Конспект лекций по ТАУ

Предельным вариантом П-регулятора является регулятор релейного типа, который работает по знаку ошибки:

u(t) = umaxsign(e).

Такой закон управления обеспечивает минимальное время нарастания, но может вызывать большое перерегулирование.

В промышленности массово используются аналоговые и цифровые регуляторы по отклонению, называемые ПИДрегуляторами (сокращение от пропорционально-интегрально- дифференциальный).

Основное уравнение ПИД-регулятора имеет следующий вид:

			1	t	de(t)
	u(t) = u0	+ k e(t) +		e(τ)dτ + Td		,
			Ti		dt
				∫0

где k – усиление регулятора; Ti и Td – постоянные времени интегрирования и дифференцирования; u0 – поправочное значение (смещение), которое может быть нулевым.

Раскрывая скобку при u0 = 0, можно записать:

	t	de(t)
	u(t) = kPe(t) + ki ∫ e(τ )dτ + kd		,
	0	dt

где kp, ki, kd – коэффициенты, выбираемые в процессе проектирования.

Таким образом, закон управления включает три слагаемых, каждое из которых оказывает свое влияние на переходный про-

цесс (рис. 1.19).

Увеличение коэффициента kp уменьшает время нарастания и установившуюся ошибку. Увеличение коэффициента ki эффективно устраняет установившуюся ошибку. Рост kd увеличивает устойчивость системы, уменьшает перерегулирование и улучшает переходную характеристику.

41

	d/d	kd
g(t)	e(t)		u(t)	y(t)
			Объект
		kp
			управления
	∫	ki
	ПИД-регулятор
	Рис. 1.19. Структура ПИД– регулятора

Влияние каждого коэффициента на переходный процесс в замкнутой системе показано в табл.1.1.

Таблица 1.1 Влияние коэффициентов ПИД-регулятора

	tн	δ	tр	eуст
kp	Уменьшает	Увеличивает	Слабо влияет	Уменьшает
ki	Уменьшает	Увеличивает	Увеличивает	Исключает
kd	Слабо влияет	Уменьшает	Уменьшает	Слабо влияет

На практике часто используются упрощенные версии ПИД- регулятора: П-, И-, ПД- и ПИ-регуляторы, в которых используются не все три, а одно или два слагаемых из формулы ПИДрегулятора. Популярность ПИД-регуляторов вызвана тем, что их использование возможно без процедуры построения математической модели объекта управления. При этом лишь предпола-

42

гается, что объект управления принадлежит к классу объектов, для которого ПИД-регулятор может выступать в качестве приближенной обратной модели (см. рис. 1.9). Экспериментально подбирая значения коэффициентов закона управления, можно получить приемлемое качество переходного процесса.

Например, рассмотрим метод Зиглера– Николса настройки ПИД-регулятора для объекта с самовыравниванием.

Перепишем закон управления ПИД – регулятора в виде:

		+ Td s +	1
	H (s) = kp 1			.
			Ti s

Рассмотрим первый вариант (замкнутая система).

3.Коэффициенты kd и ki устанавливаются равными нулю, а коэффициент kp увеличивается до тех пор, пока в системе не возникнут автоколебания.

4.Обозначим предельное значение kp как P, а период автоколебаний как T. Значения коэффициентов П, ПИ или ПИД-регулятора рассчитываются в соответствии с табл. 1.2.

				Таблица 1.2.
	Расчет коэффициентов регулятора
		KP	Ti	Td
П		0,5P
ПИ		0,45P	T/1,2
ПИД		0,6P	T/2	T/8

Однако такой подход не может обеспечить высокое качество управления, которое может быть достигнуто только при использовании математического описания САУ.

43

Вопросы для самопроверки

−Для решения каких задач разрабатывались в древности первые автоматические устройства?

−Какие автоматические устройства получили распространение в средневековье?

−Какие задачи решали первые регуляторы в промышлен-

ности?

−Что такое системы прямого и непрямого регулирования?

−Кто первым предложил использовать дифференциальное уравнение в качестве модели регулятора?

−Кто первым ввел понятие линеаризации дифференциальных уравнений?

−Кем были заложены основы создания автопилотов?

−Кем была создана теория управления летательными аппаратами?

−Кто заложил математические основы теории устойчиво-

сти?

−Кем было предложено использовать частотные характеристики для анализа и синтеза систем управления?

−Из каких частей состоит система автоматического управления?

−Какая система управления является одномерной (скаляр-

ной)?

−Какая система управления является многомерной (векторной)?

−Что такое динамический объект управления?

−Какая система управления является непрерывной?

−Какие существуют виды непрерывных систем?

−Что такое принцип суперпозиции?

−Какая система называется стационарной?

−Какая система называется физически реализуемой?

−Какая система называется детерминированной?

44

−Какая система называется стохастической?

−Какая система называется дискретной?

−Что такое следящая система?

−Что такое система стабилизации?

−Что такое система программного регулирования?

−Что такое адаптивная система управления?

−Что такое статическая и астатическая система?

−Как описывается структурная схема системы автоматического управления?

−Что такое разомкнутая система управления?

−Что такое замкнутая система управления?

−В чем заключается задача анализа САУ?

−В чем заключается задача синтеза САУ?

−Какие этапы включает в себя процесс проектирования

САУ?

−Что такое метод разделения движений при синтезе САУ?

−Какие два подхода могут быть использованы при разработке модели объекта управления?

−Что такое модель типа «черный ящик»?

−С какой целью используется линеаризация?

−Какой вид имеет статическая характеристика линейной системы?

−Что такое рабочая точка?

−Как выполняется линеаризация дифференциального уравнения?

−В чем смысл задачи идентификации модели?

−Какой входной сигнал используется для получения переходной функции?

−Какие условия должны выполняться при получении кривой разгона объекта управления?

−Что такое частотные характеристики объекта управле-

ния?

45

−Какие характеристики используются для описания переходного процесса?

−Что такое время нарастания?

−Что такое время переходного процесса?

−Что такое перерегулирование?

−Какое свойство объекта управления называется самовыравниванием?

−Какая формула описывает закон пропорционального управления?

−Какой формулой описывается работа релейного регуля-

тора?

−Что представляет собой ПИД-регулятор?

−Какое влияние оказывает на переходную характеристику пропорциональная компонента ПИД-регулятора?

−Какое влияние оказывает на переходную характеристику дифференциальная компонента ПИД-регулятора?

−Какое влияние оказывает на переходную характеристику интегральная компонента ПИД-регулятора?

−В чем заключается методика экспериментальной настройки ПИД-регулятора?

46

2.ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

2.1.Преобразование Лапласа

Рассмотрим систему автоматического управления, описываемую линейным дифференциальным уравнением вида

a

d n y(t)

+ a

n −1

d n −1 y(t)

+ ... + a

dy(t)

+ a y(t) =

dt n

n

dt n −1

1

dt

0

= b

d mu(t)

+ b

d m −1u(t)

+ ... + b u(t),

m

dt m

m −1 dt m −1

0

где u(t) – входной процесс; y(t) – выходной процесс; ai, bi, – постоянные коэффициенты; n, m – постоянные числа.

В реальных системах всегда выполняется условие физической реализуемости системы n >= m.

Если ввести обозначение p для оператора дифференцирования p = d/dt, то можно записать уравнение в операторной форме:

(an p n + an −1 p n −1 + ... + a1 p + a0 ) y(t) = = (bm p m + bm −1 p m −1 + ...b1 p + b0 )u(t).

Вводя обозначения для полиномов, получаем

A( p) y(t) = B( p)u(t).

Рассмотрим отношение выходного сигнала системы к ее входному сигналу:

47

y(t) = B( p) =

W ( p) .

u(t) A( p)

Это выражение дает нестрогое определение W(p) – передаточной функции системы. Строгое определение может быть дано с использованием преобразования Лапласа, которое заменяет дифференциальное уравнение алгебраическим.

Преобразованием Лапласа называют интегральное преобразование

∞

X (s) = ∫ x(t)e−st dt ,

0

определяющее соответствие между функцией x(t) вещественного переменного и функцией X(s) комплексного переменного s.

При этом x(t) называют оригиналом, а X(s) – изображением по

Лапласу.

Предполагается, что оригинал обладает следующими свойствами:

3.функция x(t) определена (не имеет точек разрыва) и дифференцируема на всей положительной числовой полуоси;

4.функция x(t) = 0 при t < 0;

5.существуют такие числа М и α, что

x(t) ≤ Meαt , 0 ≤ t ≤ ∞.

Практически во всех случаях эти условия выполняются. Символическая запись преобразования Лапласа:

X(s) = L{x(t)},

где L{ }– оператор преобразования Лапласа. Рассмотрим пример.

	∞	∞	1
	L{e−at } = ∫ e−at e−st dt = ∫ e−( s+a )t dt =			.
	0	0	s + a

48

На практике обычно нет необходимости вычислять преобразование Лапласа для заданного оригинала, поскольку для большинства важнейших функций времени изображения по Лапласу известны (см. табл. 2.1).

Преобразования Лапласа

Таблица 2.1

Наименование

Оригинал

Изображение

Лапласа

Единичная им-

пульсная функ-

δ(t)

1

ция

Единичная сту-

1

пенчатая

1(t)

s

функция

Степенная

t n ×1(t)

n!

функция

s n+1

Экспонента

e−αt ×1(t)

1

s

+ α

Экспонента

t n e

−αt ×1(t)

1

n +1

(s + α)

Смещенная экс-

1

(1 - e−αt ) ×1(t)

1

понента

s(s + α)

a

Синусоида

sinβt ×1(t)

s2

β

+ β2

49

Косинусоида		cosβt ×1(t)				p
						s2 + β2
Затухающая си-	e−αt sin βt ×1(t)					β
нусоида					(s + α )2 + β2
Затухающая ко-	e	−αt	cosβt ×1(t)			s + α
синусоида					(s + α)2 + β2

Обратное преобразование Лапласа описывается формулой

σ+ j∞

x(t) = 1 ∫ X (s)est ds.

2πj σ− j∞

В символических обозначениях:

x(t) = L-1{X(s)}.

Рассмотрим ряд свойств преобразования Лапласа, которые потребуются в дальнейшем изложении.

1) Линейность преобразования:

L{αy1(t) + βy2(t)} = αL{y1(t)} + βL{y2(t)} = αY1(s) + βY2(s). 2) Дифференцирование оригинала:

L{dY(t)/dt} = sY(s) – y(0),

где y(0) – начальное условие.

В табл. 2.2 показаны правила преобразования по Лапласу для

производных различных порядков.
Дифференцирование оригинала		Таблица 2.2
Оригинал	Изображение
y(t)		Y(s)

50