x 2 C .

84.1ln(x2 2x 2) arctg(x 1) C . 2

85.3x2 4x 5 ln x 2 x2 4x 5 C .

86.

2

ln

3x2 2x 5

20

arctg

3x

1

C .

3

x

3

14

14

1

C .

87.

88. arcsin

C.

ln

1

1 x

2

x 1

89.

arcsin

2 x

C

.

90.

ln

(x 1)4

(x 4)5

C .

x

(x 3)7

5

91.

x3

x2

4x ln

x2(x 2)5

C .

3

2

(x 2)3

92.

5x 2ln

x

3ln

x 2

4ln

x 2

C .

x1/2(x 4)161/6

93.

5x ln

C .

(x 1)7/3

94.

ln

2x 1

6ln

2x 3

5ln

2x 5

C .

1

x

1

x

C .

95.

ln

2

ln

3

x

2 2

x

2

2

3

3

96.

x2

x(x 2)

(x 1)(x 1)3

ln

C.

2

x 2

88	Глава 6. Неопределенный интеграл

97. 1ln x 7 ln x 2 17 ln x 3 C.

		6									2																																																	3
98.		x2										1																													2													C .																									99. ln										x2				6	C.
		2																													(x 1)2																																																										x 1
														x 1																																																																															x 1
100.						4										ln													x 1																	C .
			x 2
101.		C									1																																								1															ln							x 2											.
												3(x 2)3																																			2(x 2)2
102.		1													ln															(x 1)(x 3)																																		C.
																																															x
			x 1
103.		1															x													1																									1														1												C .
						ln																																					1
		4													x 2																						x																2x
																																																																		2(x 2)
104.											13																														3																									x 4										C .
																																																					2ln
						2(x 4)2																																		x 4																										x 2
105.											3												ln																				x 5												C .
			2(x 2)2
106.			1		ln														x 1																																1								arctg								2x									1				C .
		3															x2 x 1																																		3																		3
107.		ln									(x2 2x 5)3																																														1				arctg									x 1										C .
																			x 1																																						2													2
108.			1		ln									x 1																			1							ln(x2														1)															1												C .
		2																												4																																				2(x 1)
		1																x2 1																																																			7
109.						ln																																		arctg x																																						C .
																																																																											2
		4																x 1																																															(x 1)
110.			x2						2x																				2			2ln(x2																											2x 2) 2arctg(x 1) C.
		2
																													x
									x2 4																					3																										x								3																		x
111.																																																																				2																	2				C .
		ln																																											arctg																										arctg
													x2 2																	2																					2															2													2

6.10. Интегрирование некоторых иррациональных…																																					89
	1			x2 x										1																x
112.			ln										2											2			arctg						2			C .
	4 2 x2 2 2x 1																		4										1 x2
113.	2 x							ln(x2 2)											1												x
																													arctg						C .
	4(x2 2)
						2													4								2				2
114.	x 1						1		ln			x 1								1			ln(1 x2) C .
	2(x2 1)
						2													4

115.3ln x2 2x 5 2arctg x 1 C .

x2

	1						x2 1				1				1			x
116.				ln											arctgx		arctg		C .
	16						x2 9
											8				24		3
117.		1				x 1						1	arctg x C.
			ln
	4					x 1
											2

118.	1	arctg		2tg		x			C .
	2
				2
	2		5tg		x		4
120.		arctg		2						C
	3			3

	119.	1		C .
		2 tg	x
		2

4					1			x
121. ln(2 cosx)				arctg			tg			C .
					3
3							2

		x		C.
	122. arctg tg		1
		2

	tg		x		5									tgx
										1			3
123. ln	2						C .	124.			arctg					C .
	tg		x		3			15					5
	2

125.1arctg(3tg x) C .

3

126.1 tg4 x 1 tg2 x ln cosx C.

42

127.x 1 ctg7 x 1ctg5 x 1ctg3 x ctgx 3. 7 5 3

128. arctg(tg x 2) C .

129.2 tgx C.

130. 44 tg x C.

	90									Глава 6. Неопределенный интеграл
	131.		1			tgx 5			C .
				ln
		5					tgx
					1
	132.	C					tg x(2 tg2 x)			4 ctg2 x C .
				3

133.1 cos3 x(3cos2 x 5) C . 15

134.cos2 x 3cosx 8ln cosx 3 C . 2

	135.					1							sin x													3						ln									2sin x 1																						C .											136.					ln					tgx											1			C .
																																									2sin x 1																																																						2sin2
		4																							16																																																																							x
		5										1																																						4									5											2				15
	137.										x													sin2x															cos																x									cos							x					C.															138.
		16																																																									4
												12																																																														18
	C												cosx																	1																		x
																																			ln								tg									.
								2sin2 x
																										2																	2
	139.		(tg2 x 1)(tg4																																	x 10tg2 x 1)																																C .
																											3tg3 x
	140.	sin x sin																							3	x												3					sin						5				x						1				sin				7				x C .							141.										x							sin4x	C .
																																				5																							7																												8								32
																													2																										C . 143.																		cos8x											cos2x										C .
	142.	2																																					cos5 x
														cosx
																										5																																																16													4
	144.						sin25x																				sin5x																		C .												145.								3				sin			5x			3sin						x					C .
												50														10																																					5								6							6
	146.		1								cos6x																	1								cos4x																					1	cos2x C.
		24																																																							8
																										16
	147.			sin x																	sin5x																					sin7x														C .
		2																							20																		28
	148.	ln							tgx 2																										tg2 x 4tgx 1																																			C .
	149.						2						ln					1 cosx																										2			ln							cos2									x 2cosx 2																	6					arctg								1 cosx						C .
		5																																									5																																			5
	150.		3		x											1				sin2x																					1					sin4x C .
		8																																					32
												4

6.10. Интегрирование некоторых иррациональных…																																																				91
151.		1										1 tgx								1						sin xcosx C.
				ln
	4										1 tg x
																			2
152.	2									33						84											66				4812									3ln 1 12
						x							x										x					x										x												x
			33						ln 6																	2				171						arctg				212						1			C .
																12																											x
													x									x
	2																															7											7
													3					4														7
	6						1														1													1			(x 1)										1	(x 1)
153.										(x 1)2														(x 1)3																	6
						9
																		8														7											6

52

1(x 1)6 1(x 1)3 C .

5										4
		4 4																	4
154.									3														3
									x	ln												x
		3
																										1					C.
																										2
																		(1 x)														1 x									1 x							1
155.	63				(1 x)2																																												C.
																					16										5												7	4
156.																												157. t							3			3			t		2	3t ln(t 1)									3	C , где
	2arctg									1 x C .
																																						2
t 6												.
						2x 1
																									6					1
																												x
158.	2					x 66 x 3ln																												C .
																									6
																												x 1
159.		1	(3x 4)														1			(3x 4)2/3 (3x 4)1/3 ln																															3				1		C
																																																				3x 4
	3																2																													C.
160.	ln							1 x											1 x							2arctg														1 x
							1 x												1 x																				1 x

161.4 4 x 1 C .

3 x 2

162. C			(1 x2)3				163. C	1 x	2	arcsin x.	164.
						.
								x
			3x3
	1 2x2
					C .

x1 x2

92																																																																		Глава 6.												Неопределенный интеграл
165.																				x														C .												166. C																												x							.
				a2 x2 a2																																																														a2 x2 a2
																																												(1 x2)5																											(1 x2)3
																																																																																					1 x2
167.											x													1 x2																																																																		C .
			ln
																																																5x5																										3x3												x
																						3																23
																																																	3
168.			3(ln																						x																			x													) C .
																	1							3 x												2(1											3 x)2
169.
2												3																								4
1																			x			2																			1												3		(x				2											2
			ln																					1 1																						ln																	1)
																																														23
																																																							x2					1 1
																																			3
	3 x2 1 1																																																																									C .
																																						arctg
																																2
																																																													3
170.								1											4 3x3																	C .																																						171.
						8																												2
													x(2 x3)3
1 3																																1
						(1 x																	3	8												3			(1 x												3			5			C .
																								)																													)
8																																5
																																																																																							3			2
				1																1 x									4				1									1									1 x							4
172.							ln																																																								C .												173. 23 x 4														1			C .
																									x2																												x4
			4																																						4
174.				1								1 x2																			C .																																											175.
			2
													1 2x2
C												1								ln									2 x x2																										2													1						.
																																								x
												2																																																			2					2
176.			C														1								ln						x 6 60x 15x																																					2			.
																																												2x 3
																	15
			1
177.					(x 1)																					x2						2x 1 ln																								x 1																		x2 2x 1											C .
			2
				1																																																																				x 2
178.												(x 2)																		1 4x x2																							5arcsin																									C.
			2
																																																																											5

6.10. Интегрирование некоторых иррациональных…						93
	1	x2 2x 2
179.			ln x 1	x2 2x 2 C.

x1

180.C 1(3x 19) 3 2x x2 14arcsin x 1.

2

2

(9 x2)5

x

2

3

x2 3

181.

ln

x

C .

182.

C.

x

45x5

183.

ln

x

1 x2

C .

1 x2

7.1. Интегральная сумма. Понятие определенного…	99

Г Л А В А 7

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

7.1.ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Пусть функция f (x) определена и ограничена на отрезке [a, b]

и a x0 x1 x2 xn 1 xn b – произвольное разбиение это-

го отрезка на n частей (рис. 7.1). Сумма вида

		n 1
		Sn f ( i) xi	,	(7.1)
		i 0
у
	А			В
				х
0	а	х1		b
		0		xn–1
				n–1
		Рис. 7.1

называется	интегральной	суммой	функции f (x) на [a,	b].
xi i xi 1;	xi xi 1 xi,	i 0, 1,	2, ,(n 1). Геометрически	Sn

представляет собой алгебраическую сумму площадей соответствующих прямоугольников (см. рис. 7.1). Пусть – длина наибольшего частичного отрезка разбиения: max xk , k 0,1, ,n 1,

называемая диаметром разбиения. Если существует конечный предел суммы Sn при условии, что диаметр разбиения 0, не зави-

сящий от способа разбиения промежутка интегрирования [a, b], а также от способа выбора точек i [xi, xi 1], то этот предел назы-

100 Г л а в а 7. Определенный интеграл

вается определенным	интегралом	функции			f (x)	в пределах от
x a до x b, т.е.
b		n 1
	f (x)dx lim		f (	) x .		(7.2)
	0,		i		i
a	n	i 0

В этом случае функция f (x) называется интегрируемой на [a, b] (по Риману), выражение f (x)dx называется подынтегральным вы-

ражением, функция f (x)– подынтегральной функцией, значения a, b– называются нижним и верхним пределами интегрирования

соответственно. Непрерывные и кусочно-непрерывные на [a, b] функции являются интегрируемыми.

Геометрически определенный интеграл (7.2) представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, составляющих криволинейную трапецию aABb , в которой площади частей, расположенных выше оси Ох, берутся со знаком «+», а площади частей, расположенных ниже оси Ох, – со знаком «–».

1. Пусть точка движется прямолинейно вдоль числовой оси с непрерывно изменяющейся скоростью v(t), t0 t T . Смещение

точки за малый промежуток времени tk tk 1 tk	приближенно мож-
но считать равным v( k ) tk , где k [tk, tk 1],	v( k )– средняя ско-
рость за промежуток tk . Тогда интегральная	n 1
	сумма v( k ) tk
	k 0

представляет собой приближенное значение пути, пройденного точ-

кой от момента времени t0	до T . В пределе при max tk 0
получим точное значение этого пути S , т.е.
T	n 1
S v(t)dt = lim v( k ) tk .
t0	0
	n k 0

2. Пусть тело движется по прямой Ox из точки с абсциссой a до точки с абсциссой b(a b) под действием переменной силы величины F, являющейся непрерывной функцией абсциссы x: F F(x), причем сила параллельна прямой Ox , а ее направление совпадает с направлением движения тела. Тогда работа A, произведенная силой величины F , на этом перемещении выражается по-

b

средством определенного интеграла A F(x)dx. При этом подын-

a

тегральное выражение F(x)dx называется элементарной работой.