Алгоритм расчета критерия φ*16

1. Определить те значения признака, которые будут критерием для разделения испытуемых на тех, у кого «есть эффект» и тех, у кого «нет эффекта». Если признак измерен количественно, использовать критерий , для поиска оптимальной точки разделения.

2. Начертить четырехклеточную таблицу из двух столбцов и двух строк. Пер­вый столбец – «есть эффект»; второй столбец – «нет эффекта»; первая строка сверху - 1 группа (выборка); вторая строка - 2 группа (выборка).

3. Подсчитать количество испытуемых в первой группе, у которых «есть эффект» и занести это число в левую верхнюю ячейку таблицы.

4. Подсчитать количество испытуемых в первой выборке, у которых «нет эф­фекта», и занести это число в правую верхнюю ячейку таблицы. Подсчитать сумму по двум верхним ячейкам. Она должна совпадать с количеством ис­пытуемых в первой группе.

5. Подсчитать количество испытуемых во второй группе, у которых «есть эф­фект», и занести это число в левую нижнюю ячейку таблицы.

6. Подсчитать количество испытуемых во второй выборке, у которых «нет эф­фекта», и занести это число в правую нижнюю ячейку таблицы. Подсчитать сумму по двум нижним ячейкам. Она должна совпадать с количеством испытуемых во второй группе (выборке).

7. Определить процентные доли испытуемых, у которых «есть эффект», путем отнесения их количества к общему количеству испытуемых в данной группе (выборке). Записать полученные процентные доли соответственно в левой верхней и левой нижней ячейках таблицы в скобках, чтобы не перепутать их с абсолютными значениями.

8. Проверить, не равняется ли одна из сопоставляемых процентных долей ну­лю. Если это так, попробовать изменить это, сдвинув точку разделения групп в ту или иную сторону. Если это невозможно или нежелательно, от­казаться от критерия φ* и использовать критерий ² .

9. Определить по Табл. 4 Приложения 3 величины углов φ для каждой из сопоставляемых процентных долей.

10. Подсчитать эмпирическое значение φ* по формуле:

,

где: φ₁ - угол, соответствующий большей процентной доле,

φ₂ – угол, соответствующий меньшей процентной доле,

n₁ – количество наблюдений в выборке 1,

n₂ – количество наблюдений в выборке 2.

11. Сопоставить полученное значение φ* с критическими значениями: φ*≤1,64 (р≤0,05) и φ*≤2,31 (р≤0,01). Если φ^*_эмп≥φ^*_кр, Н₀ отвергается.

Пример 1: сопоставление выборок по качественно определяемому признаку.

После проведения формирующего эксперимента учащимся 5 а (экспериментальная группа) и 5 б (контрольная группа) по трем не связанным друг с другом словам написать мини-сочинение. В 5а (ЭГ) из 25 человек с задачей справились 18 человек, в 5 б (КГ) из 27 человек с задачей справились 16 человек. достоверны ли различия между группами?

Выполним первые 8 шагов алгоритма и составим четырехклеточную таблицу.

Таблица 14.

Группы	«есть эффект», задание выполнено		«нет эффекта», задание не выполнено		Суммы
	Кол-во	% доля	Кол-во	% доля
5 а	18	(72 %)	7	(28 %)	25
5 б	13	(48,1 %)	14	(51,9 %)	27
Суммы	31		21		52

Шаг 9. Определим по Таблице 4 приложения 3 величины φ:

φ_{1(72 %)}= 2,026; φ_{2(48,1 %)}=1,533

Шаг 10. Подсчитаем эмпирическое значение φ* по формуле:

Шаг 11. Сопоставим φ*_эмп с критическим значением.

φ*_{эмп >} φ*_{кр 0,05.}

Ответ: Н₀ отвергается. Доля учащихся, справившихся с заданием, в экспериментальной группе больше, чем в контрольной (р≤0,05).

Пример 2- сопоставление двух выборок по количественно измеряемому признаку

При проведении диагностики экстраверсии и нейротизма с использованием опросника Айзенка в двух студенческих группах (n₁=29, n₂=31) по шкале лжи получены баллы от 0 до 8. Известно, что при показателях больше 4 баллов по этой шкале ответы испытуемых считаются недостоверными. В первой группе 9 человек получили по шкале лжи больше 4 баллов, во второй группе – 7 человек. Можно ли считать, что различия между группами по уровню лжи достоверны?

Граница, по которой мы делим выборку на части «есть эффект – нет эффекта» задана самим опросником – 4 балла.

Далее следуем по алгоритму. Занесем данные в таблицу. Обозначим группой 1 ту, в которой больше людей, у которых «есть эффект».

Таблица 15.

Группы	«есть эффект», Ложь > 4		«нет эффекта», Ложь ≤ 4		Суммы
	Кол-во	% доля	Кол-во	% доля
Группа 1	9	(31%)	20	(69 %)	29
Группа 2	7	(22,6 %)	24	(77,4 %)	31
Суммы	16		44		60

Шаг 9. Определим по Таблице 4 приложения 3 величины φ:

φ_1(31%)= 1,182; φ_{2(22,6 %)}=0,991

Шаг 10. Подсчитаем эмпирическое значение φ* по формуле:

Шаг 11. Сопоставим φ*_эмп с критическим значением.

Ответ: Н₀ принимается. Доля лиц, имеющих повышенные показатели по шкале лжи в первой группе, не выше такой же доли во второй группе. Другими словами, различий между группами по этому показателю нет!

оценка различия в средних

Данная задача, по сути, также является задачей на выявление различий между группами (как и предыдущая). Однако решить ее можно только при большом количестве испытуемых – 20, 30 и более человек в группах. Конечно, можно применять t-критерий Стьюдента и для более «мелких» выборок, однако критическое значение будет очень высоким. Ситуация будет напоминать ту, в которой стреляют «из пушки по воробьям».

t-критерий Стьюдента

Чтобы можно было использовать данный критерий, значения должны быть представлены в интервальной шкале или шкале отношений.

Формула для подсчета t-критерия Стьюдента:

, где

x₁иx₂ – средние арифметические выборокn₁иn₂,

m₁иm₂– ошибки средних величин.

,, где

Для оценки степени достоверности различий между группами t_эмп сопоставляется с t_кр, определяемым по Таблице 5 Приложения 3. При t_эмп > t_кр различия признаются достоверными.

 - стандартное отклонение,

n- объем выборки.

Число степеней свободы (d) определяется по формуле:

d = n₁ + n₂ – 2, где n₁ и n₂ – количество человек в группах.

Рассмотрим расчеты на примере со стр. 55: определение достоверности различий по уровню тревожности между мальчиками и девочками 1 а класса.

Нам необходимо подсчитать  ², иm². Построим вспомогательную таблицу для расчетов.

Таблица 16.

Вспомогательная таблица для расчета t-критерия Стьюдента

Группа девочек							Группа мальчиков
n	xi	xi -	(xi - )^2	n			xi	xi -	(xi - )^2
1	20	4,19	17,556	1			9	-2,714	7,366
2	15	-0,81	0,656	2			10	-1,714	2,938
3	12	-3,81	14,516	3			15	3,286	10,798
4	14	-1,81	3,276	4			12	0,286	0,082
5	16	0,19	0,036	5			7	-4,714	22,222
6	20	4,19	17,556	6			11	-0,714	0,510
7	18	2,19	4,796	7			14	2,286	5,225
8	16	0,19	0,036	8			14	2,286	5,225
9	19	3,19	10,176	9			16	4,286	18,369
10	16	0,19	0,036	10			11	-0,714	0,510
11	15	-0,81	0,656	11			9	-2,714	7,366
12	13	-2,81	7,896	12			10	-1,714	2,938
13	11	-4,81	23,136	13			12	0,286	0,082
14	16	0,19	0,036	14			14	2,286	5,225
15	12	-3,81	14,516	n=14			2= 11,714		(xi - )^2= =88,856
16	20	4,19	17,556
n=16	1= 15,813		(xi - )^2= =132,436

Для дальнейших расчетов нам необходимо найти  ²:

,

.

Подсчитаем число степеней свободы, чтобы определить t_кр.

d = n₁ + n₂ – 2 = 16 + 14 – 2 = 28

По Таблице 6 Приложения 3 определим t_кр .

Ответ: различия между группами по уровню тревожности достоверны (р≤0,01).

Мы определяли достоверность различий между группами двумя методами: используя Q-критерий Розенбаума и t-критерий Стьюдента. Вам какой метод понравился больше? Вероятно, Q-критерий, т.к. расчетов там гораздо меньше. Но, помните, Q-критерий не всегда может определить различия и приходится использовать более мощные критерии (U-критерий Манна-Уитни, φ*-критерий Фишера, t-критерий Стьюдента), хотя они и связаны с большим количеством подсчетов.

оценка сдвига значений исследуемого признака

В психолого-педагогических исследованиях часто бывает важно доказать, что в результате действия каких-либо факторов произошли достоверные изменения («сдвиги») в измеряемых показателях. Такими факторами могут являться время, разнообразие условий и др.

Мы рассмотрим два варианта задачи:

а) при отсутствии контрольной группы,

б) при наличии контрольной группы.

Подбор конкретного метода решения поставленной задачи будет зависеть от объема выборки.

а) Оценка сдвига значений исследуемого признака

при отсутствии контрольной группы

T – критерий Вилкоксона

Данный критерий позволяет установить направленность и выраженность изменений при сопоставлении показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых. Нулевые сдвиги из рассмотрения исключаются, и количество наблюдений n уменьшается на количество этих нулевых сдвигов. Но данное ограничение можно обойти, сформулировав гипотезы, включающие отсутствие изменений, например: «Сдвиг в сторону увеличения значений превышает сдвиг в сторону уменьшения значений и тенденцию сохранения их на прежнем уровне».

Гипотезы:

Н₀: Интенсивность сдвигов в типичном направлении не превосходит интенсивности сдвигов в нетипичном направлении.

Н₁: Интенсивность сдвигов в типичном направлении превышает интенсивность сдвигов в нетипичном направлении.

Давайте договоримся считать типичным сдвигом сдвиг в более часто встречающемся направлении, а нетипичным, или редким, - сдвиг в более редко встречающемся направлении.