Математический анализ в примерах и задачах

4.8. Формула Тейлора

53

Подставим полученные представления в числитель, получим

	(x 1)				(x 1)2			(x 1)3	(x 1) (x 1)2						(x 1)3					3	(x 1)2 o |x 1|3
lim		2						3								2!			2
											2(x 1)3
x 1
			1	(x 1)3 o			| x 1|3					1	(x 1)3			1
		6									6								.
lim										lim
					2(x 1)			3			2(x 1)			3
x 1										x 1						12

Задачи для самостоятельного решения

138. Разложить многочлен x4 5x3 x2

3x 4 по степеням

двучлена x 4.

139. Функцию f (x) (x2 3x 1)3 разложить по степеням x,

пользуясь формулой Тейлора.

140.Написать формулу Тейлора n-го порядка для функции

y x при x0

4.

141.

Написать формулу Тейлора

порядка 2n для функции

y sin2

x при x 0.

0

142.

Разложить многочлен

x3 3x2

2x 4

по степеням дву-

члена x 1.

143.

Выяснить поведение

функции

y 6sin x x2

в

точке

x 0.

Пользуясь формулой Тейлора, вычислить пределы.

144.

2(tgx sin x) x3

145.

2 cosx

3

lim

.

lim

.

x

5

x

3

sin x

x

4

x 0

x 0

tgx sin x

.

146.

lim

.

147. lim

1 x

1 x

x 0

x3 x4

x 0

x

148. Вычислить с точностью до 0,001 приближенные значения следующих чисел, используя формулу Маклорена: а) sin 1, б) e ,

в) ln 1,05.

x ln2 x

54								Г л а в а 4. Дифференциальное исчисление функции…
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 4
1.	1				. 2.			1 x2		.	3.		3x		2	.	4.	6x(1 3x 5x3)				.
								(1 x2)2										(1 x2)2	(1 2x3)2
	33 x2
				2x					x sin x cos x											cos		1
5.							. 6.							.	7.		sin3 x.		8.			x		.
																				x2
	33 (1 x2 )4									x2	cos2	x

9. cos(sin x) cos x .

1

11. . (arcsin x)2 1 x2

14. x ln x x 1 ln 2.

10. 3sin 3x sin(2 cos 3x).

12.			2		. 13.		2x	.
							1 x4
		1 2x 2x2
15.		2				.
			arccos 2x	1 4x2

16.			x		.	17. 4 x(1 x ln 4) .
	arctg	1 x2 (2 x2)		1 x2

18. (ln x 1) ln 2 2lnxx . 19. 3sin x ln2 x

21.

1 2 x 4 x

x x

.

8

x

x

x

x

x

x

23.

xtgx

x

x

10

ln10

tg

.

cos2

x

cos x ln 3.			20.		ec h2 2x sh 2x.
	1
22.	e	ln x		.
	x ln2
			x

24. e1 cos x(1 x sin x).

25.

earctg 1 ln(2x 3)

.

(2x 3)

2 ln(2x 3)

1 ln(2x 3)

sin xcos x

cos2

x

26.

sin

x ln sin

x .

sin

x

1

ln(x 1)

27.

2x (x 1)2

.

x

2

x(x 1)

Ответы к задачам																																																																																																		55
																																																																		x						4 ctg										x
		x4 6x2 1																													x(x2								1)																							ctg																												lntg 2x
																																																																																	2
																																																																		2
28.																								3																				.					29. (tg 2x)																																																.
		3x(1 x4)																													(x2							1)2																																			sin 4x																				2		x
																																																																																										2 sin
																																																																																															2
		sin 2										1
																					x
30.											1										x						.																						31. sin									2x cos(x2) 2x cos2 x sin(x2).
				x(1 x)2
32.		3					cos 3x																sin 3x cos x																							.											33. arcsin(ln x)																																	1							.
																															sin3
	2						sin2 x																																x																																																			1 ln2					x
34.		cos3									2x ctg x																														1											2		2x sin 2x)
	6																							ln 6																								6 cos																								.
																																						sin2						x
	4																															x																																															1 / x2
35.																																																		.							36.						2 ln 2 2																								.
						3																					sin2 3
										3																																																												1 41 / x2
													1 x2																											1 x2																									x3
37.		ex xex 2x																											.																				38.				ctg x ln cos x tg x ln sin x																																										.
																																																																			ln2 cos x
	2									xex x2
		sh 2 2
																					x
39.																														.																				40.					3														e					x														.
											2																																											2																							e
														x																																																			arctg2
																																																														x																					x
										2													1																1																																					5
		3 tg									cos																		sin																																					2 ln
																								x															x
																																																																													x
41.																																										.								42.																																										.
				x				2							2																		1																																													2			5				2
											cos								cos
																																	x																							x 1												3 ln
																																																																																	x
																														1																															1
						sin 2 ln																											2									x									sin		ln												2								x
																															x
																																																														x
43.																																																																																	.
														1																																											1
													2												2 x																											2									2 x
																			x																																							x
44.							2																					3											x3										45.									2e2x 3x2																																46.					1
	3x									arctg(x																				)															.																																		.																				.
																																																							(e2x x3) ln 3
																																		1 x6																																																											1 x2

e x ex

56			Г л а в а 4. Дифференциальное исчисление функции…
	1 tg x					cos	x	2				1
47.		.	48. cos tg sin x2	x											.
						2		x	2	)		2
	sin 2x					cos (sin							x

49.	cosx/			1 sin2 x .	50. cosx.					51.
53.		ay x	2	.	54.	x		y2	2x	2	.
						y		2y	2 x
		y2 ax								2

55.ycos2(x y)(cos(xy) sin(xy)) 1.

xcos2(x y)(cos(xy) sin(xy)) 1

56.			x y		2y	1			57.		y2 xyln y
	2							.							.
											x2 xyln x
				1 2x
60.		2x yexy							61.			e x	y
							.							.
		xexy										ey
				3y2									x

4e2x

1 e8x

. 52.

58.	ey
		.

2 y

62. y . x y

e x ex .

59. 1 y2 . y2

63.b tg . a

64.ctg								.	65. –1.
				2
68.	ctg2 t.								69. 1/sint .
72.				n 1					2x (n
	2							sin			1)				.
											2
75.									y			.
					(1 cos(x y))3
78.			1			.			79.		2a			.
			e2							9b2t4
81.								2 t2			.
			a(cost tsint)3

	66.	1 t2		.	67.	t(2 t	3)	.
		t(2 3t t	3)			1 2t	3

70.360.

73.ex (x n).

76.2(y 3 y 5).

cos2 t 4sin2 t 80. 9a2 cos7 tsin3 t

82. t(sint tcost)

71.6 . x

74.16asin2 .

77.(3 s)e2s . (2 s)3

.

.

83. (x2 379)sin x 40xcosx . 84. (1,1); (-1,-1).

Ответы к задачам

57

	85. При x = 0 и при x 2/3.																							86. Касательная x 2y 4a; нормаль
	y 2x 3a.										87. 27x 3y 79 0.																			88.										89. y = 2.
																																					3/6.
	90.				0,				2		arctg					18					.	91.			45			и		90 .		92. Кривые пересекаются
		1												31
	в двух точках под углами 1																							2				arctg				41			87 12 .					93. 4v и 2av.
																																2
																																				1
	94.	(2x 4) (x2													x) (x2									4x 1)						2x									d x.
																																					x
																																2
	95.		2tgx				d x				.	96.										a3dx						.
			cos2 x
																		x2(a2 x2)
										1												2arctgx
	97.																									d x.
						arcsinx						1 x2										1 x			2
		2
	98.	2 1/cosx ln2												sin x								dx .			99.				1 cosx						dx.				100.	d z ds.
														cos2 x																sin2 x
	101.			y	2 1											102.							1 ysin(xy)																103. y 0,00025,
								dx.																							.
					y2
																								xsin(xy)
				o										104. а) 0,05;												б) 0, 805;						в) 0,2; г) 0,5005; д) 30,03.
	sin30 1 0,50025.

105. 0,355. 106. а) d2y coszd2z sinzdz2 ;

б) d2y ax cos ax lnad2x ax ln2 a ax sin ax cos ax dx2;

в) d2y at3			lna cosat3				(6t 9t4 lna) at3							sinat3					9t4 lna dt2 .
109.	sin3x2 sin3x1					3(x2			x1)cos3 ,				x1 x2.
111.	c	1/2, c			5/3.			113. 0.		114.			2				.		115.	2.	116. 0.
	1		2								36 5
117.	4/7. 118.			2.		119.		1/2. 120.			1/2.			121. cos 3. 122. –2. 123. 0.
124.	1.	125. 2.			126.		1.		127.	a.	128.			–1.				129.		0.	130. 0. 131. 1.

58	Г л а в а 4. Дифференциальное исчисление функции…
132. 1. 133. –1.	134. 1/e. 135. e 3/2 . 136. 1.	137. e 6 .

138.(x 4)4 11(x 4)3 37(x 4)2 21(x 4) 56.

139.x6 9x5 30x4 45x3 30x2 9x 1.

140.2 x 4 (x 4)2 (x 4)3 ... ( 1)n 1 (2n 2)!(x 4)n o x 4 n . 4 64 512 n!(n 1)!24n 2

141.

2x2

23 x4

25 x6

27 x8

...

2!

8!

4!

6!

( 1)n 1

22n 1x2n

( 1)n 22n x2n 1

sin2 x,

где 0 1.

(2n)!

(2n 1)!

142.

(x 1)3 5(x 1) 8.

143. Функция возрастает. (0, 0) – точка

перегиба. 144. 1/4.

145. 1/60. 146. 1/2.

147. 1. 148. а) 0,842;

б) 1,648;

в) 0,049.

Г Л А В А 5

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

5.1. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Функция f (x) называется возрастающей (неубывающей) на ин-

тервале (a, b), если x , x		(a, b) таких, что x		x	выполняется
1	2		1	2
f (x1) f (x2) f (x1) f (x2) .
Функция f (x) называется убывающей (невозрастающей) на ин-
тервале (a, b), если x , x		(a, b)таких, что	x x ,		f (x ) f (x )
1	2		1	2	1	2

f (x1 f (x2) .

Теорема 1. Пусть f (x) дифференцируема на (a, b). Тогда, если

	x (a, b) f			, то f (x) – возрастающая (убываю-
			(x) 0 f (x) 0
	щая) на (a, b).
	З а м е ч а н и е. Условие					x (a,b) является
				f (x) 0 f (x) 0
	необходимым		и достаточным	для	неубывания	(невозрастания)f(x)

на (a,b).

Интервалы возрастания и убывания функции называются интер-

валами монотонности.

5.2. ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИЙ

Необходимое и достаточное условия существования экстре-

мума функции. Точка x0 D(f) называется точкой локального макси-

мума (локального минимума) функции			y f (x), если O0(x , ) –
				0
проколотая		окрестность точки x	такая, что	x O0(x , )
		0		0
f (x) f (x0)		( f (x) f (x0)). Точки локального максимума и локаль-
ного минимума называются точками экстремума функции.
	Теорема 1. (Необходимое условие экстремума).			Пусть точка
x0	– точка экстремума функции y f (x). Тогда либо			f (x0) 0, ли-
бо	f (x0) не существует.
	Теорема 2. (Достаточное условие экстремума). Пусть f (x) не-

прерывна в точке x0 и дифференцируема в O0(x0, ) . Тогда, если

60 Г л а в а 5. Исследование функций с помощью производных

выполняются следующие условия:							либо а)					,	x ),
										f (x) 0 x (x
											0		0
f			x (x , x		),	либо	б)			) 0	x (x	,	x	),
	(x ) 0							f (x
		0	0	0		то f (x)			0		0		0
f		(x) 0	x (x	, x	),			имеет экстремум в точке					x	,
			0	0									0

а именно: локальный минимум в случае а) и локальный максимум в случае б).

Пример. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции y (x 5)2 3(x 1)2 .

		D( f ) R . Вычислим производную.
								2				2 (x 5)(4x 2)
y		2(x 5)	3	(x 1)	2	(x 5)	2
											=										.
								33				3			3
									x 1									x 1
Экстремум может достигаться при x 1,												x				1		и x		5, так как
								1				2			2		3

эти значения принадлежат области определения f (x) и f (–1) не

существует, f (1/2) = 0, f (5) = 0. Исследуем знаки первой произ-

водной на интервалах ( , 1), (–1, 1/2), (1/2, 5), (5, ).

(y )

–1

1/2

5

Например,

По методу интервалов получаем остальные

f (0) 0.

знаки. Тогда y f (x)

возрастает на (–1, 1/2) и (5, ); f (x)убывает

на ( , 1)

и (1/2, 5). Точки x1 1

и x3 5 – точки локальных ми-

нимумов, а x2 1/2 – точка локального максимума функции. Пример. Найти соотношение между радиусом R и высотой H

цилиндра, имеющего при данном объеме V наименьшую полную по-

верхность S.
Формула площади полной		поверхности	имеет			вид
S 2 R2 2 RH . Так	как V R2H ,	то, выразив H		V	,	мож-
				R2

но получить S = S(R) 2 R2 2V . Исследуем S (R) на экстремум.

R

2V 4 R3 2V

SR(R) 4 R . Экстремум возможен, если

R2 R2

	3				V
4 R		2V 0,	т.е. R	3	2	. Проверим смену знаков S (R)

	–				+
							знак S (R)
3			V
			2

	5.2. Точки экстремума функций									61
	При	R 3	V		S(R)	имеет	локальный		минимум и,	подставляя
			2
	V R2H ,		получаем H 2R .
		Пусть	f (x)		непрерывна на [a,			b] и точки x1,...,xn (a, b) такие,
	что	f (xi),	i 1,...,n			либо равна 0,		либо не существует. Тогда наи-
	большее значение f (x) на [a,						b] есть max{f(a), f (x ),..., f (x ), f (b)},
								[a,b]	1	n
	а наименьшее – min{f (a), f (x ),..., f (x ),								f (b)}.
					[a,b]		1	n

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения

f (x) 1 x x2 на [0, 1]. 1 x x2

Вычислим производную:

		(2x 1)(1 x x2) (1 2x)(1 x x2)		4x 2
f	(x)				.
		(1 x x2)2		(1 x x2)2

Заметим что, 1 x x2 0 на [0, 1]. Экстремум возможен при x 1 [0,1].

2
Тогда fнаибольшее = max{f (0), f (1/2), f (1)} max{1;	3/5; 1} 1,

fнаименьшее = min{1; 3/5; 1} 3/5. Здесь наибольшее значение f (x) достигается в двух точках, а наименьшее – в одной.

Задачи для самостоятельного решения

1. Показать, что функция y x3 x везде возрастает. 2. Показать, что функция y arctgx x везде убывает. Найти интервалы монотонности функций.

3. y	1 x x2	.	4. y x ex .	5. y	x	.	6. y 2x2 ln x.
	1 x x2				ln x

7. y ln x 1 x2 .

8. y ln1 x2 . 9. y arcsin(1 x) .

Найти экстремумы функций.

			1
10. y					. 11.	y x2	x2 2 .
	ln(x	4	4x3
				30)

62			Г л а в а 5.		Исследование функций с помощью производных
		2								4					.
12.	y		x2 3		.	13.	y					3
				6x 7
		3							9x
											1 x
14.	y x arctgx .				15.	y	1	(x	2	1)arctgx							x	2		x 1		.
							2									8				2

Найти наибольшее и наименьшее значения данных функций на указанных отрезках.

16. y x 2

x

; [0,4].

17. y x3 3x2 6x 2; [ 1,1].

18.y sin2x x; ( /2 x /2) .

19.y 3(x2 2x)2 , (0 x 3).

20.y (x 1)/(x 1), x [0;4].

21.	y arctg		1	x	,		(0 x 1).
		1		x
22.	y					,	x [0;10].
		x(10 x)

23.Периметр равнобедренного треугольника равен 2p. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг высоты, опущенной на основание, был наибольшим.

24.Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.

25.Бревно длиной в 20 м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны соответственно 2 и 1 м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна и объем которой был бы наибольшим. Каковы должны быть размеры балки?

26.Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей.

5.3.ВЫПУКЛОСТЬ, ВОГНУТОСТЬ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ

График функции y f (x)называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a, b), если x (a, b) касательная расположена выше (ниже) графика функции.

Теорема 1. Пусть		y f (x)дважды дифференцируема на (a, b)
		для любого х (а, b). Тогда график функции
и f (x) 0(f (x) 0)
y f (x)	выпуклый (вогнутый) на (a, b).