Конспект лекций по ТАУ

ния систем регулирования и заложив математические основы линейной ТАУ.

Значительную роль в развитии теории автоматического регулирования сыграли работы выдающегося математика и механика П. Л.Чебышева. В 1871 г. вышла в свет его работа «О центробежном регуляторе», где была решена задача астатического регулятора.

С1870 г. начинают разрабатываться автоматические системы

ирегуляторы, работающие с использованием электрической энергии. В 1880 г. А. П.Давыдов создает первую электрическую следящую систему пушечной установки со счетно-решающим устройством.

В 1898 г. К. Э. Циолковский предложил «автоматический регулятор горизонтального руля с электрическим приводом», который предназначался для стабилизации полета дирижабля. Эта работа легла в основу дальнейших исследований по созданию автопилотов для различного вида летательных аппаратов. В 1899 г. Н. В. Попов разработал электрический регулятор для паровой машины.

«Отец русской авиации» Е. Н. Жуковский много времени уделял проблеме устойчивости движения. В 1909 г. издается его курс лекций, который стал настольной книгой разработчиков регуляторов. В 1912 г. Жуковский создает теорию управления летательных аппаратов.

Во всем мире известны работы А. М. Ляпунова. В 1892 г. вышла в свет его работа «Общая задача об устойчивости движения». В ней впервые дано строгое определение устойчивости и предложены два метода решения задачи об устойчивости: исследование устойчивости «в малом» и «в большом». Ляпунов обосновал и установил точные границы применимости анализа нелинейных систем по линейным уравнениям. Теоремы, доказанные Ляпуновым, являются математическим обоснованием всей теории устойчивости в «малом», т.е. линейных систем.

11

Второй метод Ляпунова позволяет исследовать устойчивость и при конечных отклонениях (в «большом»). Работы Ляпунова по проблемам устойчивости движения определили целую эпоху

вразвитии механики и теории автоматического регулирования.

Вцелом, в начале ХХ века продолжилось формирование ТАУ как общетехнической дисциплины. В СССР развивались научные школы и решались важные практические задачи разработки систем автоматического управления.

Советский ученый И. Н. Вознесенский проводит исследования в области систем автоматического регулирования паровых и гидравлических турбин. По разработкам Вознесенского были созданы первые отечественные высококачественные регуляторы мощных турбин. Это позволило в последующие годы отечественному турбостроению занять ведущее место в мире. Вознесенский впервые четко высказал мысль о теории регулирования как дисциплине общетехнического характера.

С 1932 г. появляются работы В. С. Кулебакина, развивающего теорию автоматического регулирования применительно к электрическим машинам и регуляторам.

Следует отметить, что перед второй мировой войной развитие теории и практики управления в Европе и США шло несколько иным путем, чем в СССР. На Западе основной упор делался на применение обратной связи в телефонии и электронных усилителях. Главные достижения здесь принадлежат Г. Боде, X. Найквисту и Блейку, которые предложили использовать частотные характеристики для описания работы усилителей с обратной связью. В 1932 г. появляется работа Найквиста, в которой предлагается критерий устойчивости радиотехнических усилителей с обратной связью.

ВСССР, напротив, делался упор на анализ систем во временной области с использованием дифференциальных уравнений.

Важную роль в развитии теории автоматического регулирования сыграли работы А. В. Михайлова. Они послужили основой для создания и развития частотных методов в теории регу-

12

лирования. Михайлов впервые обратил внимание на общность теории ламповых усилителей с обратной связью, разработанную Найквистом, с теорией линейных систем автоматического регулирования и предложил использовать частотный критерий устойчивости для анализа устойчивости автоматических систем. В своих работах Михайлов предложил новый критерий устойчивости линейных систем, основанный на графическом представлении функции комплексного переменного, представляющего собой левую часть характеристического уравнения и показал его связь с критерием А. Гурвица. Ему также принадлежит идея введения типовых элементарных звеньев и структурных методов анализа.

В1939 г. В. В. Солодовников сформулировал условия качества регулирования и применил преобразование Лапласа для получения общих уравнений системы регулирования в операторной форме и разработал основы частотного анализа качества. Им же частотный метод анализа устойчивости и качества был обобщен на системы с распределенными параметрами.

В1932г. Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов создали метод гармонического баланса. В основу этого метода были положены асимптотические разложения, представляющие собой дальнейшее развитие методов теории возмущений. Впервые этот метод был применен для решения нелинейных задач теории регулирования Л. С. Гольдфарбом в 1940 г.

Вторая мировая война дала толчок развитию систем автоматического регулирования во всем мире, поскольку возникла потребность создания автопилотов, систем орудийной наводки, станций радарного слежения и других систем, требующих использования принципа обратной связи.

ВСССР после войны начинается период массового применения регуляторов в промышленности. ТАУ становится дисциплиной, необходимой для широкого круга инженеров и конструкторов. В это время частотный метод анализа и синтеза, дающий единую и взаимосвязанную методику решения основных задач

13

линейной теории регулирования, становится основным методом расчета и проектирования систем автоматического регулирования, допускающих линеаризацию.

Наряду с частотными методами развивались методы анализа качества процессов регулирования, основанные на исследовании расположения полюсов и нулей передаточной функции и методы интегральных оценок. В частности, Я. З. Цыпкиным и П. В. Бромбергом было введено понятие степени устойчивости, а С. П. Стрелковым исследовано влияние расположения полюсов и нулей на качество воспроизведения внешних воздействий.

Широкое применение следящих систем, работающих в условиях помех, выдвигает проблему динамической точности следящих систем, находящихся под влиянием случайных воздействий. Возникает и развивается новый раздел в теории управления

– статистическая динамика для стационарных и нестационарных систем.

Усилия исследователей направляются на разработку общих основ теории нелинейных систем. Продвинуться в этом направлении удалось тогда, когда из множества частных видов нелинейных систем были выделен для исследования класс систем, в которых выделяются две связанные части – линейная часть и безынерционный элемент с нелинейной статической характеристикой. Для систем этого класса были разработаны методы исследования устойчивости, определения условий возникновения автоколебаний.

Теоретические основы дискретных систем автоматического регулирования были развиты Я. З. Цыпкиным, который в 1948 г. предложил частотный критерий устойчивости дискретных систем, а затем на основе дискретного преобразования Лапласа создал основы общей теории дискретных систем, подобной теории линейных непрерывных систем. Им успешно были решены проблемы качества и динамической точности дискретных систем, разработаны методы синтеза дискретных корректирующих уст-

14

ройств. Цыпкин является также одним из основоположников теории адаптивных и самонастраивающихся систем.

Решению задач анализа и синтеза релейных систем автоматического регулирования посвящены работы А. А. Фельдбаума.

Большой вклад в разработку теории исследования нелинейных систем внесли Б. В. Булгаков, Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Е. П. Попов, И. П. Пальтов.

Общее решение оптимальных по быстродействию систем автоматического регулирования было дано в работах Л. С. Понтрягина и его учеников.

Первые работы в области экстремальных систем регулирования были выполнены В. В. Казакевичем, где он рассматривает различные алгоритмы поиска экстремума, вопросы устойчивости и качества экстремального регулирования. Существенные результаты в теории экстремальных регуляторов были получены А. А. Красовским. Он решил общую задачу синтеза линейной непрерывной системы экстремального регулирования.

ВСША в послевоенные годы также происходило бурное развитие ТАУ.

В1948 г. вышла знаменитая книга Н. Винера «Кибернетика или управление и связь в живом организме и машине», в которой основное внимание было уделено информационной стороне процессов управления. Такой подход оказал решающее влияние на превращение ТАУ из раздела прикладной механики в самостоятельную универсальную научную дисциплину.

В1950 г. В. Р. Ивэнсом был предложен графо - аналитический метод корневого годографа.

В1952 г. Л. Заде и Дж. Рагазини разработали метод z- преобразования для дискретных систем. Этот метод стал классическим и широко применяется при создании систем автоматического управления на базе ЭВМ и цифровых фильтров.

В1956 г. была создана Международная федерация по автома-

тическому управлению (International Federation of Automatic

Control (IFAC)).

15

В1957 г. Р. Беллман предложил метод динамического программирования.

Важным результатом стала изданная в 1963 г. книга Л. Заде и Ч. Дезоера «Теория линейных систем (метод пространства состояний)», в которой изложен качественно новый подход в теории линейных систем. Идеи, представленные на страницах этой книги, стали основой так называемой «современной теории управления», получившей развитие в 1970-е годы.

В1965 г. вышла статья Л. Заде «Нечеткие множества», заложившая математические основы систем нечеткого логического управления.

В80-е годы 20-го века началось массовое использование компьютеров в системах управления. Методы теории автоматического управления были распространены на экономические и организационные системы. Появление микроконтроллеров позволило создавать встроенные системы управления. Получили развитие распределенные системы управления на базе вычислительных сетей. Были созданы программные комплексы для автоматизированного проектирования систем управления.

Современный этап развития теории автоматического управления характеризуется широким использованием методов технического искусственного интеллекта, таких как нейронные сети, нечеткие системы, эволюционные алгоритмы. Эти методы опираются на проведение вычислительных экспериментов с моделями систем управления с целью извлечения знаний о процессе управления, что позволяет рассматривать самые сложные задачи. Вместе с тем на практике новые подходы органично взаимодействуют с классическими приемами анализа и синтеза систем управления.

Настоящее учебное пособие является первой частью лекционного курса по ТАУ, основное содержание которого посвящено использованию аппарата передаточных функций в задачах анализа и синтеза систем управления.

16

o Основные понятия ТАУ

Теория автоматического управления выявляет общие закономерности, присущие САУ различной физической природы, а на основе этих закономерностей разрабатывает принципы построения систем управления.

По виду используемой для управления энергии существуют электрические, пневматические, гидравлические и механические САУ. Однако, при изучении процессов управления в ТАУ абстрагируются от физических и конструктивных особенностей систем и вместо реальных систем рассматривают их адекватные математические модели, при этом основным методом исследования является математическое моделирование.

Теория автоматического управления опирается на развитый математический аппарат, в том числе: теория дифференциальных уравнений, операционное исчисление, гармонический анализ, векторно-матричная алгебра, нечеткая логика, нейронные сети и т. д.

Система автоматического управления (САУ) состоит из объекта управления и управляющего устройства.

Объект управления (ОУ) – система, в которой происходит подлежащий управлению процесс. ОУ имеет входы и выходы.

Одномерными (скалярными) называют объекты, имеющие один вход и один выход (рис. 1.4, а), многомерными (векторными) – объекты, имеющие несколько входов и выходов, причем число входов необязательно равно числу выходов (рис. 1.4, б).

Объект управления называется динамическим, если текущее значение выходного сигнала (y на рис. 1.4) зависит не только от текущих, но и более ранних значений внешних воздействий (входных сигналов).

Управление – процесс на входе ОУ (u на рис. 1.4), обеспечивающий такое протекание процессов на выходе ОУ, при котором достигается заданная цель управления.

a)		б)			17
			f1 f2	fk
	f
u		u1			y1
	Одномерный	y	Многомерный

Рис. 1.4. Виды объектов управления

Возмущения − воздействия на ОУ, не зависящие от системы управления (обозначены буквой f на рис. 1.4).

Например: система управления курсом судна, в которой ОУ – это судно, u – угол перекладки руля, y – курс судна, f – ветроволновые воздействия.

По характеру сигналов, циркулирующих в системе, САУ подразделяются на непрерывные (аналоговые), дискретные и дискретно-непрерывные (гибридные).

Под непрерывной системой будем понимать техническое устройство, которое осуществляет преобразование непрерывного сигнала x(t) в другой непрерывный сигнал y(t) в соответствии

сзаданным оператором F.

Взависимости от вида оператора F непрерывные системы могут быть:

1. линейными или нелинейными;

2. стационарными или нестационарными;

3. физически реализуемыми или нереализуемыми;

4. детерминированными или стохастическими.

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, который заключается в том, что реакция системы на любую комбинацию внешних воздействий равна сумме реакций на каждое из этих воздействий в отдельности. Непрерывная система называется линейной тогда и только тогда, когда ее оператор F обла-

18

дает свойствами аддитивности и однородности для любых a и x(t):

F(x1(t) + x2(t)) = F(x1(t)) + F(x2(t)),

F(ax(t)) = aF(x(t)).

К линейным операторам относятся операторы интегрирования и дифференцирования:

y(t) =	d		(t) + βx2	(t)) = α	dx1	(t)	+ β	dx2	(t)
		(αx1								,
					dt
	dt							dt

y(t) = ∫ (αx1 (t) + βx2 (t))dt = α ∫ x1 (t)dt + β ∫ x2 (t)dt.

Операторы логарифмирования или возведения в степень не обладают свойством линейности:

ln(x1 (t) + x2 (t)) ¹ ln(x1 (t)) + ln(x2 (t))),

(x1 (t) + x2 (t))n ¹ x1n (t) + x2n (t).

Реальные объекты управления являются нелинейными, однако во многих случаях точность, даваемая линейным приближением, является вполне достаточной. Если объект относится к классу линейных, то его поведение можно описать системой линейных дифференциальных уравнений.

Система называется стационарной (инвариантной во времени), если ее параметры (коэффициенты дифференциального уравнения) не изменяются во времени, иначе система нестацио-

нарная.

Свойство стационарности можно описать следующим образом:

Если y(t) = F(x(t)), то y(t – t 0) = F(x(t – t 0)),

для любого значения t0.

Система называется физически реализуемой, если выходной сигнал в текущий момент времени не зависит от значений входного сигнала в последующие моменты времени.

19

Детерминированной называется система, оператор которой детерминирован, т.е. устанавливает однозначное соответствие между входными и выходной переменными.

Стохастической называется система, оператор которой является случайным. Выходная величина стохастического объекта всегда случайна, даже при наличии детерминированных входных переменных.

Дискретными являются релейные, импульсные и цифровые САУ. Они имеют отличное от непрерывных САУ математическое описание, основанное на использовании разностных уравнений для описания дискретных сигналов.

По характеру изменения задающего воздействия САУ делятся на системы стабилизации, следящие системы и системы программного регулирования.

Следящие системы предназначены для изменения регулируемой величины по заранее неизвестному закону.

Системы стабилизации служат для поддержания требуемого значения регулируемой величины относительно неизменного значения задающего воздействия.

Системы программного регулирования – это системы, в кото-

рых задающее воздействие изменяется по заданной программе. Система автоматического управления называется адаптив-

ной, если она может изменять закон управления, отслеживая изменение параметров системы или внешней среды и поддерживая высокое качество управления.

Если выбор структуры и (или) параметров САУ производится из условия достижения экстремума каким-либо критерием качества, то такие САУ называются оптимальными.

По точности регулирования САУ бывают статическими и астатическими. В статических САУ по окончанию переходного процесса ошибка становится равной некоторой постоянной величине, называемой статической ошибкой. В астатических системах ошибка по окончанию переходного процесса равна нулю.

20