Конспект лекций по ТАУ

Таким образом, если математическое описание объекта известно, и задана структура регулятора, то в ряде случаев оказывается возможным по заданным полюсам замкнутой системы определить параметры регулятора.

Пример 3.8. Пусть характеристический полином замкнутой системы с ПИ-регулятором имеет вид:

2s2 + (6 + KP )s + KI = 0.

Допустим, что требуется расположить полюса в точке –2, j0, тогда может быть использована стандартная биномиальная форма

s 2 + 4s + 4 = 0.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем

3 + KP = 4 Kp = 2, 2

KI = 4 KI = 8. 2

Пример 3.9. Рассчитать коэффициенты ПИДрегулятора для системы, показанной на рис. 3.10 при распределении полюсов Баттерворта с λ0 = –3.

141

R(s) E(s)			sK	U(s)					Y(s)
							1
			KI/
						0.01s 2	+ 0.1s + 1
			s
			Kp

Рис. 3.10. Система 2-го порядка с ПИД-регулятором.

Передаточная функция разомкнутой системы:

Kp s + KI + Kd s2

1

Kp s + KI

+ Kd s2

Н(s) =

=

.

2

3

2

s

0,01s

+ 0,1s + 1

0,1s

+ 0,01s

+ s

Передаточная функцию замкнутой системы

W (s) =

Kp s + KI + Kd s2

.

0,1s3

+ (Kd + 0,01)s2 + (Kp + 1)s + KI

Таким образом

0,1s3 + (K

d

+ 0,01)s2 + (K

p

+ 1)s + K

I

= 0,

s3 + 9s2 + 27s + 27 = 0.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем

142

10Kd + 1 = 8		Kd = 0,7
10KP + 10 = 27			Kp = 1,7,
10KI = 27		KI	= 2,7.
.

2.Корневой годограф

При замыкании системы с ПФ H(s) единичной отрицательной обратной связью ПФ замкнутой системы H(s) принимает вид

W (s) =		H (s)	.
1		+ H (s)

Из этой формулы следует, что нули ПФ замкнутой системы равны нулям ПФ разомкнутой системы.

Корневым годографом (КГ) называется совокупность траекторий перемещения всех корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой системы.

Обычно метод КГ позволяет находить полюса и нули ПФ замкнутой системы, располагая полюсами и нулями разомкнутой системы при изменении коэффициента усиления разомкнутой системы K.

Корневой годограф можно строить, решая характеристическое уравнение замкнутой системы (уравнение замыкания):

1 + H (s) = 0 ,

при различных значениях параметра K, изображая вычисленные корни точками на плоскости s.

143

Для определения полюсов замкнутой системы с отрицательной обратной связью необходимо решить уравнение (его называют основным уравнением метода КГ):

H (s) = −1.

Так как H(s) является функцией комплексного переменного s, то уравнение распадается на два уравнения:

Уравнение модулей

H (s) = 1

и уравнение аргументов (фаза вектора –1 есть нечетное число π):

arg(H (s)) = ±(2ν +1)π, ν = 0,1, 2....

Как известно, при умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а при делении – вычитаются. Поэтому последнее уравнение имеет наглядный геометрический смысл.

Пусть точка s − полюс замкнутой системы. Если провести в s вектора из всех нулей H(s) (обозначим аргументы этих векторов θ0j ) и вектора из всех полюсов

H(s) (обозначим аргументы этих векторов θ*i ), то уравнение можно записать в следующем виде:

m	n
∑θ0j	− ∑θ*i = ±(2ν + 1)π, ν = 0,1, 2....
j =1	i =1

Углы θ отсчитываются от положительного направления действительной оси. Знак угла «+» соответствует

144

повороту против часовой стрелки, знак угла «–» соответствует повороту по часовой стрелке.

Таким образом, конфигурация КГ не зависит от коэффициента усиления K, но каждому конкретному значению K однозначно соответствуют точки на корневом годографе.

Для определения этого соответствия достаточно воспользоваться уравнением модулей в виде

	m
	K ∏l0j
	j =1	= 1,
	n
	∏li*
	i =1

где l 0j – модуль (длина) вектора, проведенного из j-нуля

в точку s КГ; li* – модуль вектора, проведенного из i-

полюса в ту же точку s.

Ветви корневого годографа непрерывны и расположены на комплексной плоскости симметрично относительно действительной оси. Число ветвей КГ равно порядку системы n.

Рассмотрим свойства КГ.

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы в виде

H (s) = KB(s) .

A(s)

Корни полинома А(s) называются полюсами, а B(s) – нулями.

Свойство 1. Ветви корневого годографа начинаются

145

при К = 0 в полюсах H(s) и заканчиваются в нулях при

К = ∞.

Докажем это правило.

H (s) + 1 = KB(s) + 1 = 0 A(s) + KB(s) = 0 .

A(s)

При K = 0 получается A(s) = 0, т.е. полюса замкнутой системы совпадают с полюсами разомкнутой системы при K = 0.

Далее перепишем характеристическое уравнение в виде

A(s) + KB(s) = A(s) / K + B(s) = 0 ,

т.е. при К = ∞ полюса замкнутой системы совпадают с нулями разомкнутой системы.

Свойство 2. Степень числителя B(s) всегда меньше или равна степени знаменателя A(s): m ≤ n. Степень характеристического уравнения замкнутой системы равна n. При К→∞ стремятся к конечным нулям лишь m корней. Остальные n– m корней обращаются в бесконечность, что вытекает из факта обращения в нуль при К→∞ коэффициентов в n – m старших членах характеристического уравнения. Соответствующие ветви корневого годографа приближаются к соответствующим асимптотам.

Свойство 3. Асимптоты в виде звезды из n – m полупрямых выходят из точки с координатой

146

			m	n
			∑s0j	− ∑si*
	σa	=	j =1	i =1
			n − m

на действительной оси под углами

θ =	2ν + 1	π,	(ν =	0, n − m − 1)
a	n − m

к действительной оси.

Свойство 4. Угол выхода θ*i ветви КГ из полюса si*

определяется из уравнения аргументов, примененного к данному полюсу. Аналогично определяется угол вхо-

да ветви КГ в нуль s0j .

Свойство 5. При расположении ветвей КГ в левой полуплоскости s САУ устойчива. При пересечении ветвей КГ мнимой оси слева направо САУ становится неустойчивой.

Сущность метода КГ заключается в том, чтобы узнать, каким должен быть коэффициент усиления разомкнутой системы, чтобы было обеспечено желаемое положение корней замкнутой системы.

Траектории корней строятся только по уравнениям фаз, а уравнение модулей используется затем для нахождения К.

Для систем невысокого порядка (n < 7) можно построить КГ вручную, обходясь без вычисления полюсов. Однако современные пакеты моделирования, такие как MatLab, имеют удобный интерфейс для автоматического построения КГ.

147

148

Вопросы для самопроверки

1.Какая система автоматического управления является устойчивой?

2.Как формулируется необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы?

3.Где должны располагаться полюсы передаточной функции устойчивой линейной системы?

4.Из каких частей состоит общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения?

5.Как определить вынужденную составляющую решения линейного неоднородного дифференциального уравнения?

6.Как определить переходную составляющую решения линейного неоднородного дифференциального уравнения?

7.Какой вид имеет переходный процесс при чисто вещественных корнях характеристического полинома?

8.Какой вид имеет переходный процесс при корнях характеристического полинома комплексно-сопряженного типа?

9.Какой вид имеет переходный процесс при чисто мнимых корнях характеристического полинома?

10.Какой вид имеет переходный процесс при наличии нулевого корня характеристического полинома?

11.В каком случае система может находиться на границе устойчивости?

12.Как формулируется необходимое условие устойчивости линейной системы?

13.Как формулируется прямой метод оценки устойчивости

САУ?

14.Какие преимущества дает использование критериев устойчивости?

15.Как формулируется алгебраический критерий устойчивости Рауса – Гурвица?

149

16.Позволяет ли алгебраический критерий оценивать запасы устойчивости системы?

17.Как определяется понятие степени устойчивости систе-

мы?

18.Какие полюса называются доминирующими?

19.Как получить оценку времени переходного процесса по полюсам системы?

20.Как оценивается колебательность по полюсам системы?

21.Как рассчитать величину затухания за период?

22.Как рассчитать параметры ПИ-регулятора, зная передаточную функцию объекта и требования к полюсам замкнутой системы?

23.Как рассчитать параметры ПД-регулятора, зная передаточную функцию объекта и требования к полюсам замкнутой системы?

24.При каком выборе полюсов замкнутой системы обеспечивается апериодичность переходного процесса?

25.Как можно использовать стандартное распределение полюсов Баттерворта при расчете коэффициентов ПИДрегулятора?

26.Как связаны между собой нули разомкнутой и замкнутой системы?

27.Что такое корневой годограф?

28.Какое уравнение является основным в методе корневого годографа?

29.Какими свойствами обладает корневой годограф?

30.С какой целью можно использовать на практике метод корневого годографа?

150