Конспект лекций по ТАУ

	Вопросы для самопроверки
1)	В чем заключается условие физической реали-

зуемости системы, описываемой линейным дифференциальным

уравнением?
2)	Какой формулой описывается преобразование
Лапласа?
3)	Какими свойствами должен обладать оригинал
преобразования Лапласа?
4)	Какими свойствами обладает преобразование
Лапласа?

5) Для каких практических целей используется преобразование Лапласа?

6) Какая предварительная операция необходима для выполнения обратного преобразования Лапласа?

7)Что такое передаточная функция (ПФ)?

8)Что такое порядок ПФ?

9)Что такое нули и полюса ПФ?

10)Какая ПФ называется минимально-фазовой?

11)	Как найти выходной сигнал системы, если из-
вестна ее ПФ и описание входного сигнала?
12)	Какой ПФ можно описать работу RC- и RL-
цепи?

13)Какая ПФ описывает работу RLC-цепи?

14) Какие динамические звенья называются элементарными или типовыми?

15) Перечислите основные элементарные динамические звенья?

16)Что такое кривая разгона?

17) Как определяются параметры ПФ по кривой разгона?

18) Какие типовые входные воздействия могут быть использованы для определения динамических характеристик звена?

111

19) Какое изображение по Лапласу соответствует единичной ступенчатой функции?

20)Что такое переходная характеристика?

21) Какое изображение по Лапласу соответствует единичному импульсу?

22)Что такое весовая функция?

23)	Как связаны переходная характеристика и ве-
совая функция звена?
24)	Какая ПФ соответствует системе с отрица-
тельной обратной связью?
25)	Какие эффекты вызывает введение отрица-
тельной обратной связи?
26)	Что такое чувствительность системы управле-
ния?
27)	Какие системы управления называются роба-
стными?

28)Какая система называется одноконтурной?

29)	Что такое прямая цепь в одноконтурной сис-
теме?
30)	Как описывается ПФ сумматора в однокон-
турной системе?
31)	Как формулируется правило вычисления ПФ
замкнутой одноконтурной системы?
32)	Какой формулой описывается ПФ системы по
возмущению?
33)	Какой формулой описывается ПФ системы по
ошибке?

34) Какая теорема используется для расчета ошибки слежения системы в установившемся режиме?

35) Как формулируется теорема о предельном значении оригинала?

36) Какой формулой описывается установившаяся ошибка замкнутой системы?

37)Что такое порядок астатизма системы?

112

38)Что такое добротность системы?

39)Что такое скоростная ошибка системы?

40)	Что такое ошибка системы по ускорению и
добротность по ускорению?
41)	Какая формула описывает свертывание после-
довательного соединения звеньев?
42)	Какая формула описывает свертывание парал-
лельного соединения звеньев?
43)	Какая формула описывает свертывание обрат-
ной связи?
44)	Как выполняется перенос узла через звено
вперед и назад?
45)	Как выполняется перенос сумматора через
звено вперед и назад?
46)	Как выполняется перенос узла через сумматор
вперед и назад?
47)	В чем заключается неудобство использования

правил при преобразовании структурных схем?

48)Из каких частей состоит сигнальный граф?

49)Что такое путь в сигнальном графе?

50)Что такое контур в сигнальном графе?

51)Что такое коэффициент передачи контура?

52)Какие контуры называются касающимися?

53)Как записывается формула Мейсона?

54) В чем заключается достоинство использования формулы Мейсона по отношению к использованию правил при преобразовании структурных схем?

55)Какая система называется инвариантной?

56)Что такое комбинированное управление?

57) Как обеспечить инвариантность системы относительно внешнего возмущения?

58) Как обеспечить инвариантность системы относительно входного воздействия?

113

59) Всегда ли условия инвариантности являются физически реализуемыми?

3.Корневые оценки устойчивости и качества

3.1.Необходимое и достаточное условие устойчивости

Устойчивость САУ является одним из основных условий ее работоспособности и включает требование затухания во времени переходных процессов.

Система является устойчивой, если при ограниченном входном сигнале её выходной сигнал также является ограниченным. Если система устойчива, то она противостоит внешним воздействиям, а выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему. Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и неработоспособной.

Впервые свойства устойчивости были исследованы русским ученым А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе "Общая задача об устойчивости движения". Необходи-

мое и достаточное условие устойчивости заключается в том, чтобы все корни характеристического урав-

114

нения (полюсы ПФ системы) имели отрицательные вещественные части. Иначе говоря, условием устойчивости системы является расположение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости. Тогда все полюсы будут давать затухающую реакцию.

Это условие устойчивости справедливо как для линейных, так и для линеаризованных систем. Однако в случае нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть решен только на основании исследования ее нелинейных уравнений.

Рассмотрим САУ, описываемую линейным дифференциальным уравнением в операторной форме:

(an sn + an −1sn −1 + ... + a1s + a0 ) y(t) = = (bm sm + bm −1sm −1 + ... + b1s + b0 )u(t).

Общее решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде двух слагаемых:

y(t) = yв + yсв(t) ,

где yв – вынужденное и yсв – свободное движение системы.

Вынужденная составляющая решения находится из исходного дифференциального уравнения приравниванием к нулю всех производных в левой и правой частях уравнения, так что при установившемся значении входного сигнала uуст получаем

115

a y = b u		уст	y	в	=	b0	u	уст	.
0 в	0					a0

Свободная (переходная) составляющая ищется как общее решение однородного дифференциального уравнения:

(an sn + an −1sn −1 + ... + a1s + a0 ) y(t) = A(s) y(s) = 0,

где A(s) – характеристический полином. Решение имеет вид

n

yсв (t) = С1e p1t + С2e p2 t + ... + Сne pn t = ∑Cie pi t , i =1

где pi – i– й корень характеристического полинома; Ci – i-я постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий.

Корни характеристического полинома могут быть четырех типов.

1. Вещественного типа: λ = α. Такой корень дает составляющую решения вида:

y(t) = Сeαt .

При α < 0 значение y(t) будет убывать во времени, и при α > 0 – возрастать.

2. Комплексно-сопряженного типа: λ 1,2 = α ± jβ. Составляющая решения имеет вид:

y(t) = С1e(α+ jβ)t + С2e(α− jβ)t = Aeαt sin(βt +ψ ).

116

Здесь возникают колебания выходной переменной, которые будут затухать по амплитуде при α < 0 и расти при α > 0.

3.Чисто мнимые корни. В этом случае α = 0, и

y(t) = С1e jβt + С2e− jβt = Asin(βt + ψ),

колебания будут иметь постоянную амплитуду.

4. Нулевой корень. В этом случае в характеристическом полиноме

A(s) = an s n + an−1 s n−1 + ... + a1 s + a0 .

отсутствует свободный член: a0 = 0.

Здесь система находится на границе устойчивости, и при любых начальных условиях движения асимптотически затухают к положению равновесия (система устойчива в целом) или расходятся (система не устойчива).

Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости, то общее условие устойчивости линейной системы можно сформулировать еще так: условием устойчивости сис-

темы является расположение всех корней характеристического уравнения, т.е. полюсов ПФ системы, в ле-

вой комплексной полуплоскости.

Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости. При этом воз-

можны два случая:

1.корень в начале координат;

2.пара мнимых корней.

Нулевой корень появляется, когда свободный член характеристического уравнения равен нулю. В этом

117

случае границу устойчивости называют апериодической; система устойчива не относительно выходного сигнала, а относительно его производной: выходной сигнал в установившемся режиме имеет произвольное значение. Такие системы называют нейтрально устой-

чивыми.

В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней, границу устойчивости называют колебательной, при этом в переходном процессе будут незатухающие гармонические колебания.

Пример 3.1. Даны характеристические полиномы различных систем:

A1 (s) = (s − 1)(s2 + 0,2s + 1);

A2 (s) = s(s2 + 0,2s + 1);

A3 (s) = (s + 0,5)(s2 + 0,09);

A4 (s) = (s + 0,1)(2s2 + 3s + 1).

Требуется оценить устойчивость этих систем. Система A1 имеет положительный вещественный ко-

рень s = 1, следовательно, она неустойчива.

Система A2 имеет нулевой корень и два комплексносопряженных корня с отрицательной вещественной частью, поэтому она находится на апериодической границе устойчивости.

Система A3 имеет пару чисто мнимых корней, поэтому она находится на колебательной границе устойчивости.

118

Система A4 имеет все корни с отрицательной вещественной частью, поэтому она устойчива.

Можно показать, что необходимым условием устой-

чивости системы является положительность корней всех коэффициентов характеристического уравнения.

Характеристический полином можно разложить на множители:

A( p) = an (s − λ1 )(s − λ2 )...(s − λn ).

Если все корни действительные и отрицательные, то

A( p) = an (s + λ1 )(s + λ2 )...(s + λn ).

Поскольку все сомножители в скобках являются положительными, то после раскрытия скобок окажется, что все коэффициенты характеристического уравнения также являются положительными.

Допустим, что характеристический полином имеет два комплексно-сопряженных корня с отрицательной вещественной частью:

A(s) = an (s + a1 − jβ)(s + a1 + jβ)...(s + λn−1 )(s + λn ) = = an ((s + a1 )2 + β2 )...(s + λn−1 )(s + λn ).

После раскрытия скобок опять оказывается, что все коэффициенты характеристического уравнения также являются положительными.

Если хотя бы один коэффициент характеристического уравнения не является положительным, то в соответствии с доказанным утверждением вторая рассматриваемая система не является устойчивой.

119

Однако возможна ситуация, когда при положительности всех коэффициентов система оказывается неустойчивой. Например, характеристический полином

A(s) = s3 + s2 + 2s + 8 = 0

соответствует неустойчивой системе, хотя все коэффициенты характеристического уравнения являются положительными.

Таким образом, если необходимое условие устойчивости не выполняется, то система точно неустойчивая, а если оно выполняется, то требуется дополнительное исследование.

Заметим, что требование положительности коэффициентов можно заменить требованием отрицательности всех коэффициентов, если правую и левую части характеристического уравнения умножить на –1. Поэтому правильнее считать, что необходимое условие устойчивости заключается в том, чтобы все коэффициенты имели один знак.

Определение устойчивости САУ по полюсам ее передаточной функции называют прямым методом оценки устойчивости. Зная значения полюсов линейной системы, можно вынести однозначное суждение о ее устойчивости, однако до появления ЭВМ задача вычисления корней характеристического уравнения высокого порядка вызывала большие проблемы. Поэтому были предложено несколько критериев устойчивости

– косвенных методов оценки устойчивости, позволяю-

120