Математический анализ в примерах и задачах

4.4. Геометрический и механический смысл производной

43

Y

y = f (x)

(K)

y0 = f (x0)

M0

x0

X

(H)

Рис. 4.1

Уравнение касательной (К)

в

точке

M0(x0, y0)

имеет вид

y y0 f (x0)(x x0).

Нормалью к графику функции

y f (x)в точке M0

называется

прямая, проходящая через точку M0

перпендикулярно касательной

в этой точке.

1

Ее уравнение: y y

0

(x x ).

f (x0)

0

Углом между кривыми в их общей точке называется угол между касательными, проведенными к кривым в этой точке.

Механический смысл производной: Если закон движения мате-

риальной точки									описывается функцией														x x(t),													есть ско-
																										то x (t)
рость, а x (t) – ускорение этой точки в момент времени t.
Пример. Написать уравнения касательной и нормали к графику
					1 x2				в точке x					1.
функции y e
												0
		y f (x) e1 x2								,			y 2xe1 x2 .										Тогда			y0		f ( 1) e0 1,
				Составим						уравнение касательной (К)																		и нормали (Н)
f ( 1) 2.
к графику функции. (К):												y 1 2(x 1), (Н): y 1																	1		(x 1)
или (К):			2x y 3 0, (Н): x 2y 1 0.																									2
Пример. Написать уравнение касательной к кривой x tcost,
y tsint			в точке t0 /4.
											sint tcost																			4
Вычислим yx																		. Тогда yx(t0)																,
											cost tsint																			4
																				.
y y						2			, x x								2
0				8					0						8
	4											4
																								4
																						2													2
Уравнениекасательной имеетвид: y																											x											.
																		8										8
																								4

44

Г л а в а 4. Дифференциальное исчисление функции…

Пример.

Найти

угол,

под

которым

пересекаются кривые

l1 (x, y): y (x 2)2

и l2 x, y : y 4x x2 4 .

Найдем точки пересечения кривых l1

и l2 . Из равенства

x 2 2 4x x2 4 находим точки пересечения

M1 0,4 , M2 4,4 .

Вычислим угловые коэффициенты k1

и k2

касательных к кри-

вым l1 и

l2

в точке

M1 .

y (x 2)2 y 2 x 2 k1,1 4,

y 4x x2

4 y 4 2x k2,1 4. Здесь k1,1 = (k1)M1, k2,1 = (k2)M1,

k1,2 = (k1)M2, k2,2 = (k2)M2. Угол 1

между касательными определяем

по формуле

k1,1 k2,1

tg

1

1

arctg

8

.

k

15

1 k

2,1

1,1

В точке

M2

имеем соответственно

k1,2 4

и k2,2 4. Тогда

8

tg 2 15 и 2 1.

Пример. Тело массой 4 движется прямолинейно по закону x t2 t 1. Определить кинетическую энергию тела в момент вре-

мени t 5.		V t
Найдем	скорость		в момент времени	t 5.
V t xt 2t 1,	V 5 11.	Тогда	кинетическая энергия	есть

mV2 4121 242. # 2 2

Задачи для самостоятельного решения

84. В каких точках угловой коэффициент касательной к куби-

ческой параболе y x3 равен 3?

85. При каком значении независимой переменной касательные

к кривым y x2 и y

x3 параллельны?

86.

Составить

уравнения

касательной

и нормали

к

линии

y

8a3

в точке с абсциссой х = 2а.

4a2 x2

87. Составить

уравнение

нормали

к

линии y

x2 3x 6

x2

в точке с абсциссой x 3.

88.

Найти угловой коэффициент

касательной

к

линии

x 2cost

, y sint в точке 1,

2 .

3

4.5. Дифференциал

45

89.

Составить

уравнения касательной и

нормали

к линии

x 2lnctgt 1,

y tgt ctgt

при t

4.

В следующих задачах найти углы, под которыми пересекаются

линии.

90.

y

x 1

и y

x2 4x 8

.

x 2

16

5

x

x

cost

2

2

2

2

3

91.

x

y

8ax и y

. 92.

y x

и

.

2a x

5

y

4

sint

93. Сторона квадрата увеличивается со скоростью V . Какова скорость изменения периметра и площади квадрата в тот момент, когда его сторона равна a?

4.5.ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Функция y f (x) называется дифференцируемой в точке x0 , если ее приращение yв этой точке может быть представлено в ви-

де y A x x x , где A – постоянная, не зависящая от x,

а x – бесконечно малая величина при x 0.

Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование у функции производной в данной точке, при этом справедливо равенство A f (x0).

Дифференциалом функции		y f (x) в точке						x0 называется
главная линейная часть приращения функции в точке									x0 и обозна-
чается dy f (x0)dx. x dx .				f x и	g x
Свойства дифференциала.	Пусть								дифференци-
руемые функции. Тогда справедливы равенства:
1. d cf c df , с – постоянная.			2.	d f g df dg .
3. d fg df g f dg . 4. d	f			df g f dg			,	g 0 .
				g2
	g
5. Пусть z x z y x – сложная функция, образованная компо-
зицией дифференцируемых функций				z z y	и			y y x . Тогда

dz zydy zxdx. Эти равенства выражают свойство инвариантно-

сти формы первого дифференциала.

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функ-

ции y f x в точке x0 есть приращение ординаты касательной,

проведенной к графику функции в точке M0 x0, y0 , при прираще-

46 Г л а в а 4. Дифференциальное исчисление функции…

нии аргумента, равном x (рис. 4.2). При x 0 имеем y dy , откуда получаем формулу приближенного вычисления значения функции в точке

f x0 x f x0 f x0 x.

y

y = f (x) (K)

f (x0 + x)

dy y

M0

y0 = f (x0)

x

0		x0		x0 + x		x

Рис. 4.2

Пример.Найти дифференциал функции y xarctgx ln1 x2 .

Перепишем функцию y в виде y x arctgx 12ln 1 x2 . Найдем

y

:

y

x

x

arctgx. Тогда dy arctgxdx.

1 x2

1 x2

arctgx

Пример. Вычислить приближенно 3

.

26,97

Выберем точку

x

и приращение x

так,

чтобы

3

был легко

x

0

0

вычисляем, а x

было мало в

сравнении

с x0 .

Пусть

x0 27,

x 0,03.

Для

функции

f x y 3

имеем:

f x

1

,

x

33 x2

1

f 27 3,

f 27

.

27

Тогда

3

3

0,03

3 0,001 2,999.

26,97

27

Дифференциалом второго порядка функции y f x

называет-

ся первый дифференциал первого дифференциала

f x , т.е.

d dy

и

он обозначается d2 y или d2 f .

d2y f x dx2 .

Соответственно

дифференциал

n-го

порядка

dn y f n x dxn ,

n 1, 2,.... Дифференциалы 2-го и более высоких порядков сложных функций не обладают свойством инвариантности.

4.6. Теоремы о дифференцируемых функциях

47

Задачи для самостоятельного решения

Найти дифференциал функции:

94. x2 4x 1 x2

.

95. tg2x.

96.

a

arctg

x

.

x

x

a

97.

arctgx 2 .

98. 2 1 cosx .

99. ctgx

1

.

arcsin x

sin x

100. Выразить дифференциал сложной функции через незави-

симую переменную и ее дифференциал: z arctgv, v

1

.

tgs

Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций:

101.

y x arctg y.

102. cos xy

x.

103. Найти приближенное значение приращения функции y sin xпри изменении x от 30 до 30 1 . Чему равен sin 30 1 ?

104. Вычислить приближенно: а) arcsin0,05; б) arctg1,04;

в) ln1,2; г) sin30 2 ; д) 902.

105. Вычислить приближенно:

2,037 2

3

.

2,037 2

5

106. y sin z , z ax , x t3 .

Выразить

d2 y через а) z и dz ,

б) xи dx,

в) t и dt .

4.6. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

Теорема Ролля. Пусть функция

f x

непрерывна на a, b ,

дифференцируема на a, b и

f b f a .

Тогда существует,

по

крайней мере, одна точка c a, b

такая, что

f c 0.

Теорема

Лагранжа.

Пусть

функция

f x

непрерывна

на

a, b , дифференцируема

на a, b . Тогда существует, по крайней

мере, одна точкаc a, b

такая, что f b f a f c b a .

Теорема Коши. Пусть функции

f x и

g x

непрерывны на

a, b , дифференцируемы на a,b

и g x 0 x a, b . Тогда су-

ществует,

по

крайней

мере,

одна

точка

c a,

b такая,

что

f b f a

f c

.

g b g a

g c

48	Г л а в а 4. Дифференциальное исчисление функции…
	Задачи для самостоятельного решения
107. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
y x3 4x2	7x 10 в интервале 1,2 .

108. Объяснить, почему для функции у = (2 – х2)/х4, принимающей равные значения на концах отрезка [–1.1], не выполняется теорема Ролля.

109. Написать формулу Лагранжа для функции y sin3x на отрезке x1, x2 .

110. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции

	y lnx на отрезке		1,e .
	111.	Записав	формулу Коши	для		f x 2x2 5x 1 и
	g x x2	4 на отрезке 0,2 , найти значение с.
	112.	Проверить справедливость формулы Коши для функций
	f x sinx и g x x cosx на отрезке
				0,		.
					2

4.7.ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ – БЕРНУЛЛИ

Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности ти-

		0
па				и			.
		0

Теорема Лопиталя. Пусть функции f x и g x дифферен-

цируемы в некоторой окрестности точки x0 , за исключением, быть

может, самой точки x0 , и пусть									g x 0		в этой окрестности. Если
функции				f x		и g x являются одновременно бесконечно малыми
при	x x0				(либо бесконечно большими при x x0 ) и существует
lim	f		x	,	то		существует lim		f x	и	имеет место равенство:
x x0 g x								x x0 g x
lim	f		x	= lim			f x	.
x x0 g x					x x0 g x

З а м е ч а н и я. 1. Правило применимо и в случае, когда x0 .

2.Если производные f (x) и g (x) удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то к ним опять может быть применено это правило.

3.Предел отношения функций может существовать, но не вы-

числяться по правилу Лопиталя. Рассмотрим lim x sinx . Предел x x sinx

4.7. Правило Лопиталя–Бернулли

49

x

sinx

sinx

1

1

x

x

существует,

так как

lim

lim

1. Однако

для

sin x

sin x

x

x

x

1

1

x

x

производных (x + sin x) =1 + cos x и (x – sin x)

= 1 – cos x предел при

x не существует и, следовательно,

не существует предел отно-

шения этих производных.

Пример. Найти lim

ax

bx

.

dx

x 0 cx

Имеем

lim

ax bx

0

lim

ax lna bx lnb

lna lnb

.

x

d

x

x

lnc d

x

lnd

lnc lnd

x 0 c

0

x 0 c

Пример. Найти lim

ex3

1 x3

.

sin6 x

x 0

lim

ex3

1 x3

0

. Применим правило Лопиталя, предваритель-

sin

6

x

x 0

0

но заменив sin6 x

на эквивалентную ей при

x 0

бесконечно ма-

лую функцию x6 .

lim

ex3

1 x3

lim

ex3 1 x3

(применяя правило Лопиталя) =

sin6

x

x6

x 0

x 0

lim

3x2ex3

3x2

lim

x2(ex3

1)

ex3

1~ x3 при

x 0

=

6x5

2x5

x 0

x 0

=lim

x5

1

.

2

x 0 2x5

x

Пример. Найти lim( x)tg

.

x

2

Имеем

неопределенность

типа

[0 ].

“Перестроим” функ-

цию: lim( x)tg

x

lim

x

0

, применяем правило Лопиталя

=

x

2

x

ctg

x

0

1

2

= lim

2.

x ( 1/(sin2(x/2))(1/2)

Пример. Найти

lim (x 2x)1/ x .

x

Имеем неопределенность типа [ 0]. Логарифмируя функцию

y (x 2x)1/x,

получаем lny

1

ln(x 2x).

lim lny lim

ln(x 2x)

,

x

x

x

x

50

Г л а в а 4. Дифференциальное исчисление функции…

1 2x

ln2

применяем правило Лопиталя

= lim

=

, еще раз при-

x

x

x 2

меняем правило Лопиталя

=

lim

2x ln2 2

=

lim

2x ln3

2

= ln 2.

x 1 2x ln2

x 2x ln2

2

Следовательно,

lim (x 2x)1/ x = =eln2 2.

x

Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы, используя правило Лопиталя.

lncos2x

3

x 3

5

113. lim

.

114. lim

.

sin2x

x 0

x 5

x

5

2arctgx

1/ x2

115.

lim

.

116.

lim

e

1

.

x

ln(1

1

)

x 2arctgx2

x

117.

lim

ln(x2 3)

. 118.

lim

ex e x 2x

. 119.

lim

ctgx 1

.

x 2 x2 3x 10

x 0

x sinx

x /4 sin4x

120.

lim

ln x

.

121. lim

cosxln(x 3)

.

x 0 1 2lnsin x

x 3 0 ln(ex

e3)

ln(1 x) tg

x

lnex

lnsin2x

122.

lim

2

.

123.

lim

.

124.

lim

.

x 1 0

ctg x

x 1 xex

x 0 lnsin x

125.	lim			2arctgx					.	126.
	x ln(1 1/ x)
128.			1				x
	lim								.
	x 1 0 ln x ln x
130.	lim( 2arctg x)ln x.
	x
132.	lim ( 2x)cosx .									133.
	x		0
	2

lim	ln(x a)		.	127. lim xsin		a		.
x a (ex ea )				x		x
129.	lim	lnx ln(x 1).
	x 1 0
131.	lim(1/ x2 ctg2 x).
	x 0
lim xsinx .					1
		134.		lim (ctg x)ln x .
x 0				x 0 0

135. lim(cosx)x3/2 .	136. lim(lnctgx)tgx .	137. lim(cos2x)3/ x2 .
x 0	x 0	x 0

4.8.	Формула Тейлора	51
4.8.	ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
	Пусть функция y f (x)	(n 1) раз дифференцируема в неко-

торой окрестности т. x0 .Тогда в данной окрестности имеет место

формула Тейлора (порядка n)

f(x) f (x0) f (x0)(x x0)

f (x0)(x x0)2 ... f (n)(x0)(x x0)n Rn(x), 2! n!

где Rn(x) называется остаточным членом формулы Тейлора.

При x0 0 имеем:

f

2

f

(n)

(0)

n

(0)

(x) .

f (x) f (0) f

(0)x

x

...

x

Rn

2!

n!

Эта формула называется формулой Маклорена. Остаточный член формулы Тейлора может быть записан в различных видах. В част-

ности, R (x)	f (n 1)( )	(x x	)n 1, где лежит между x и x , называ-
n	(n 1)!	0	0

ется остаточным членом в форме Лагранжа. Rn(x) o((x

– “o – малое” – остаточный член в форме Пеано. Если f (x) многочлен степени n, то формула Тейлора принимает вид:

Pn(x) Pn(x0) Pn(x0)(x x0) Pn(x0)(x x0)2 ... Pn(n)(x0)( 2! n!

и Rn(x) 0, так как Pn(n 1)(x) 0.

x0)n) –

Pn(x) –

xx0)n

Основные представления по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано:

ex 1 x

x2

...

xn

o(xn),

n!

2!

sinx x

x3

x5

...

( 1)n x2n 1

o x2n 2 ,

5!

(2n 1)!

3!

cos x 1

x2

x4

...

( 1)n x2n

o x2n 1 ,

(2n)!

2!

4!

ln(1 x) x

x2

x3

...

( 1)n xn 1

o xn 1 ,

2

3

n 1

(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 ... m(m 1)...(m n 1) xn o xn . 2! n!

52 Г л а в а 4. Дифференциальное исчисление функции…

Рассмотрим на примерах типы задач, которые решаются с использованием формулы Тейлора.

Пример. Представить функцию y ln(10 x) по формуле Тей-

лора в окрестности точки x0 2.

Выделим в

аргументе

логарифма

(x x0) (x 2). Имеем

x

2

x 2

y ln 8 (x 2) =ln8 1

ln8 ln

1

(можно вос-

8

8

пользоваться

представлением

ln(1 x)

по

формуле

Маклорена)

x 2

(x 2)2

(x 2)3

(x 2)n

ln8

... ( 1)n 1

o (x 2)n .

8

8

2

2

8

3

3

8

n

n

Пример. Вычислить

e1/4

с точностью до 0.001.

Применяя формулу Маклорена к функции y ex , получаем

1

1

1

1

1

,

e

4

1

...

R

4 422!

4nn!

n

4

где R

1

e

1 n 1

, 0

1

– остаточный член в форме Ла-

n

(n 1)!

4

4

4

n,

гранжа.

Найдем

наименьшее

значение

при котором

e

0,001.

Имеем

e

2

.

Наименьшее n,

(n 1)!4n 1

(n 1)!4n 1

(n 1)!4n 1

при котором

2

0,001,

равно 3. Следовательно,

(n 1)!4n 1

1

1

1

1

1,562.

e

4

1

2

3

4

4

2!

4 3!

lnx (x 1)ex 1

3

(x 1)2

Пример. Вычислить lim

2

.

2(x 1)3

x 1

Применяя формулу Тейлора, находим:

lnx ln(1 (x 1)) (x 1)

(x 1)2

(x 1)3

o (x 1)3 ;

2

3

(x 1)ex 1 (x 1)(1 (x 1)

(x 1)2

(x 1)3

o (x 1)3)

2!

3!

(x 1) (x 1)2

(x 1)3

o

(x 1)3 .

2!