Математический анализ в примерах и задачах

6.9. Интегрирование некоторых тригонометрических функций																																							83
106.		xdx																			107.							2x2 3x 3
									.																																dx.
		x	3		1																			(x			1)(x						2
																																			2x 5)
108.									dx									.			109.				3x2 x 3															dx.
		(x			1)				2	(x		2												(x			1)		3	(x					2	1)
													1)
110.		x5			2x3 4x 4															dx.	111.							x3 6									dx .
			x		4	2x					3	2x				2								x	4		6x				2
																																		8
112.			dx					.													113.			x3 x 1											dx.
		1 x					4																	(x		2		2)				2
114.							2xdx										.				115.							7x 15										dx .
		(x			1)(1 x								2	)	2									x	3		2x				2			5x
116.							x 1												dx.		117.								dx											.
		(x		2		1)(x						2												(x		2		1)(x							2	1)
													9)

6.9.ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХФУНКЦИЙ

1) R(sin x,cos x)dx							(6.11)
Интеграл всегда сводится к интегралу от рациональной дроби с
помощью подстановки tg(x/2) t .
Тогда sin x	2t		; cosx	1 t2	; dx	2dt	.
		2		1 t2		1 t2
1 t

Особенно удобно ею пользоваться, если под интегралом стоит дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены относительно sin x и cosx, степени не более первой.

Пример. Найти интеграл I

dx

.

cosx 2sin x 3

x

2t

, cosx

1 t

2

2dt

Сделаем подстановку tg

t, sinx

,

dx

.

2

1 t2

1 t

2

1 t

2

I

2dt

dt

=

(1 t

2

1 t

2

4t

t2 2t 2

)

3

2

2

1 t

1 t

dt

arctg(t 1) C

(t 1)2

1

x

= arctg

tg

1 C .

2

84	Г л а в а			6. Неопределенный интеграл
	Заметим, что подстановка tg	x	t	приводит иной раз к слож-
	2

ным выкладкам. Ниже указаны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более простых подстановок.

2) R(sin x,cos x)dx .

Если

имеет

место

тождество R( sinx, cosx) R(sinx,cosx),

то удобнее сделать подстановку tg x t .

Тогда

sin x

t

, cosx

1

,

dx

dt

.

1 t2

1 t2

1 t2

Пример. Найти интеграл I

dx

.

sin

2

x 3sin xcosx cos

2

x

Так как

1

1

,

2

2

2

2

( sinx)

3( sinx)( cosx) ( cosx)

sin x 3sinxcosx

cos

x

то делаем подстановку tg x t , тогда sin2

x

t2

, cos2 x

1

,

1 t2

1 t2

t

dt

sin xcosx

,

dx

.

1 t2

1 t2

I

dt

dt

dt

(1 t

2

t2

3t

1

t2 3t 1

(t 3 2)2 13 4

)

2

2

1 t

1 t

1 t

2

1

t 3/ 2

/ 2

C

1

2t 3

C =

ln

ln

=

13

13

2

13 / 2

t 3/2

13 /2

13

2t 3 13

1

2tgx 3

C. #

ln

13

2tgx 3

13

13

3) R(sin x)cosxdx.

Для нахождения этих интегралов применяется подстановка

sin x t. Тогда cosxdx dt .

R(cos x)sin xdx. Подстановка cosx t.Тогда sin xdx dt .

Пример. Найти интеграл

sinxdx

dx.

(1 cosx)

2

Сделаем подстановку cosx t,sin xdx dt

sin xdx

dt

dt

1

C

1

C. #

(1 cosx)

2

(1 t)

2

(t 1)

2

t 1

cosx 1

6.9. Интегрирование некоторых тригонометрических функций																												85
4) sin2mxcos2nxdx, m,n N .
Интеграл берется понижением степени sin2m x и																										cos2n x с по-
					2		1 cos2x							2			1 cos2x										1
мощьюформул: cos x											, sin				x								, sinxcosx						sin2x.
									2										2								2
Пример. Найти интеграл cos2 xsin4 xdx.
cos2 xsin4 xdx						1			sin2 2xsin2xdx								1			sin2 2x				1 cos2x				dx
						4												4								2
1									1										1
			sin2 2xcos2x 2dx										sin2 2xdx												sin3 2x
	16											8										2 8 3
		1			1 cos4x	dx				sin3			2x		1		x		1		sin4x C .
		8			2				48						16				64

5) sinmxcosnxdx .

Хотя бы одно из чисел m или n – целое положительное нечетное. Например, n 2k 1,k N .

sinm xcosn xdx sinm xcos2k 1dx

sinm x(cos2 x)k cosxdx sinm x(1 sin2 x)k dsinx .

Дальше можно сделать подстановку sin x t.

5

x

Пример. Найти интеграл

cos

dx.

3

sin

x

cos5 x

cos4 x

(1 sin2 x)2

dx

cosxdx

dsinx

sin3 x

sin3 x

sin3 x

=

1 2sin2

x sin4 x

dsinx

d sinx

2

dsin x

sin xdsin x

sin

3

x

sin

3

x

sinx

1

sin2 x

=

ln

sin x

C.

#

2sin2 x

2

6)Интегралы вида

sin xcos xdx, sin xsin xdx, cos xcos xdx.

Подынтегральные выражения преобразуются в сумму тригонометрических функций с помощью формул:

sin xsin x 1(cos( )x cos( )x),

2

86	Г л а в а 6. Неопределенный интеграл

cos xcos x 1(cos( )x cos( )x), 2

sin xcos x 1(sin( )x sin( )x). 2

Пример. Найти интеграл sin x cos2x dx. 3 3

			x		2x		1					x			1			x		C. #
		sin		cos		dx			sin					sinx dx			3cos		cosx
					3		2					3			2
		3															3

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы

118.	dx		119.	dx		120.	dx
		.			.			.
	5 3cosx			5 4sin x 3cosx			5 4sin x

121. 2 sin x dx.

2 cosx

dx

123. 8 4sin x 7cosx .

dx

125. 4 3cos2 x 5sin2 x .

122.				dx				.
		3 2sin x cosx
124.				dx					.
		3sin	2	x 5cos		2
							x
126.	tg5 xdx.				127.						dx		.
											8
											tg	x

128.									dx											.		129.					tgx					dx.
			sin		2		x 4sin xcosx 5cos										2
																			x							sin xcosx
130.							dx				.								131.								dx											.
																								2									2
			4 sin3 xcos5 x																				(tg		x 5tg x)cos											x
132.						cos2			x 3					dx .					133.			sin3 xcos2 xdx.
						4
			cos								2
							x 4 ctg					x
			sin		3		xdx										3															dx
134.									.			135.				cos xdx					.				136.															.
																2													cosxsin							3
			cosx 3													4sin			x 1																			x
137.	cos6 xdx.										138.					dx		.							139.						dx								.
																3												sin			4						4
															sin		x														xcos							x
140.	cos7 xdx .										141. sin2 xcos2 xdx.														142.				sin3 x						dx.
																														cosx

6.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций

87

143.

sin3xcos5xdx. 144.

sin10xsin15xdx.

145.

cos

x

x

cos

dx.

2

3

146.

sin xsin2xsin3xdx.

147. cosxcos2 3xdx.

148.

sec2

x

149.

sin2xdx

dx .

.

cos

3

x sin

2

tg2 x 4tgx 1

x 1

4

x sin

4

x

150.

sin4 xdx.

151.

cos

dx.

2

x sin

2

cos

x

6.10.ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХФУНКЦИЙ

Основной прием интегрирования таких функций заключается в рационализации подынтегрального выражения.

ax b r1/s1

ax b r2/s2

ax b rn /sn

1)

R x,

,

,...,

dx.

cx d

cx

d

cx d

Интеграл берется с помощью подстановки

ax b

tN , где N –

cx d

наименьший общий знаменатель дробей ri /si , i =

1,n

.

Пример. Найти интеграл

dx

.

2x 1 4 2x 1

1

1

2

,

(2x

1)

4

N = 4. Сдела-

Дан интеграл R (2x 1)

dx,здесь

t4

1

ем подстановку 2x 1 t4

x

dx 2t3dt.

2

dx

2t3dt

2

t2dt

2

(t2

1) 1

dt

4

t2 t

t 1

t 1

2x 1

2x 1

dt

t2

(t 1)dt 2

t ln

t 1

2

t 1

2

2

C

24

2ln

4

1

C .

2x 1

2x 1

2x 1

88

Г л а в а 6.

Неопределенный интеграл

2) R(x,

R(x,

)dx,

R(x,

a2 x2

)dx,

a2 + x2

x2 a2

)dx .

Интегралы рационализуются с помощью соответствующих три-

гонометрических подстановок.

R(x,

a2

x2 )dx

– подстановка x asint

или x acost ;

R(x,

a2

x2

)dx – подстановка

x atgt

или x actgt;

a

a

.

R(x,

x2

a2

)dx

– подстановка x

или x

cost

sint

Пример. Найти интеграл

4 x2

dx.

Сделаем подстановку x 2sint dx 2costdt.

2cost; t arcsin

x

,

4 x2

4 4sin2 t

2

4 x2

dx 2cost2costdt 4 cos2 tdt 2 (1 cos2t)dt

=

1

x

1

x

2 t

sin 2t

C

2

arcsin

sin 2arcsin

C

2

2

2

2

=

x

1

x

x

2

arcsin

2sinarcsin

cosarcsin

C

2

2

2

2

x

x

x2

x

x 4 x2

2

arcsin

1

C

2arcsin

C .

2

2

4

2

2

3) Интегрирование дифференциальных биномов.

Дифференциальным

биномом

называется

выражение

xm (axn b)p dx . Интегралы

xm(axn b)pdx

берутся в элементар-

ных функциях только в следующих трех случаях: а)

p – целое;

б)

m 1

–

целое,

в этом случае делается подстановка

axn b ts ,

n

r

m 1

где

p

;

в)

p – целое,

подстановка axn b tsxn .

s

n

3

1 4

Пример. Найти интеграл

x

dx .

x

1

1 1

3

1 4

x

1

1

1

dx x

2(1 x4 )3dx. Здесь

m

, n

, p

,

x

2

4

3

m 1

1

2,

поэтому имеем второй случай.

Подстановка 1 x

t3 ,

4

n

x (t3 1)4, dx 4(t3 1)3 3t2dt .

6.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций																																																																														89
																3
																					1 4																											t
																																x
																																			dx																				4(t3 1)33t2dt
																																												(t3 1)2
																									x
																																																			3
																														7								4																							4						7		3						4						4
12 t					3			3																		t											t																			(1								x)								(1						x)
						(t					1)dt 12																																																																											#
																										7														C 12																			7														4											С.
																																		4
				Пример. Найти интеграл																																												dx								.
																																										41 x4
											dx																														1																																								1
																					x0(1 x4) 4 dx. Здесь m = 0, n = 4, p = –																																																															,
							4																																																																										4
										1 x4
				m 1					p					0 1											1					0.										Имеем третий																								случай.									Подстановка
				n												4									4
																									1 x4 t4x4,																																									1
																																																x (t4 1) 4,
																			1																				5																																					1
											dx												(t4 1)																4 4t3dt, 41 x4																				tx t(t4 1) 4 .
																4
				dx																							5																1																(t4 1) 1dt =																					t2
										(t4 1) 4t3 1(t4 1)4dt t2																																																																											dt
	4																																																																														t4 1
			1 x4
1							dt									dt										1													dt									1				t 1										1							t 1				1		arctgt C
=																																																		ln															ln
4				t 1									t 1													2							t2							1 4																						4											2
																									4																														4
													=			1														1 x4										x								1											1 x4										C. #
																					ln																													arctg
																4																																2														x
																									41 x4															x
				4)		Интегрирование																																	выражений																				вида											R(x,				ax2 bx c).

Подстановки Эйлера.

а) если a 0, то применяется первая подстановка Эйлера:

ax2 bx c t ax;

б) если c 0, то делается вторая подстановка Эйлера:

ax2 bx c xt c ;

в) если ax2 bx c имеет различные действительные корни x1 и x2 ,

то применяется третьяподстановкаЭйлера: ax2 bx c t(x x1).

90																																																										Г л а в а														6.												Неопределенный интеграл
Пример. Найти интеграл																																																																					dx																			.
																																																									x												x2 x 1
Так как a 1 0, то применим первую подстановку Эйлера:
																				x2 x 1 t x x2 x 1 t2 2tx x2 ,
																																			x							t2						1							dx 2														t2 t 1																	dt.
																																																				,
																																																																					(2t 1)2
																																											2t 1
				dx																																			2t2									2t 2																							2																	3													3
																																																														dt																																																						dt
																																									t(2t 1)															2																															2t 1									(2t 1)														2
	x	x			2
									x 1																																																														t
																					3																																	3
	2ln										t															ln									2t 1																															C 2ln																					x						x2 x 1
																																																			2(2t 1)
			3																	2
	–						ln									2x 2																				x2 x 1 1																								2ln											x															x2 x 1															C .
			2
														Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы.
152.																							dx																																												153.																										xdx																								.
																				3																	4																																																			1 2																		1/3
									x																x 2															x																																						(x
																																																																																							1)								(x 1)
																																																																														x2
154.																x											dx .																																							155.																								1 x									dx.
																																																																																						3
			1											4 x3																																																																										1 x
156.																										dx																								.															157.																										dx																		.
																																																																																															3
																																																																																		2x 1
									x 1 (x 1)3																																																																																									2x 1
																																																								3														dx					.																																											dx			.
158.														xdx														.															159.																3x							4																							160.																1 x
				x																																																							3
															3 x2																																							1 3x 4																																																		1 x x
161.																				dx																								.							162.															1 x2						dx							.										163.													1 x2														dx.
																																																																		4																																				2
		4 (x 1)3(x 2)5																																																																			x																																				x
164.																				dx																			.		165.																										dx																				. 166.																				dx																.
								2
				x												(1 x																2			)	3																										(a					2					2			)				3																									(x		2													2	)	3
																																																																					x																																									a
167.									(1 x2)5dx																														.		168.														x 1(1 x1 3) 3dx .																																								169.																					dx								.
																				x			6																																																																																				x
																																																																																																															3 x2 1

Ответы к задачам главы 6

91

170.						dx								.
		x	2	(2 x				3	)	5 3
173.						dx							.
					3
							4
				3					3
			x		1				x

171. x5 3

dx.

172.

1 x4

(1 x3)2

dx.

5

x

174. x3

3

175.

dx

(1 2x2) 2dx.

.

x

2 x x2

				dx
176.										.		177. x2				2x 1dx.
			(2x 3) 4x x					2
												179.					dx
178.			1 4x x2dx.																			.
																	x2 2x 2
													1
																				(9 x2)3
				3x2 5x						181.		x2 3				182.
180.						dx.							dx.										dx .
												2								x		6
				3 2x x2								x

dx

183. (x2 1) x x2 1 .

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 6
1.	C			1		.			2. C			2				ex ln						x		.	3.	z 2ln						z					1	C .
				x							3x				x												1										z
		2											6	6				4	4							6.				arcsin x C .
4.			x2					x C .		5.						x7				x3				C.
							x
	5											7
															3											3
7.	3x				2(1,5)x				C .			8.			C ctgx tgx. 9.											arctgx							1			C .
						ln1,5																											x
10. x sin x C . 11.										C ctgx x. 12.													tgx C.		13. x 2arctgx C .

14.		tg		4x			C.		15.	C							1				.
			4										8(2x 3)4
			1							2
17.					ctg5x C .				18.			(x			2		1)		3	C .
			5							3
		5												2
20.				5 (x3 2)6				C.		21.								4 x5				C .
	18												5

23.1sin4 x C. 24. 1 2cosx C . 4

	16. C			(8 2x)3
							.
				3
		1
	19.C				(1 x2)3 .
	3

22. 3x2 5x 6 C .

25. 2 (ln x)3 C .

3

92 Г л а в а 6. Неопределенный интеграл

26.	C																	1													.						27. C										1		cos(2x 3).															28.										1					tg(2x																	) C .
																																																																										2
								2(arcsin x)2																																						2																																															4
29.																		x																	30.					1						x5																					31. ln(e																		x
	C cose																				.																							e							C .																																				1) C .
																																								5
																																										1																																1																									x C .
32.	C ln(1 cos2 x).																																		33.										ln(x2 1) C . 34.																																						arctg												2
																																								2
																																																																						3				2																			3
35.		1		arcsin													3x							C .											36.				1				arctgx2 C .																					37.								1				arctg												ex					C .
	3																	2																	2																																			2																	2
38.				1																					C .										39.			1			arctg									(x 1)						C .								40.									1			ln								sin(x2 1)																				C .
										cos2x
	2																																		2																	2																		2
																																																						1									2					1												4
41.arcsinx																					1 x							2						C .												42.									arctgx															ln(x															1) C .
																																																				2															4
43.C x 6ln																								3 x						.							44. x 4ln																x 4						C .										45.x 2arctgx C .
46.ln					x 1											C .												47.									arcsin x															1				C .											48.							1										ln				x4					2									C.
							x																																																																					16												x4					2
																					x																													1 x2
	1																																																										1
																											2/3																																							3
49.																																					C .																		50.									x													x			6											C.
													ln																																																	ln																							2
																					x																																						3
	2						6																			2/3																																												11																							4
		2
51.											3																																												52. C
							ln									x			6							ln								x		C.																																																															.
	3																																																																2(x 2)2																								x 2

21

53.3(x 1)3 3(x 1)3 3ln 1 3x 1 C . 2

	6			6						5	12							5			12				5												1			2
54.								x			2					x			2ln					x			1		C .							55.			ln			tgx C .
	5																																				2
56.2																																			C .	57.C							(1 x2)3		.
				1 ln x ln													ln x			2ln					1 ln x 1
																																												3x3
								1 x2																									4
58.	C														arcsin x.												59.								(3ex 4)4		(ex 1)3							C .
											x
																											21
60.						x2 a2									C . 61.							1	sin2x							1		xcos2x C.					62. C e x(x 1).
								a2x													4						2

63. x2 1arctgx x C . 2 2

64.	x	ln	tg	x		C .
	sin x
			2