Математический анализ в примерах и задачах

8.3. Вычисление объемов пространственных тел																		131
			4				2		3	4			3	2		3
V									sin d		a			sin			2 sin	d
			3							3
					0									0
	32				2					64		a3 .
		a3			sin4				cos3 d
										105
3					0

Вычисление объемов тел по известным поперечным сече-

ниям. Если S S(x) – площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох в точке с абсциссой x, то объем этого тела ра-

x2

вен V S(x)dx, где x1, x2 – абсциссы крайних сечений тела.

x1

Пример. Определить объем клина, отсеченного от круглого цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания и наклоненной к основанию под углом . Радиус основания равен R

(рис. 8.13).

Примем за ось Ox диаметр основания, по которому секущая плоскость пересекает основание, а за ось Oy диаметр основания, ему перпендикулярный. Уравнение окружности основания будет x2 y2 R2. Площадь сечения ABC , отстоящего на расстоянии x от начала координат О, равна

S(x) пл. ABC 1 AB BC 1 y

2 2

O

x

A

R

ytg y2 tg 1 R2 x2 tg . 2 2

y

C

B

y

x

Рис. 8.13

Поэтому искомый объем клина есть

		R	R	R2 x2 dx	2
	V	S(x) dx tg				tg R3 .
		R	R	3

132	Г л а в а 8. Геометрические и механические приложения
	Задачи для самостоятельного решения
Вычислить объем следующих тел.
31.	Тела, ограниченного эллиптическим параболоидом z	x2		y2
	4		2

иплоскостью z 1.

32.Тела, ограниченного поверхностью, образованной вращени-

ем параболы y2 4x вокруг своей оси (параболоид вращения) и плоскостью, перпендикулярной к его оси и отстоящей от вершины параболы на расстоянии, равном единице.

33.Тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной линиями y arcsin x , x 1 и осью Ox , вокруг оси Ox .

34.Тела, образованного вращением фигуры, ограниченной па-

раболой y 2x x2 и осью Ox , вокруг оси Oy .

35. Тела, образованного вращением фигуры, ограниченной полуэллипсом с полуосями 2a и 2b (a b) и большой осью, вокруг большой оси полуэллипса.

36. Тела, полученного вращением фигуры, ограниченной пара-

болами y x2 и y2	x, вокруг оси Ox .
37. Тела, ограниченного поверхностью, полученной вращением
астроиды x acos3 t , y asin3 t			t [ /2; /2], вокруг оси Oy .
38. Тела, ограниченного поверхностью, полученной пересече-
нием поверхностей:	x2 z2	a2	и y2 z2 a2 .
39. Тела, ограниченного поверхностью, полученной вращением
линии acos2	[0; ], вокруг полярной оси.
40. Тела, полученного вращением фигуры, ограниченной одной
аркой циклоиды и осью Ox ,			вокруг: а) оси Ox ,	б) оси Oy ,
в) оси симметрии.
41. Тела, ограниченного поверхностью, полученной				вращением
кардиоиды a(1 cos )		[0; ], вокруг полярной оси.

42. Тела, полученного отсечением от круглого цилиндрического тела плоскостью, проходящей через диаметр основания под некоторым углом. При этом высота отсеченной части равна 6 см, радиус цилиндра равен 10 см.

В задачах 43–47 найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг указаннойоси координат.

43. xy 4, x 1, x 2, y 0, Ox.

44. y sin2 x (x [0; ]),

y 0, Ox.

45. x2 /a2 y2 /b2 1, Oy. 46. y xex, x 1, y 0, Ox. 47. y2 4ax, x a, Oy.

	8.4. Вычисление площади поверхности вращения									133
	8.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
	Площадь поверхности, образованной								вращением вокруг оси
	Ox дуги гладкой кривой		y y(x), где y(x)– однозначная функция,
	x [a; b] определяется		формулой:
	b			b
									1 y/(x) 2
	Sx 2 y(x)	dl		dx 2		y(x)				dx ,
		dx
	a			a

где dl – дифференциал длины дуги кривой.

В случае иного задания уравнения кривой площадь поверхно-

сти Sx	получается из формулы	путем соответствующей замены пе-
ременных.
Пример. Найти площадь поверхности, образованной вращени-
ем вокруг оси Ox петли кривой		9y2 x(3 x)2	(рис. 8.14).
	Для верхней части	кривой при	0 x 3 имеем:

y

1

(3 x)

. Отсюда дифференциал длины дуги dl

x

1

dx. На

x

3

2

x

основании формулы площадь поверхности равна

3

x 1

1

Sx 2

(3 x)

x

dx 3 .

3

2

x

0

Пример. Найти площадь поверхности, образованной враще-

нием

одной

арки

циклоиды

x a(t sint),

y a(1 cost),

t [0;2 ] (a 0) вокруг ее оси симметрии (рис. 8.15).

y

dl

y

A

C

dl

0

y

3

x

0

x

B

E

x

Рис. 8.14

Рис. 8.15

Искомая поверхность образуется вращением дуги ОА

во-

круг прямой АВ,

уравнение которой x a. Принимая y

за незави-

симую переменную и учитывая, что ось вращения AB сдвинута относительно координатной оси OY на расстояние a, будем иметь:

OE 2 a ,	OB a,	OC 2a,
		2a						dl
	Sy 2				x(y) a				dy.
		0						dy

134	Г л а в а 8. Геометрические и механические приложения

В случае параметрически заданной функции получаем

	x/	2	/	2
dl(t)		(t) y		(t)

t

dt : Sy 2 x(t) a dl(t)

0

2 ( a at

0

			dx 2			dy		2
	a sin t)							dt
			dt			dt

							t												t						t					t
											2
2		( a at asint)2asin						dt 4 a								sin					2tsin					sint sin					dt
							2
																2								2					2
	0											0
					t				t					t		4						t						4
4 a2				2 cos		2tcos				4sin								sin			3			8					a		2 .
					2				2													2						3
		0										2 3											0

Здесь sin2(t/2) sin(t/2), так как t [0; ].

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить площадь поверхности, образованной вращением заданной линии вокруг соответствующей оси:

48.

L : x2 (y b)2 a2

0 a b ,

вокруг оси

Ox .

49.

L : y

1

(3 x)

,

0 x 3,

вокруг оси Ox .

x

3

50. Дуга

y2 4ax

от вершины до точки с абсциссой x 3a,

вокруг оси Ox .

51. Дуга 3y x3 0

от x 0 до x

a , вокруг оси Ox .

1

2

52. Одна арка синусоиды y sin x,

x [0; ], вокруг оси Ox .

53. Дуга

y tgx

от точки A(0,0)

до точки B( /4; 1), вокруг

оси Ox .

54. Дуга

x2 y2

a2

в первом квадранте, вокруг стягиваю-

щей ее хорды.

x acos3 t ,

y asin3 t ,

55. Дуга астроиды

t [0; ], вокруг

оси Ox .

56. Дуга кардиоиды a(1 cos ), [0; ],

вокруг поляр-

ной оси.

57. Дуга окружности 2rsin ,

[0; 2 ],

вокруг поляр-

ной оси.

58. Дуга лемнискаты 2

a2 cos2 , [0; /4], [3 /4; ]

вокруг полярной оси.

59. Полупетля линии 9ay2 x(3a x)2, вокруг оси Ox .

8.5. Вычисление работы переменной силы

135

8.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ ПЕРЕМЕННОЙ СИЛЫ

Пусть тело движется по прямой Ox из точки с абсциссой a до

точки с абсциссой b (a b) под действием переменной силы F , яв-

ляющейся непрерывной функцией абсциссы x: F F(x), причем сила параллельна прямой Ox , а ее направление совпадает с направ-

лением движения			тела. Найти работу A,			произведенную силой
	F	(x) на этом перемещении.
		Если бы сила			была не переменной,	а постоянной, парал-
				F

лельной прямой Ox , и ее направление совпадало с направлением движения тела, то работа A, произведенная ею, была бы равна произведению модуля силы на пройденный путь, т.е. A F(b a). Но в нашем случае сила переменная и поэтому данной формулой пользоваться нельзя.

Отрезок [a, b] разделим на n отрезков [xk 1, xk] (k 1, 2, , n).

На каждом из них выберем произвольную точку k . Определим в этой точке численное значение силы F( k ) . Полагая, что в преде-

лах каждого частичного отрезка сила не переменная, а постоянная и ее значение равно значению в выбранной точке, будем считать произведенную этой силой работу приближенно на каждом частичном

отрезке равной произведению модуля силы на путь,	т.е. F( k ) xk .
При этом работа силы F(x) на всем отрезке [a, b]	приближенно
	n
равна сумме работ на всех частичных участках: A F( k ) xk .
	k 1

Последняя сумма – интегральная сумма для функции F(x) на отрезке [a, b]. Если устремить наибольшую длину частичных отрезков к нулю, то полученный предел частичных сумм и будет точным значением работы:

	n
A	lim F( k ) xk
	max xk 0k 1
	n

и, согласно определению определенного интеграла, получим:

b

A F(x)dx.

a

Подынтегральное выражение F(x)dx называется элементарной работой и обозначается A.

Пример. Электрический точечный заряд e1 движется в электрическом поле, созданном точечным зарядом e. Определить работу при перемещении заряда q1 из точки A в точку B , считая, что А, В находятся на прямой, проходящей через заряд +q (рис. 8.16а).

136	Г л а в а 8.		Геометрические и механические приложения
		B	a
	A	q1					b
	q
	r1						H
	r2
	Рис. 8.16а				Рис. 8.16б

Согласно закону Кулона величина силы взаимодействия между точечными зарядами q1 и q в пустоте численно определяется

	по формуле: F k	q1q	, где r – расстояние между зарядами,	k – ко-
		r2

эффициент пропорциональности. Величина элементарной работы на

перемещении dr равна A F dr k

q1q

dr ,

а величина полной ра-

боты определяется формулой:

r2

r2

e1 e

1 r2

1

1

e

e

.

A

dr e e

e e

e

r2

1

1

r2

1

r r

r1

r1

r2

r1

1

Выражение, стоящее в скобках, есть разность потенциалов или напряжение между точками A и B .

Задачи для самостоятельного решения

60. Капля с начальной массой M падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу, равную m. Какова работа силы тяжести за время от начала движения до полного испарения капли (сопротивлением воздуха пренебрегаем)?

61.	Найти работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать
воду из	цистерны,	имеющей следующие размеры (рис. 8.16б):
a 0,75м, b 1,2м,		H 1м. Боковая поверхность цистерны обра-
зована параболическим цилиндром.
62.	Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имею-
щую форму равнобочной трапеции,			верхнее основание которой
a 6,4м,	нижнее b 4,2м, а высота		H 3 м.
63.	Согласно закону Гука относительное удлинение стерж-

ня пропорционально напряжению в соответствующем попереч-

ном сечении, т.е. , где E – модуль Юнга (постоянное число

E

8.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести

137

для данного материала). Определить удлинение тяжелого стержня конической формы, укрепленного основанием и обращенного вершиной вниз, если радиус основания равен R , высота конуса H и удельный вес равен .

64. Какую форму должен иметь сосуд, представляющий собой тело вращения, чтобы понижение уровня жидкости при истечении было равномерным?

65. Определить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса a, диаметр которого находится на поверхности воды.

66. Плотина имеет форму фигуры, ограниченной полуэллипсом и его малой осью длиной 2b, причем малая ось лежит на поверхности жидкости. Большая ось эллипса –2a. Вычислить численное значение давления воды на плотину.

67. Вычислить путь, пройденный свободно падающим в пустоте телом за T секунд, если известно, что скорость v свободного падения в пустоте определяется формулой v gt (начальную скорость

v0 принимаем равной нулю).

8.6.ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХМОМЕНТОВ И ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ

Как известно, статический момент M материальной точки массы m относительно некоторой оси равен произведению массы на расстояние d точки от оси: M md . В случае системы матери-

альных точек с массами m1, m2, , mn , лежащих в одной плоскости с осью, соответственно на расстояниях d1, d2, , dn от оси, стати-

n

ческий момент выразится суммой: M midi , при этом расстояние

i 1

точек, лежащих по одну сторону от оси, берется со знаком «+», а расстояния точек по другую сторону – со знаком «–». Если же массы не сосредоточены в отдельных точках, а расположены сплошным образом, заполняя линию или плоскую

фигуру, то для выражения стати- Y ческого момента вместо суммы y потребуется интеграл.

Статический момент пло-

C

ской линии. Определим стати-

A

B

ческий момент относительно ко-

ординатных осей Ox , Oy масс,

расположенных

вдоль

некоторой

x

X

плоской кривой

AB

длины

L

Рис. 8.17

(рис. 8.17).

138	Г л а в а 8. Геометрические и механические приложения
Пусть кривая задана естественными уравнениями x x(l), y y(l),
l [0; L], где	l– длина элемента дуги кривой, отсчитываемая от

начала дуги. При этом полагаем кривую однородной, так что ее линейная плотность (т.е. масса, приходящаяся на единицу длины) будет постоянной. Пусть 1. Тогда масса линии измеряется величиной, равной ее длине. Выделим некоторый элемент dl кривой (масса его равна dl ). Приняв этот элемент приближенно за материальную точку, лежащую на расстоянии y от оси Ox , получим:

Mx y l y dl .

Суммируя элементарные статические моменты и переходя к пре-

L

делу при dl 0, получаем: Mx y(l)dl. Аналогично, выражая

0

L

статический момент относительно оси Oy , получаем: My x(l)dl.

0

Статические моменты Mx,My кривой позволяют установить поло-

жение ее центра тяжести C( , ).

Точка C( , ) обладает тем свойством, что если в ней сосредоточить всю массу L кривой (выражаемую тем же числом, что и длина), то статический момент этой массы относительно любой оси совпадает со статическим моментом кривой относительно этой оси:

L

L

L My x(l)dl ,

L Mx y(l)dl ,

0

0

откуда

My

;

M

x

.

L

L

Если кривая задана уравнением y y(x),

x [a, b], то

b

b

Mx x 1 y/2 (x)dx,

My y(x) 1 y/2 (x)dx .

a

a

Из формулы для ординаты центра тяжести мы получим замечательное геометрическое следствие:

L L

L y(l)dl 2 L 2 y(l)dl.

0

0

Правая часть последнего равенства есть площадь поверхности, полученной от вращения кривой AB вокруг оси Ox . В левой же части

8.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести

139

равенства 2 есть длина окружности, описанной центром тяжести кривой при вращении её вокруг этой же оси Ox , L– длина AB . Таким образом приходим к теореме Гульдина (P. Guldin): Величина поверхности, полученной от вращения кривой около некоторой не пересекающей её оси, равна длине дуги этой кривой, умноженной

на длину окружности, описанной центром тяжести C		кривой:
Sx L 2 , Sy	L 2 . Эта теорема позволяет установить коор-
динату центра тяжести кривой, если известны её длина L		и пло-
щадь, описанной ею поверхности вращения.
Пример.	В тех случаях, когда известно положение центра

тяжести, теоремой Гульдина можно воспользоваться для определения площади поверхности вращения. Пусть, например, требуется определить площадь поверхности кольца (тора) (рис. 8.18), т.е. площадь поверхности тела, образованного вращением круга около оси, не пересекающей его.

Так как центр тяжести окружности совпадает с её геомет-

рическим центром, то имеем: P 2 R 2 D 4 2RD .

R

D

Рис. 8.18

Статический момент плоской фигуры. Рассмотрим пло-

скую фигуру AA/B/B (рис. 8.19), ограниченную сверху кривой AB , которая задана явным уравнением: y y(x), осью Ox и линиями x a, x b. Предположим, что по этой фигуре распределены равномерно массы так, что поверхностная плотность (т.е. масса единицы площади) – постоянна. Пусть 1, т.е. масса количественно равна величине площади фигуры. Для определения статических моментов Mx, My этой фигуры относительно осей координат выде-

лим элемент фигуры в виде узкой вертикальной полоски шириной dx. Тогда масса этой элементарной полоски приближённо равна массе прямоугольника со сторонами dx и y(x): ydx . Для определе-

ния соответствующих элементарных моментов dMx, dMy предпо-

140	Г л а в а 8. Геометрические и механические приложения

ложим всю массу полоски сосредоточенной в её центре тяжести (т.е. в центре прямоугольника), что не изменит величины статического момента. Центр тяжести выделенного прямоугольника отстоит от

оси

Ox на расстоянии

y

, от оси Oy

– на

расстоянии, равном

2

1

x

dx

. После этого, отбрасывая величины более высокого по-

2

рядка малости, чем dx в выражении (x dx/2) ydx, получаем:

dMx

1

yydx

1

y

2

dx;

dMy xydx.

2

2

Y

B

b

1

1

A

x

dx;

y

2

2

a

C

x

X

A

dx

B

Рис. 8.19

Просуммировав эти элементарные моменты и переходя к пределу при dx 0, получим

		1	b	b
	Mx		y2(x)dx ;	My xy(x) dx .	(*)
		2
			a	a

Как и в случае для линии, по статическим моментам рассматриваемой фигуры относительно осей координат находим координаты, центра тяжести фигуры с площадью S :

My /S , Mx /S . (**)

Заметим, что формулы (*), (**) распространяются на случай фигу-

ры, ограниченной линиями: y y1(x),						y y2(x) ,	x a, x b,
(y1(x) y2(x)			x [a; b]), тогда
	1 b		2	2		b
						x y2(x) y1(x) dx.
Mx 2 y2				(x) y1	(x) dx, My

a

a