Математический анализ в примерах и задачах

6.4. Основные методы интегрирования	73
Получили уравнение относительно	e2x sinxdx. Решая его, бу-

дем иметь:

e2x sinxdx e2x(2sinx cosx) C . # 5

Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы методом непосредственного интегрирования.

dx

x3ex x2

1 z 2

x

1.

.

2.

dx .

3.

dz.

x

2

x3

z

3

x2

4

dx.

dx

4.

(

1)(x

1)dx.

5.

x

6.

.

x

x

x

3 3x2

7.

3 2x

2 3x

dx.

8.

cos2x

dx.

9.

1 2x2

dx.

2

x

cos

2

x sin

2

x

2

(1 x

2

)

x

10. 2sin2

x

dx.

11. ctg

2

xdx.

12.

dx

.

cos2x sin

2

2

x

13.x2 1dx.

x2 1

Найти интегралы методом подведения под знак дифференциала.

14. tg3 xd(tgx).											15.				dx					.			16.																dx.
																														8 2x
														(2x 3)					5
		dx									18. 2x												19. x
17.				.												x2		1 dx .														1 x2									dx.
		2
		sin 5x
	x2 5										21.				x4dx								22.					(6x 5)dx															.
20.			x3		2 dx.														.
															4 x			5										2
																								2 3x 5x 6
															sin xdx																				dx .
23.	sin3 xcosxdx										24.											.	25.						ln x
														1 2cosx																	x
			dx								27. sin(2x 3)dx.												28. (cos(2x													π					2
26.										.																													))		dx.
					3																															4
							2
		(arcsinx)				1 x
																												x			dx
29.	ex sinexdx.										30. e x5 x4dx.												31.					e					.
																												x
																										e					1
32.		sin2x				dx.					33.				xdx			.					34.							dx							.
		2			x									x	2															2
		1 cos													1											2x 9

74																								Г л а в а																			6.							Неопределенный интеграл
						dx																								xdx																																				x
35.															.					36.																							.									37.												e dx											.
																														4																																e		2x
					4 9x2
																												x 1																																						4
38.					sin xcosxdx															. 39.																dx															. 40. xctg(x2															1)dx.
																											x			2
					cos2 x sin2 x
																															2x 5
				1 x																																							2
41.												dx.								42.								x(1 x )																				dx.				43.									3 x							dx.
																											4
					1 x2
																														1 x																															3 x
					x																									2		1																																dx
44.							dx.													45.						x														dx.												46.																				.
				x 4																						2
																											x				1																											x(x 1)
				1 x			x						2																	3		dx																																dx
47.																	dx .			48.									x													.										49.																						.
																												8																														2 3x											2
					(1 x2)3																							x			4
50.						x2dx							.							51.								ln x 3																	dx.
						x6 2																						x					ln x
Найти интегралы методом замены переменной.
				4x 3																												dx
52.											dx.									53.																														.		54.														x											dx.
				3																						1						3																							3
				(x 2)																																	x 1																								x2 4 x
						lntg x																																									dx.												1 x2											dx.
55.																		dx.		56.									1 ln x																							57.
																																																											4
				sin x cosx																										xln x																																x
58.					1 x2							dx.								59.								e2xdx															.									60.												dx														.
					2
																																																					x
						x																				4 ex 1																														2 x2 a2
Найти интегралы методом интегрирования по частям.
	xsin2xdx.																							x																												xarctg xdx .
61.																				62. xe								dx.																						63.
64.				xcos			x		dx .											65.		x		arctg x												dx .														66.		xcos2 xdx.
				2
				sin			x																1 x2
67. ln(x2 1)dx.																				68.				x2dx														.												69.		x2 ln(1 x)dx.
																								2										2
																						(1 x									)
													2							71.	arcsin														x
70.	x(arctgx)															dx .																							dx.											72.		eax cosbx dx.
																								1 x
	e3x(sin2x cos2x)dx.																													cosln xdx.																						75.
73.																							74.																																			a2						x2									dx.
				2
76.				sin x				dx.
				x
					e

6.5. Интегрирование простейших функций…

75

6.5.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

а) Интегралы вида

			dx	и			dx		(6.2)
	ax2		bx c
							ax2 bx c

сводятся к табличным 13–16 (см. разд. 6.3) после выделения из квадратного трехчлена полного квадрата.

					Пример. Найти интеграл																																				dx											.
																																		2x2
																																								5x 7
							dx									1									dx										1																										dx																	=
					2x2 5x 7												2				x		2		5			x		7					2											2							5							25										25						7
																																											x					2								x
																									2					2
																																																					4							16										16						2
																																			5																																		5
		1							dx													1						d x																				1					1												x
																																			4
=																																																											arctg											4			C
		2							5 2													2												2															2
																31														5										31															31													31
							x																			x
																																																								4											4
																														4										16
									4			16
=		2				arctg			4x					5	C . #
		31						31
				б) Интегралы вида
																mx n										dx				и													mx n																dx.																		(6.3)
												ax				2
																																										ax			2
																		bx c																													bx c

При интегрировании таких функций сначала в числителе создается

дифференциал квадратного трехчлена:

d(ax2 bx c) (2ax b)dx .

Числитель преобразуется следующим образом:

n

m

2an

m

2an

mx n m x

2ax

(2ax b)

b .

m

2a

m

2a

m

После этого первый из интегралов (6.3) по свойству 5 раздела 6.2 разбивается на два:

	m		2ax b	dx	2an mb		dx		,
	2a	ax2 bx c			2a
						ax2 bx c
первый из которых берется				по формуле		2 таблицы		раздела 6.3,

а второй – интеграл (6.2), рассмотренный раньше. Аналогично берется и второй интеграл из (6.3).

76 Г л а в а 6. Неопределенный интеграл

Пример.

Найти интеграл

x 3

dx .

3 2x x

2

x 3

dx

1

2x 6

dx

1

( 2x 2) (2 6)

dx

2

2

3 2x

x

2

3 2x x

2

3 2x

x

2

1

2x 2

dx 4

dx

3 2x x

2

3 2x x

2

2

1

2x 2

dx 4

dx

3 2x x

2

4 (x 1)

2

2

1

1(3 2x x2)

2

x 1

x 1

4arcsin

C

3 2x x2

4arcsin

C.

2

12

2

2

в) Интегралы вида

dx

.

(6.4)

(mx n)

ax2 bx c

1

Эти интегралы приводятся к интегралам

(6.3)

подстановкой

t.

mx n

dx

Пример. Найти интеграл

.

(x 1)

x2 2

dx

1

1

1

2

t x 1

dx

dt; x2 2 1

1

2

2

t

t

2

(x 1)

x 2

x 1

t

2 1

2 1

2t 1 t2

1 t2 dt t

dt

1

2

1

=

2

2

2

t

t

t

t

t

1 2t

t

2

1 2t

t

2

t

dt

t 1

1

1

arcsin

C arcsin

x 1

C

2 (t 1)2

2

2

arcsin

2 x

C .

2(x 1)

6.6. Рациональные дроби																																								77
								Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы
77.									dx							.		78.							dx							.	79.					dx		.
																																		x	2		3x 10
					5 2x x2																	12x 9x2 2
80.								dx				.						81.						8x 11					dx.				82.					4 3x					dx.
				x	x				2	2,5																								5x			2
																						5 2x x2
																																						6x 18
83.							3x 1										dx. 84.							(x 2)dx						.			85.					3x 5				dx.
																								2
					x2 2x 2																			x 2x 2												x2 4x 5
86.							4x 8							dx.				87.							dx		.						88.					dx							.
				3x		2
							2x 5																	x 1 x2										(x 1) x2 2x
89.								dx						.
				x			x	2
										x 1

6.6. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

Функция называется дробно-рациональной или рациональной дробью, если она представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены степени m и n соответственно. Для такой функции используют обозначение R(x):

R(x)	Pm(x)	.	(6.5)
	Qn(x)

Если m n , дробь (6.5) называется правильной, если же m n –

дробь (6.5) неправильная.

Если дробь (6.5) неправильная, то в этой дроби можно выделить целую часть, т.е. представить ее в виде:

	Pm(x)	T	(x)	Sr (x)	,	(6.6)
				Q (x)
	Q (x) m n
	n			n
где Tm n(x) и Sr(x) – многочлены, причем					r n,	а значит, дробь

Sr(x) – правильная. Выделение целой части производится делени-

Qn(x)

ем числителя Pm(x) на знаменатель Qn(x) “уголком”.

78

Г л а в а 6. Неопределенный интеграл

Пример.

Выделить целую часть дроби

x3 2x2

4

.

x2 x 1

Разделим “уголком” числитель на знаменатель

x x 4

x x

x x 4

x

x x 4

x x

x

Целая часть T (x) x ; S1(x) = – 2x + 3.

x

x

x

Итак,

x

. #

x

x x

x

Дроби вида

A

,

A

,

Mx N

,

Mx N

,

(6.7)

(x a)k

(x2 px q)k

x a

x2 px q

(k 2), p2 4q 0

называются простейшими или элементарными.

Правильную рациональную дробь

Pm(x)

можно разложить на

Qn(x)

сумму простейших дробей указанных четырех типов (6.7). Это разложение зависит от разложения на множители Qn(x).

Пусть

Q (x) (x a)k	...(x2	px q)l...,	(6.8)
n
где (x a)k соответствует действительному корню a			многочлена

Qn(x) кратности k , а (x2

ных корней Qn(x)кратности

В разложении Pm(x)

Qn(x)

px q)l			– паре комплексных сопряжен-
p
l			q , k ... l ... n.
	4

на элементарные дроби сомножителю

(x a)k из (6.8) будет соответствовать сумма k

дробей вида

A1

A2

...

Ak

,

x a

(x a)2

(x a)k

а сомножителю (x2 px q)l

из (6.8) – сумма l

дробей

M1x N1

M2x N2

...

Mlx Nl

.

x2 px q

(x2 px q)2

(x2 px q)l

О нахождении коэффициентов – в разделе 6.8.

6.7. Интегрирование простейших рациональных дробей

79

Пример. Не определяя коэффициентов, записать разложение правильной дробно-рациональной функции

5x 13

R(x) x3(x 4)(x2 2x 2)(x2 5)2

на элементарные дроби.

В разложении знаменателя дроби R(x) на множители со-

множитель x3 соответствует действительному корню x 0 кратно-

сти 3, x 4 – действительному простому корню		x 4, x2		2x 2 –
паре простых комплексных сопряженных корней 1 i ;				(x2 5)2 –
паре комплексных сопряженных корней x			i кратности 2. То-
		5

гда разложение R(x) на элементарные дроби будет выглядеть так:

R(x)

A

B

C

D

Ex F

Kx L

Mx N

. #

x3

x2 2x 2

x2 5

(x2 5)2

x x2

x 4

6.7.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Рассмотрим интегрирование каждой из простейших дробей (6.7).

Дробь I типа.

A

dx

Aln

x a

C .

x a

A(x a) k 1

Дробь II типа.

A

dx A (x a) k dx

C .

(x a)

k

k 1

Дробь III типа.

Mx N

dx,

p

2

q 0.

x

2

px q

4

Создадим в числителе дифференциал знаменателя, т.е. выражение

(2x p)dx .

Mx N

x

N

M

2x

2N

dx=M

M

dx=

M

dx=

x2 px q

x2 px q

2

x2 px q

2N

(2x p)

p

M

M

=

dx

2

x2 px q

=

M

2x p

dx

2N pM

dx

x

2

x

2

2

px q

2

px q

80	Г л а в а 6. Неопределенный интеграл

=M ln(x2 px q) 2

=M ln(x2 px q) 2

2N pM

dx

=

2

p 2

p2

x

q

2

4

2

N pM

arctg

2x p

C .

4q p2

4q p2

Дробь IV типа.		Mx N		dx,	p2	q 0,	k 2. Интег-
	(x	2	k		4
		px q)

рирование этих дробей после выделения в числителе дифференциа-

ла квадратного трехчлена x2 px q и выделения полного квадрата в этом трехчлене сводится в вычислению двух интегралов

1) (x2 px q) k(2x p)dx

1

;

(k 1)(x

2

px q)

k 1

2)

dt

.

Предварительно

сделана

замена

переменной

(t

2

a

2

)

k

p

p

2

a2

x

t

q

и

.

Этот интеграл вычисляется по рекур-

2

4

рентной формуле:

dt

1

t

2k 3

dt

.

(t

2

a

2

)

k

2a

2

(k 1) (t

2

a

2

)

k 1

2a

2

(k 1)

(t

2

a

2

)

k 1

6.8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Пусть R(x) Pm(x) – правильная рациональная дробь. Чтобы ее

Qn(x)

проинтегрировать, нужно Pm(x) разложить на сумму элементарных

Qn(x)

дробей, результат интегрирования которых выражается элементарными функциями (логарифм, степенная, арктангенс).

Если R(x) Pm(x) – неправильная рациональная дробь, то R(x)

Qn(x)

можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (см. раздел 6.6), об интегрировании которых говорилось выше (см. раздел 6.7).

6.8. Интегрирование рациональных дробей

81

Пример. Найти интеграл

2x2 5x 13

dx.

(x 1)(x 2)(x 3)

Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Зна-

менатель

ее

имеет действительные

простые

корни

x1 1,

x

2, x

3.

Разложим

подынтегральную

дробь на

элемен-

2

3

тарные:

2x2 5x 13

A

B

C

.

x 2

(x 1)(x 2)(x 3)

x 1

x 3

Приведя к целому виду обе части этого тождества, получим

2x2 5x 13 A(x 2)(x 3) B(x 1)(x 3) C(x 1)(x 2).

Полагая

последовательно

x 1,

x 2,

x 3,

получаем

систему

уравнений:

x 1

6 6A A 1;

x 2

15 15B B 1;

x 3

20 10C C 2.

2x2 5x 13

dx

dx

dx

2

dx

(x 1)(x 2)(x 3)

x 1

x 2

x 3

=ln

x 1

ln

x 2

2ln

x 3

C.#

Пример. Найти интеграл

2x3

5x2

6x 5

dx .

(x 1)2(x2 1)

Под интегралом – правильная рациональная дробь. Разложе-

ние на элементарные дроби имеет вид:

2x3 5x2 6x 5

A

B

Cx D

,

(x 1)2(x2 1)

(x 1)2

x2

1

x 1

2x3 5x2

6x 5 A(x 1)(x2

1) B(x2 1) (Cx D)(x 1)2 . (6.9)

Коэффициенты А, В, С, D можно найти, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x многочленов, стоящих справа и сле-

ва в (6.9):

x3 2 A C

x2 5 A B D 2C

(6.10)

x1 6 A C 2D

x0 5 A B D

82	Г л а в а 6. Неопределенный интеграл

Решив систему уравнений, получим

A 2; B 1; C 0; D 2,

	2x3	5x2 6x 5							2			dx				dx
							dx				dx			2
	(x 1)		2	(x	2				x 1			(x 1)	2		x	2
						1)											1
				2ln x 1					1		2arctgx C.#

x1

За м е ч а н и е. Часть коэффициентов можно найти до решения системы (6.10), подставляя в обе части (6.9) значения действительных корней знаменателя. В нашем случае – один действительный корень х = 1

x= 1| B,

B B .

После этого система (6.10) упрощается.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы

90.

2x2 41x 91

dx.

(x 1)(x 3)(x 4)

92.

5x3

9x2 22x 8

dx.

x

3

4x

94.

32xdx

.

(2x

1)(4x

2

16x 15)

96.

x6

2x4 3x3 9x

2 4

dx .

x

5

5x

3

4x

x4 3x3 3x

2 5

98.

dx.

x

3

3x

2

3x 1

x2

100.x3 5x2 8x 4dx.

102.				x2			2x 3				dx.
			(x 1)(x				3	4x	2	3x)
104.			x2	x 14					dx .
			(x 4)		3	(x 2)

x5

x4 8

91.

dx .

x

3

4x

5x3 2

93.

dx .

x

3

5x

2

4x

95.

2x2

5

dx.

x

4

2

5x

6

2x2 1

97.

dx.

x

3

5x

2

6x

99.

x2 3x 2

dx.

x(x

2

2x 1)

101. x3 6x2 11x 5dx. (x 2)4

x3 2x2 4

103. dx. x3(x 2)2

105. x3 6x2 9x 7 dx. (x 2)3(x 5)