ЛЕКЦИЯ № 2

Исходные положения геодезии. Понятие о фигуре Земли.

Метод проекций в геодезии. Системы координат, применяемые в геодезии

2.1. Понятие о фигуре Земли

Фигура Земли, характеризующая обобщенную геометрию планеты (ее геомет-

рическую модель) издавна интересовала ученых. Для геодезистов

определение

Т

обобщенной формы и размеров Земли представляет одну из основных задач. Если

Н

не учитывать неровности твердой поверхности Земли (горы, океаническиеУвпадины

и другие ее формы), то модель поверхности Земли, на 71% покрытой водами Ми-

рового океана, в первом

приближении рассматривают шаром, образованным по-

верхностью этого океана. Но Земля

вращается вокруг своей оси и согласно зако-

нам физики сплюснута вдоль полюсов. Соответственно во втором

приближении

научно обоснованная модель Земли представляется эллипсоидомБ

вращения, отра-

жающим обобщенную геометрию

поверхности

Более точные ис-

Мирового океана.

земного шара или земного эллипсоидаповерхностиэтим обеспечивают упорядоченное геоде-

следования показывают,

что Земля может йбыть моделирована трехосным эллип-

соидом.

ко

Все участки сложной твердой

Земли проецируют на поверхность

толь

и

наземной ситуации и рельефа, но и подземных геоло-

зическое описание не

гических

образований

.

теория

В модели шарообразной Земли используется геометрия сферы постоянного ра-

диуса R,

которой сравнительно проста и очень хорошо разработана. Модель

п

Земли в виде эллипсоида вращения (рис. 2.1) характеризуется размерами а и b

геодезии

малой его полуосей. В этой модели используется геометрия эллипсоида

большой

Р

вращения, которая намного сложнее геометрии сферы, но разработана для целей

также достаточно полно.

Рис. 2.1. Разрез эллипсоида вращения вдоль его оси РР1

Если участок поверхности Земли небольшой, то для этого участка применяют

модель плоской горизонтальной поверхности, которая вследствие свой простоты

широко применяется в многообразных задачах геодезии.

Для проецирования точек земной поверхности на сферические и плоские по-

верхности используется направление силы тяжести. Например, нить отвеса совпа-

дает с направлением силы тяжести в данной точке. Поверхность жидкости в спо-

койном состоянии перпендикулярна направлению силы тяжести. Поверхность,

всюду перпендикулярная направлениям силы тяжести, называется уровенной по-

верхностью.

Уровенные поверхности можно определять на разных высотах; все

У

они являются замкнутыми и почти параллельны одна другой. Уровенная поверх-

Т

ность, совпадающая с невозмущенной поверхностью мирового океана и мыс-

ленно продолженная под материки, называется основной уровенной поверхно-

стью или поверхностью геоида.

Н

Методами гравиметрии – науки,

изучающей величины и направления силы тя-

Б

жести в разных точках поверхности

, установлено, что под действием неод-

нородностей плотности земной

силовые линии гравитационного поля Земли

й

искривляются и несколько отклоняются от направления к центру масс Земли. В ре-

зультате таких отклонений

Земли

геоида (т.е. физическая модель поверхно-

сти Земли) получает отклонениякорыот правильной геометрической формы, но остает-

ся повсюду выпуклой.

геоида имеет сложную форму, не поддающую-

поверхность

ся точному математическому описанию, и не может быть определена только из

наземных

Поверхность

.

В настоящее времяприизучении физической поверхности Земли, т.е. геоида,

измеренийвспомогательную поверхность, именуемую

квазигеоидом, которая

может быть

определена относительно поверхности эллипсоида по результа-

точно

геодезических и гравиметрических измерений. На террито-

там астрономических,

риииспользуютморей и океанов поверхность квазигеоида совпадает с поверхностью геоида, на

она отклоняется от него

на насколько дециметров,

а в горных массивах до

суше

Р

двух метров (рис.2.2).

Рис. 2. 2. Поверхности относимости

У

При картографировании поверхности Земли за действительную ее поверхность

принимают на суше ее физическую поверхность, на территории морей и океанов ‒

их невозмущенную поверхность.

Что значит геодезически изучить действительную поверхность Земли? Это зна-

Б

чит определить положение любой ее точки в принятой системе координатТ. В геоде-

зии системы координат задают на поверхности эллипсоида вращения, потому что

из относительно простых математических поверхностей онаНближе всего подходит

й

к поверхности геоида. Поверхность такого эллипсоида называется также поверх-

ностью относимости.

Эллипсоид

вращения

принятых размеров, определенным

р

образом ориентированный в теле Земли,

на поверхность которого проецируют гео-

дезические

сети при вычислении их координат, называется референц-

эллипсоидом.

о

т

Для территории бывшего СССР постановлением Совета Министров СССР в

эллипсоид

Ф.

Н.

Красовского (см. схему на рис. 2.1). Его пара-

1946 году принят

метры:

з

• большая полуось a = 6 378 245 м;

полуось

b = 6 356 863 м;

• малая

скихполярноекоординат 1942 года. Данная система сокращенно именуется СК-42.

•

сжатие:

α

= (а - b) / b = 1 / 298,3.

На референц-эллипсоид Ф. Н. Красовского спроецированы пункты государст-

венной

геодезической сети, закрепляющие государственную систему геодезиче-

Р

Системы геоцентрических пространственных прямоугольных координат

находят применение в спутниковых системах позиционирования. Это вызвано тем,

что здесь координато-несущие точки –

созвездия специальных искусственных

спутников Земли обращаются по орбитам вокруг центра масс Земли на высотах,

порядка 20 000 км. Данная система координат имеет математическую связь с сис-

темой геодезических широт, долгот и высот. Это позволяет решать задачи коорди-

нирования точек, как на земной поверхности, так и в околоземном пространстве, а также устанавливать связь координатных определений с наземными (классическими) методами. В настоящее время созданы несколько таких созвездий, назовем два из них: GPS-NAVSTAR (США) и ГЛОНАСС (РФ), формирующие две системы геоцентрических координат.

Всемирная геоцентрическая система координат WGS-84 (World Geodetic
System, 1984 г, США), поддерживается созвездием GPS-NAVSTAR и рекомендова-
на к практическому применению Международным Союзом геодезии и геофизики.
										Т
Представляет одну из глобальных координатных систем, используемых в спутни-
									Н
ковых технологиях определения координат неподвижных объектов											(статическоеУ
позиционирование) и находящихся в движении (кинематическое позиционирова-
									Б
ние) на земной поверхности и в пространстве. Пространственные прямоугольные
координаты			x, y, z точки N определяют относительно центра масс Земли М и коор-
динатных осей X, Y, Z (рис. 2.3).								й
							и
					р			Схема пространственной
						Рис. 2.3.
					о
						прямоугольной геоцентрической системы .
					.		координат WGS-84
				и	Ось Z совмещена с положением оси вращения
Земли на эпоху 1984 г, положительное направление оси – северное. Ось X направ-
			з
лена от центра масс кточке К пересечения плоскости экватора с плоскостью на-
	о
чального меридиана ВIH, положение которого определено Международным бюро
п
времени (Bireau International de I’Heure – ВIH) в пункте закрепления Гринвичского
меридиана. Ось Y расположена в плоскости экватора под углом 90°											к востоку от
таблице
оси Х, этим установлена правосторонняя геоцентрическая система прямоугольных
Р			Основные параметры общеземного эллипсоида WGS-84								приведены в
координат.
		2.1.
Геоцентрическая система ПЗ-90.02 (Параметры Земли – 90.02,											РФ) поддер-
живается спутниковым созвездием ГЛОНАСС и отвечает соответствующей про-
странственной прямоугольной геоцентрической системе координат.											Пара-
метры земного эллипсоида ПЗ-90.02						приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1.

Параметры основных земных эллипсоидов

Эллипсоид

Экваториальная

Погрешность,

Сжатие,

полуось а, м

а, м

Α

WGS-84

6 378 137

+ (0,6 – 0,9)

1/298,2572

ПЗ-90.02

6 378 136

– (0,1 – 0,4)

1/298,2578

Красовского

(СК-

У

6 378 245

+ 109

1/298,3

42)

Т

Как видно из таблицы 2.1, параметры систем координат WGS-84

и ПЗ-90-02

Н

различаются на малые величины. В таблице даны оценочные показатели погреш-

ностей их определения. В настоящее время разрабатываются методы совместного

Б

использования в геодезии созвездий ИСЗ различных систем. Ведутся работы по

созданию и совершенствованию аналогичных спутниковых систем в ряде других

стран.

й

Следует отметить, что параметры земного эллипсоида Ф. Н. Красовского в СК-

42 для своего времени отличаются

наибольшей

точностью в сравнении со всеми

2.2.

измеренийпроекции в геодезии

известными тогда параметрами земного эллипсоида, полученными на основе тра-

диционных методов градусных

.

Метод

т

простейшим

изобразить

2.2.1. Центральная проекция

Чтобы

объемный предмет на плоском чертеже,

применяют метод

проекций. К

проекциям относятся центральная и ортогональная про-

прое

а) проецирование точек объекта на

екции. При центральной проекции (рис.2.4,

плос

кость Р1

кции выполняют линиями,

исходящими из одной точки S, кото-

центра

рая называется центром проекции.

Р

Для получения центральной проекции исходного четырехугольника ABCD из

проекции S через точки A, B, C, D

проведем линии проецирования до пере-

сечения с плоскостью проекции Р1, получим точки a, b, c, d, представляющие проекции точек A, B, C, D.

2.2.2.Ортогональная проекция

Вортогональной проекции (рис. 2.4, б) от точек A, B, C, D проведем перпендикуляры к плоскости проекции P1 и получим на ней ортогональные проекции a,

b, c, d соответствующих точек.

2.2.3. Горизонтальная проекция

Для случая применения ортогональной проекции наклонной линии длиной D на горизонтальную плоскость отвесными линиями на рис. 2.4, в иллюстрируется схема к вычислению горизонтального проложения s наклонной линии ограниченной длины по формуле

s = S соs ν,

где S – длина наклонной линии; ν – ее угол наклона.

ортогональная	(б) проекции
Рис. 2.4 ,б. Центральная (а) и

		У
	Т
Н
Б

е		Рис. 2.5. Горизонтальное проложение наклонной линии
		2.2.4. Высотная координата и превышение
Р	Высотная координата точки определяется над поверхностью относимости, на-

пример, над уровнем Балтийского моря. На практике высоты (альтитуды) точек часто именуются отметками во избежание путаницы между понятиями «высота объекта» и «высота объекта над уровнем моря».

Отметка точки ‒ это численное значение ее высоты над поверхностью отно-

симости. Разность высот или альтитуд или отметок двух точек называется превышением одной точки относительно другой и обозначается буквой h, например, в ортогональной проекции для малых участков, принимаемых плоскими (см. рис. 2.5) превышение точки А над точкой М:

					h = HА ‒ HМ.					(2.1)
	При ограниченных площадях геодезических работ в определенных пределах
	допускается заменять сферическую поверхность проецирования плоской горизон-
	тальной поверхностью в таких случаях проецирование отвесными линиямиУ(по на-
	правлениям силы тяжести в каждой точке) не приводит к значительным искажени-
									Т
	ям проекции, но на значительных площадях возникают искажения проекции, кото-
	рые следует			оценить на	условие допустимости применения					ортогональной
	проекции.							Н
								Б
	2.3. Расчет влияний кривизны							при замене участка сферы
	плоскостью						й
		2.3.1 Влияние кривизны					на проецирование расстояний
						Земли
	Как уже отмечено, небольшой участок сферической поверхности при опреде-
	ленных условиях можно				р
					за плоскость. Применение модели плоской по-
	верхности при			геодезических задач возможно лишь для небольших участ-
	ков поверхности Землипринять, когда искажения проекции, вызванные заменой поверхно-
	сти сферы или эллипсоида плоскостью невелики и могут быть вычислены по
	простым			решении
				.
			з
	Рассчитаем,			какое искажение получит дуга окружности, если в центральной
	кцииформуламполучить ее изображение на плоскости, касательной к сфере. На рис. 2.6,
	а точка O ‒ центр сферы (в данном сечении сферы точка O ‒ центр окружности
	п
	Т0G0); дуга ТоСо радиусом R стягивает центральный угол α. Проведем касательную
прое
Р	плоскость ТоС1 к сфере в точке Т0.
	Согласно рис. 2.6, а расстояния D и S между проекциями точек Т и С на плос-
	кость (точки Т0 и С1) и на сферу (точки Т0 и С0) различаются за									счет фактора

кривизны Земли на абсолютную величину

S = D – S = R tg α – S,

(2.2)

где угол α = S / R выражен в радианах.

Используем разложение tg α в ряд, ограничиваясь двумя первыми его членами,

т.е.
tg α =	α + α3 / 3 + …		(2.3)
Подставив в формулу (2.2) значение (2.3) и приняв во внимание, что α = S / R,
после преобразований находим			Т
		Н		У(2.4)
	S = S3 / 3R2.
Относительная характеристика	/ S значимости разности длин D и S полу-
чается из формулы (2.4):	й
	S / S = S2 / 3R2.	Б		(2.5)

	е			Рис.2.6. Учет кривизны уровенной поверхности:
	Р		а – при измерении расстояний и превышений; б при строительстве тоннелей;
		п→N←		‒ направления сточных вод внутрь прямолиненйного тоннеля М1Т1;

←B→ ‒ сток вод от возвышенной средней части тоннеля

Определим на сферической поверхности размеры участка, в пределах которого можно не учитывать влияние фактора кривизны при условии, что допускается относительная величина искажения длины S / S = 1 / 1 000 000 (1 мм / 1 км). Решив уравнение (2.2) получаем S = D = 11 км – радиус участка, который отвечает по-

ставленному условию. Если принять иную

величину допуска, например S / S=

1 / 200 000 (5 мм / 1 км), то плоским можно считать участок на сферической и уро-

венной поверхности радиусом 25 км.

2.3.2. Влияние кривизны Земли на определения превышений

Фактор кривизны Земли учитывается также при измерении превышений между

точками на плоскости. Определим расстояния, при которых необходимо учитывать

соответствующие

поправки в превышения. При рассмотрении данного вопроса

используем шаровую модель Земли.

Т

Пусть точки Т0

и С0 –

вертикальные проекции точек Т и С поверхности Земли

Н

на сферу по радиусам R = ТО и R = СО (см. рис. 2.6, а).

В точке

0 проведемУго-

ризонтальную линию Т0С1

– касательную к сфере. Точка

С1 представляет верти-

кальную проекцию точки С на касательную Т0С1, а вертикальное расстояние C0С1 =

h выражает влияние фактора кривизны на

высоту точки, определяемой на мест-

ности относительно горизонтальной плоскости. Из треугольника ОТ0С1 следует,

что

и

Б

р

й

(2.6)

(R + h)2 = R2

+D2

или

о

R2 + 2R

h + ( h)2

= R2 +D2.

(2.7)

т

В последнем

выражении

примем слагаемое (

h)2 = 0 по его малости в сравне-

нии

з

заменим D на S по незначительности их расхождения

другими слагаемыми

на

ограниченных

расстояниях, тогда 2R·Δh = S2, откуда

п

h = S

2

/ 2R.

(2.9)

Р

Для различных расстояний S при R = 6371 км

по формуле (2.7) вычислим зна-

h и получим следующие результаты (табл. 2.3). Влияние кривизны Земли

ченияна значения измененных превышений учитывают в зависимости от точности геоде-

зических работ.