Конспект лекций по ТАУ

F(s)							Y(s)
				W2(s)
			U(s) = 0
				Yoc(s)
		W1(s)				Woc(s)

Рис. 2.11. Система управления при отсутствии входного сигнала

Таким образом, ПФ по возмущению:

Wf (s) =	Y (s)	=		W2	(s)
						.
	F (s)
			1 + W1 (s)W2 (s)Woc (s)

Эта ПФ позволяет выразить влияние возмущения на выходной сигнал.

Окончательно выходной сигнал системы выражается формулой

Y (s) = Wзс (s)U (s) + Wf (s)F (s).

Можно легко найти и другие частные ПФ. Помимо входного и выходного сигналов в системе, важными являются сигналы ошибки, возмущающего воздействия и сигнал обратной связи. По отношению к этим сигналам имеется несколько часто использующихся ПФ. Так, для сигнала ошибки имеем

E(s) = We (s)U (s) + Wef (s)F (s),

где We(s) – передаточная функция по ошибке; Wef(s) – ПФ по ошибке и возмущению (от возмущения к ошибке).

Передаточная функция по ошибке и возмущению (от возмущения к ошибке):

81

Wef (s) =	E(s)	=		− W2 (s)Woc	(s)
						.
	F (s)
			1 + W1 (s)W2 (s)Woc (s)

Передаточная функция по ошибке:

W (s) =	E(s)	=		1	.
			1 + W1 (s)W2 (s)Woc (s)
e	U (s)

Можно получить эту формулу иначе.

Поскольку E(s) = U(s) – Yос(s), и ПФ по обратной связи

W (s) =

Yoc (s)

=

W1(s)W2 (s)Woc (s)

,

1 + W1

Yoc

U (s)

(s)W2 (s)Woc (s)

то

We

(s) =

E(s)

= 1−

W1 (s)W2 (s)Woc (s)

=

1

.

U (s)

+ W1 (s)W2 (s)Woc (s)

1

1+ W1 (s)W2 (s)Woc (s)

При единичной обратной связи (Wос(s) = 1):

W (s) =

E(s)

=

1

.

e

U (s)

1 + W1 (s)W2 (s)

Передаточная функция We(s) позволяет выразить ошибку e(t) в системе при известном входном воздействии. Это основное средство исследования точности САУ.

2.7. Точность в установившихся режимах

При проектировании систем управления часто требуется оценить ошибку слежения в установившемся режиме

eуст = lim e(t) .

t →∞

82

Эта ошибка зависит как от свойств системы, так и от вида входного сигнала.

Величина установившейся ошибки может быть найдена с помощью теоремы о предельном значении оригинала:

eуст	= lim e(t) = lim se(s) .
	t →∞	s →0

Пример 2.17. Рассмотрим разомкнутую систему управления, заданную передаточной функцией H(t) (рис. 2.12).

g(s)		H(s)	y(s)	e(s)

Рис. 2.12. Установившаяся ошибка разомкнутой системы

Пусть

H (s) =

1

;

g(s) =

2

.

0,1s2

+ 0,02s +1

s

Тогда по теореме о предельном значении получаем

eуст = lim s(g(s) − g(s)H (s)) = lim s(g(s)(1 − H (s))) =

s →0

s →0

1

0,2s2 + 0,04s

= lim

2 1

−

= lim

= 0.

2

2

0,1s

+ 0,02s

0,1s

+ 0,02s + 1

s →0

+ 1

s →0

Рассмотрим более сложный входной сигнал: g(t) = 3t + 2. Ему соответствует изображение по Лапласу:

g(s) = 3 + 2 . s2 s

83

Для этого сигнала:

eуст = lim s(g(s) − g(s)H (s)) = lim s(g(s)(1 − H (s))) =

s →0

s →0

3

0,1s

2

+ 0,02s

= lim

+

=

2

2

s →0

s

0,1s

+ 0,02s + 1

0,3s + 0,06

0,2s

2

+ 0,04s

= lim

+

= 0.06

2

2

0,1s

+ 0,02s + 1

0,1s

s →0

+ 0,02s + 1

Рассмотрим далее вариант, когда ПФ имеет коэффициент усиления k:

H (s) =		k		; x(s) =	2	.
	0,1s2	+ 0,02s +1
					s

Тогда по теореме о предельном значении получаем

eуст = lim s(g(s) − g(s)H (s)) =
	s →0
		−			k
	2 1			2
= lim			0,1s
s →0					+ 0,02s + 1

= 2 − 2k.

lim s(g(s)(1 − H (s))) =
s →0
	0,2s	2	+ 0,04s + 2				− 2k
= lim									=
				2
	0.1s				+ 0,02s	+ 1
s →0

И при k = 3, например, получаем ошибку –4.

В замкнутой системе управления также можно использовать теорему о предельном значении:

eуст	= lim e(t) = lim se(s) .
	t →∞	s →0

Рассмотрим замкнутую систему управления с единичной обратной связью (рис. 2.13).

84

	g(s)	e(s)		y(s)
			H(s)

Рис. 2.13. Система с единичной обратной связью
e(s) = g(s) − y(s) = g(s) − H (s)e(s)
e(s) =		1	g(s) = We g(s),
1		+ H (s)

где We(p) – передаточная функция по ошибке. Таким образом:

eуст = lim e(t) = lim se(s) = lim s(We (s)g(s)).
t →∞	s →0	s →0

Обычно точность САУ определяют для типовых режимов работы. Простейшими из них являются режимы:

1. при постоянной величине внешнего воздействия:

		1
eуст = lim s			We	(s)	=
s→0	s

	1	,	K = lim(H (s));
	1 + K
			s →0

2. при изменении внешнего воздействия с постоянной скоростью:

			1				1				= lim(sH (s));
e	= lim s			W (s)		=		,	K
уст	s →0	s2		e			KV			V	s →0

85

3. при изменении с постоянным ускорением (параболическое воздействие).

			1				1			2
e	= lim s			W	(s)	=		, K		= lim(s	H (s)).
уст	s →0	s3		e			K A		A	s →0

Пример 2.18. Дана передаточная функция разомкнутой системы

W (s) =	3	.
	2s2 + 4s + 1

Требуется найти установившуюся ошибку замкнутой системы при входном воздействие g(t) = 2.

Решение.

W (s) =

2s2 + 4s + 1

,

e

2s2 + 4s + 4

2

2s2 + 4s + 1

e

(s) = lim s

= 0,5.

уст

2

s

2s

+ 4s + 4

s →0

Пример 2.19. Определить статическую ошибку системы, приведенной на рис. 2.14 при g(t) = 1 + 2t .

86

g(t)	e(t)	5			y(t)
			s(2s + 1)

Рис. 2.14. Пример замкнутой системы

Решение.

eуст = lim e(t) = lim se(s) = lim s(We (s)g (s)) .

t →∞

s →0

s

→0

1

2

1

e

= lim s(g(s)W (s)) = lim s

+

=

5

уст

s →0

e

s →0

s

s2

1 +

s(2s

+ 1)

2

s(2s + 1)

s(2s + 1)

2(2s + 1)

lim

1

+

= lim

+

= 0,4.

s s(2s + 1) + 5

s →0

s →0 s(2s + 1) + 5

s(2s + 1) + 5

Передаточную функцию разомкнутой системы H(s) можно представить в следующем виде:

H (s) =	k(b sm + b		sm−1	+ ... + b s +1)	=	k R(s)
	m	m−1		1			,
	sr (a sn + a		sn−1	+ ... + a s +1)		sr Q(s)
	n	n−1		1

где k – коэффициент усиления разомкнутой системы; r – количество нулевых полюсов в системе (порядок астатизма).

Тогда

	(s) =		1	g(s) =		1			g(s) =	srQ(s)
We											g(s) .
			+ H (s)
	1			1		+	kR(s)			srQ(s) + kR(s)
							srQ(s)

87

Введем обозначения для систем с разным порядком астатизма:

H0	(s) =	kR(s)	;	H1	(s) =	kR(s)	;	H2	(s) =	kR(s)	.
		Q(s)				sQ(s)				s2Q(s)

Рассмотрим установившуюся ошибку при различных значе-

ниях входного сигнала.

1) Пусть на вход

замкнутой

системы подан постоянный

сигнал:

g(t) = g0

= const , g(s) =

g0

,

s

eуст = lim s

g0

1

= lim

g0

.

s 1

+ H (s)

+ H ( p)

s →0

s →0 1

При H(s) = H0(s) получаем

eуст = lim

Q(s)

g0 =

g0

.

1 + k

s →0 Q(s) + kR(s)

Как видно из этой формулы, для уменьшения величины ошибки надо увеличивать общий коэффициент усиления k разомкнутой цепи системы. Поэтому величина k именуется доб-

ротностью системы.

Признак статической системы – отсутствие нулевых полюсов у ПФ разомкнутой системы.

При H(s) = H1(s) получаем

eуст = lim	sQ(s)	g0 = 0 .
s →0 sQ(s) + kR(s)

Аналогичный результат получается при r = 1, 2…

88

В следящей системе интегрирующим звеном, создающим астатизм, является исполнительный двигатель. Угол поворота вала (или линейное перемещение) будет пропорционален интегралу от входного управляющего сигнала (напряжения).

2) Движение с постоянной скоростью.

g (t) = g0 + g1 t,

g0 = const , g1 = const.

g(s) =

g0

+

g1

.

s

s2

g

0

g

1

e = lim s

+

1

;

уст

s →0

s

s2 1 + H (s)

При H(s) = H0(s) получаем

e = lim		sQ(s)	g		0	+	g		= ∞ .
							1
уст	s →0	Q(s) + k R(s) s					s2

При H(s) = H1(s) получаем

e = lim		s2Q(s)	g		0	+	g		=	g
							1			1	.
уст	s→0	sQ(s) + k R(s) s					s2			k

Эта ошибка называется скоростной ошибкой системы. При H(s) = H2(s) получаем

e = lim		s3Q(s)	g		0	+	g
							1
уст	s→0	s2Q(s) + k R(s) s s2

3) Движение с постоянным ускорением

g(t) = g0 + g1t + g2t 2 ,

g(s) = g0 + g1 + g2 . s s2 s3

= 0 .

89

При H(s) = H0(s) получаем

e = lim

s Q(s)

g

0

+

g

+

g

2

= ∞ .

1

уст

s→0

Q(s) + k R(s)

s

s2

s3

При H(s) = H1(s) получаем

= lim

s2 Q(s)

g

0

+

g

+

g

2

= ∞ .

e

1

уст

s→0

sQ(s) + k R(s) s

s2

s3

При H(s) = H2(s) получаем

= lim

s3 Q(s)

g

0

+

g

+

g

2

=

g

2

e

1

.

уст

s→0 s2Q(s) + k R(s) s

s2

s3

k

Это ошибка системы по ускорению. Величина

k = g2 .

eуст

называется добротностью по ускорению системы.

Она может использоваться для оценки точности только систем с астатизмом второго порядка.

Пример 2.20. Рассмотрим установившуюся ошибку в системе с П-регулятором (рис. 2.15).

g(t)			e(t)		u(t)	5			y(t)
				Kp
							s +1

Рис. 2.15. Пример П-регулятора

Пусть g(t) = 40, тогда g(s) = 40/s и

90