3.3.Прямая и обратная геодезические задачи

Всистемах плоских прямоугольных координат многие инженерногеодезические расчеты основаны на формулах решения прямой и обратной геодезических задач.

Впрямой геодезической задаче известны горизонтальное проложение d

прямого отрезка 1-2 (рис. 3.6, а), его дирекционный угол α , координаты х1 и у1 начальной точки 1. Требуется вычислить координаты х2 и у2 точки 2. У

Сначала вычисляют приращения координат, равные катетам прямоугольногоТ треугольника 1-Е-2 Н

	х2 = х1 + х;	у2	= у1 + у.		(3.11)
Знак	приращений координат	х и	у зависит от направления отрезка 1-2
(рис.3.4, б) и соответствует знаку cos α			и sin α.
При	вычислениях с использованием румба r (положительногоБ				числа) соответ-
		записывать		со знаком “ плюс” или “ минус”
ствующе значения х и у необходимо
в соответствии с рис. 3.4, б.			й

п		Рис. 3.6. Прямая и обратная геодезические задачи:
а – прямая и обратная задачи; б – знаки приращений координат, дирекционные углы
е		и румбы при различных направлениях 1‒2
Пример 1. Вычислить координаты х2, у2 точки 2, если длина линии 1-2 d1-2 =
Р	ее дирекционный угол α1-2 = 125° 20'; координаты точки 1:		х1 = 500,00
100,00 м,

м; у1 = 1000,00 м.

Р е ш е н и е .	Для вычислений следует использовать дирекционный угол. Если
применить румб,	то его значение r1-2	= ЮВ: (180° – α1-2 ) = ЮВ: 54°40'. Затем
находим х = 100,00·cos 54° 40' = 57,83 м;		у = 100·sin 54° 40' = 81,58 м. Определив
знаки – х и + у	для направления ЮВ (см. рис. 3.6, в) вычисляем х2 и у2:
х2 = 500,00 – 57,83 = 442, 17 м ;

у2 = 1000,00 + 81,58 = 1081,58 м.

В обратной геодезической задаче по известным прямоугольным координатам
х1 и у1, х2 и у2 конечных точек отрезка прямой 1-2 (см. рис. 3.4, а) вычисляют гори-
			Т
зонтальное проложение d, румб r1-2	и дирекционный угол α1-2.		Вначале вычисля-
ют тангенс румба (см. рис. 1,9, а):		Н		У
tg r1-2 = у /	х = (у2 – у 1)/(х2 – х 1),		(3.12)
а затем численное значение румба: r = arc tg ( у / х).

По знакам разностей (у2 – у 1) и (х2 – х 1) определяют название четверти румба (см.

рис. 3.4, б) и вычисляют дирекционный угол (см. табл. 1.3). Длину отрезка 1-2 на-

ходят по двум из следующих формул:

и

Б

d =

х / cos α; d =

дире

2

у

2

.

(3.13)

у / sin α; dй= √ х +

формуле

Пример 2. Вычислить длину d1-2

кционный угол α1-2

линии 1-2,

если из-

вестны координаты

к 1 и 2: х1 = 200,00 м; у1 = 400,00 м;

х2 = = 286,34 м; у2 =

349,54 м.

точе

и

Р е ш е н и е .

По

(3.12) рассчитаем

tg r1-2 =

(349,54 –

400,00) /

з

а также

(286,34 – 200,00) = – 50,46 / +86,34 = – 0,58443,

arc tg (

у /

х) = = –

о

По знакам +

х (к северу) и –

(к западу) найдем r1-2 = СЗ:

30,299° = – 30° 17,9'.

у

30° 17,9', затем дирекционный

угол α1-2 = 360° – 30° 17,9' = 329° 42,1'.

По форму-

п

2

2

лам (3.13) с контролем вычислим

d1-2

= 86,34 / cos 329° 42,1' = 86,34 / cos 329,702°

е

=

100,00 м;

= 86,34 / 0,86341

Р

контроль: d1-2 =

√ 86,34 + 50,46

= 100,00 м.

ЛЕКЦИЯ № 4

Топографические карты и планы. Понятие о карте, плане, профиле.

Масштабы, их точность. Номенклатура топографических карт

4.1. Понятие о картах, планах и профилях. Масштабы

								У
Обширные территории изображают на картах в определенном масштабе. Под
масштабом карты подразумевают отношение длины отрезка на карте к длине соот-
							Т
ветствующего отрезка на местности. Масштаб карты выражается в виде обыкно-
венной дроби, числитель которой равен единице. Например, масштаб, равный 1 :
						Н
100 000, указывает на то, что отрезок на местности изображается на карте в среднем
						Б
уменьшенным в 100 000 раз, или один сантиметр на карте соответствует одному
километру на местности. Контуры и точки земной поверхности, отнесенные к по-
					й
верхности земного эллипсоида или шара, проецируют на картинную плоскость по
определенным математическим законам, используя методы генерализации и обоб-
				и
щения. Высоты точек и рельеф местности на картах отображаются в Балтийской
системе высот.			р
Топографические карты				в конформной проекции поверхности эллип-
		создают
соида на плоскости в масштабах 1 : 1 000 000 (одна миллионная) и более крупных
		т
(1 : 500 000; 1 : 300 000; 1 : 200 000; 1 : 100 000; 1 : 50 000; 1 : 25 000; 1 : 10 000 ).
Для ограниченного по размерам участка земной поверхности, когда кривизной
поверхности		эллипсоида можно пренебречь, его проецируют на горизон-
тальную плоскость, проходящей на средней высоте участка. Так составляют топо-
	изображение
графический плани. Топографический план представляет собой уменьшенное и по-
проекции, подземных коммуникаций, водных и других объектов необходимо для инже-
добное	земногоконтуров и рельефа участка местности в ортогональной
сетей	на горизонтальную плоскость.
Картографирование населенных мест, промышленных предприятий, дорожных
Р
нерного обеспечения их функционирования. При проектировании таких объектов
используют топографические планы, а также специальные строительные чертежи,
которые составляют в масштабах 1 : 200; 1 : 500; 1 : 1000; 1 : 2000; 1 : 5000. На них
показывают существующие объекты и проектируют новые поверхностные и под-
земные сооружения.		На исполнительных чертежах (исполнительных планах) со-

оружений линейного вида отображают все построенные наземные и подземные объекты (дороги, трубопроводы, кабели, тоннели и др.).

К картографическим материалам относят также и профили – вертикальные разрезы местности, наземных и подземных сооружений, инженерно-геологические разрезы. Профилем называется уменьшенное изображение вертикального разреза

земной поверхности вдоль выбранного направления.

При составлении профиля земной поверхности для большей выразительности

чертежа вертикальный масштаб 1 : Мв берут в 10 раз крупнее масштаба горизон-

тального 1 : Мг. Специальные инженерные профили дополняют инженерно-

геологическими разрезами местности вдоль выбранного направления и используютУ

для проектирования наземных и подземных сооружений линейного вида

(дороги,

трубопроводы, каналы, тоннели и т.д.), на

Т

них отображают вертикальные разрезы

построенных сооружений.

Н

Для удобства использования масштабы топографических чертежей и профи-

лей представляют в численном виде и в

Бформе.

Численный масштаб 1 : М выражает отношение длины отрезка dп на плане к

длине горизонтального проложения d соответствующегокой

отрезка на местности:

1 : М = dп

: d.

(4.1)

графичес

Знаменатель М численного масштаба характеризует величину уменьшения го-

ризонтальных линий

р

при их изображении на плане:

М = d : dп .

(4.2)

о

Если d = 100 м,

dп = 10 см, то М = 100 м : 10 см = 10 000 см : 10 см = 1000, т.

местности

е. численный масштаб 1 : М = 1 : 1000 (одна тысячная).

и

Численный масштаб часто указывается в словесной форме, например “ в 1 см -

10 м” –

для

з

плана масштаба 1 : 1000.

Линейный масштаб представляет собой отрезок прямой, на котором несколько

о

раз отложен отрезок а, называемый основанием масштаба. На рис. 4.1, а основание

п

делениями

на 10

а равно

2 см, левый крайний отрезок разделен наименьшими

еравных

частей. Для плана масштаба 1 : 5000 (в 1 см 50 м) основанию,

равному

2 см, соответствует расстояние на местности d = 100 м, поэтому деления а подпи-

Р

100 м.

Каждое наименьшее деление левого крайнего отрезка а кратно

саны через

10 м, но десятые доли таких делений (сотые доли основания а) оцениваются визу-

ально и кратны 1 м. Расстояние s1,

снятое с плана циркулем-измерителем равно 300

+ 30 + 4 = 334 м.

На рис. 2.1, б основание а = 1 см. Для плана масштаба 1:1000 (в 1 см 10 м) отре-

зок d 2

= 700 + 60 + 6 = 766 м.

Поперечный масштаб (рис. 4.2) предназначен для более точных измерений по

плану. Его гравируют на металлических масштабных линейках. Для графического

построения поперечного масштаба на бумаге прочерчивают 11 параллельных пря-

мых отрезков через 2,5 или 3 мм. Перпендикулярно им прочерчивают отрезки АС,

Т

ВD, …, KL через равные промежутки а = СD выбранного основания масштаба. Ле-

Н

вые отрезки

СD и

АВ разделяют десятью метками через

0,1а долю Уоснования.

Метки В и Е соединяют наклонным прямым отрезком, параллельно ВЕ прочерчи-

вают остальные наклонные отрезки. В треугольнике ВЕD длина ЕD = 0,1а.

Гори-

зонтальные отрезки 0,01а; 0,02а;

… 0,09

а ;

0,10а, ограниченные его сторонами,

представляют сотые доли основания.

При основании а = 2 см (см. рис. 2.2.) для планаБмасштаба 1:2000 (в 1 см 20

и

м) находим цену основания ац = 40 м и отрезок s3 в делениях поперечного масшта-

р

ба s'3

= 2ац

+

4(0,1ац)

+ 3,5(0,01ац) = 2,435йац или

d3 =

= 2,435 · 40 = 97,4 м.

Точностью

Или же непосредственно по масштабу отсчитываем d3

= 80 + 16 + 1,4 = 97,4 м.

Точность масштаба. Понятие точности масштаба соответствует способно-

т

см различать невооруженным глазом на плане точ-

сти человека с расстояния

25–30

и

масштаба t называют горизонтальный от-

ку диаметром около

0,1

мм.

резок

з

соответствующий

отрезку длиной 0,1 мм = 0,0001 м на

d на местности,

о

плане масштаба

1 / М:

Например

t(м) = 0,0001 М.

(4.3)

,

точность

масштаба 1 : 500

(в 1 см

5 м)

будет равна

t = =

е

· 500 = 0,05 м.

0,0001

Р

а

		Н
Рис. 4.1.Линейный масштаб:	Б
а – с основанием а = 2 см; б – с основанием а = 1 см.

У

				з			Рис. 4.2. Поперечный масштаб
		По
						расстояний, измеренных по плану (карте). По ряду причин
	(				съемочных работ, составления планов, печатания копий топографи-
			грешности
		кого чертежа, деформаций бумажной основы) изображения объектов местности
		погрешности
	на карте или на рабочем плане находятся каждое не на своем месте, а со средним
чесотклонением от него (δху)п ≈ 0,2–0,4 мм (в отдельных случаях отклонения достига-
Р	ют 0,7–1			мм). Расстояние dп, измеряемое между такими точками по плану масштаба

1:М, получается со средней вероятной погрешностью δdп = (δху)√2 ≈ 0,4–0,6 мм. Средняя погрешность расстояния, измеренного по карте, оценивается по формуле