ЛЕКЦИЯ № 3

Понятие о государственной системе координат в проекции Гаусса-Крюгера. Ориентирование линий

3.1. Понятие о зональной системе плоских прямоугольных координат

Как отмечено в лекции № 2, плоские прямоугольные координаты существенно
упрощают
земной	величины
и геометрические	ТУк

Н

неизбежным искажениям их формы и размеров. Понятно, что величины искажений

напрямую зависят от размеров территорий, на которых выполнены измерения. Для

ограничения искажений до пренебрежимо малых величин прямоугольные коорди-

наты используют на территориях соответственно ограниченных размеров, а боль-

шие территории отображают на плоскости по частямБ– по зонам .

применением

Для территории бывшего СССР государственная зональная система прямо-

р

йконформной проекции Гаусса-

угольных координат была создана с

Крюгера.

Гауссом

Теория конформного изображения одной поверхности на другой (в частности –

т

эллипсоида на плоскости) и его использования в геодезических целях была разра-

ботана в

применение

. Немецкий геодезист Л. Крюгер в 1910-1912

1820 – 1830

г.г. Ф.

з

этой теории в практике расчета плоских прямоуголь-

г.г. опубликовал

конформных

ных координат в геодезии. Поэтому система координат, полученных на основе тео-

рии

преобразований Гаусса называют системой координат Гаусса −

п

Крюгера.

Эта система, принятая в России, странах СНГ и ряде других государст-

вах, отвечает следующим условиям:

Р

• изображение поверхности эллипсоида на плоскости является конформным

(условие конформности – на бесконечно малых площадках в проекции со-

е

храняется подобие фигур, равенство углов и расстояний по всем направле-

ниям);

• осевой меридиан и экватор в плоскости проекции изображаются прямыми линиями и пересекаются под прямым углом;

•масштаб изображения осевого меридиана на плоскости проекции постоянен и равен единице;

•начало координат в плоскости проекции совпадает с точкой пересечения

осевого меридиана и экватора, которые и принимаются соответственно как оси абсцисс и ординат.

Наглядность образования координатных зон в проекции Гаусса-Крюгера пояс-

няется рисунком 3.1. Представим себе эллиптический цилиндр, который касается

эллипсоида по меридиану, называемому осевым, и математическим путем спрое-

Т

цируем на его поверхность фрагмент эллипсоида, заключенный между граничными

Н

аУ). Разрезав

меридианами и, следовательно, вытянутый между полюсами (рис. 3.1,

цилиндр вдоль образующей и развернув его поверхность в плоскость, получим

изображение зоны (рис. 3.1, б), на котором осевой меридиан и экватор окажутся

взаимно перпендикулярными.

На основание такой

схемы проекцию Гаусса-

й

Крюгенра относят к классу поперечно-цилиндрических картографических проек-

ций.

и

Б

.

а

б

Проецирование6-градусныы зоны (рис. 3.2, а, б)

образованы

меридианами, про-

Рис. 3.1

поверхности планеты на касательный цилиндр (а), раз-

Современные

вертка которого дает проекции зон (б)

изападнойчастей зоны симметричны относительно осевого меридиана (см. рис.

ходящими междузполюсами земного эллипсоида. Зоны пронумерованы с 1-й по

е

сфероидическая

зона ма-

60-ю от Гринвичского меридиана на восток. Каждая

тематически проецируется

на

плоскость (рис. 3.2, б, в). Изображения восточной

3.2, г). В восточной части зоны ординаты положительны, в западной –

отрицатель-

ны. Плоские прямоугольные координаты х и у точек проекции вычисляются по

Ргеодезическим широте В и долготе L.

У

			зоны
			Рис. 3.2. Зональные плоские прямоугольные координаты:
		а	– 6- градусные зоны на референц-эллипсоиде; б – в проекции на плоскости; в – северная
		п
		часть	№з3; г – изображение 6-градусной зоны эллипсоида на плоскости; д –	геодезические
		координаты точки К и элементы ее прямоугольных координат в проекции Гаусса-Крюгера (1 –
	осевой
			меридиан (ось Х ) с долготой L0 = 15º; Мгр – граничный меридиан зоны; 2 – изображения
	Р	граничных меридианов зоны; 3 – изображения параллелей)
		На рис. 3.2, д показан участок северо-восточной части зоны № 3.		По рисунку

рассмотрим сущность искажений сфероидической поверхности при ее изображении на плоскости в данной проекции. Например, в проекции меридианы и параллели изображаются плоскими кривым, которые пересекаются под прямыми углами, при этом видно, что абсциссы точек параллели изменяются при удалении от осевого меридиана.

В примере рис. 3.2, д на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера точка К нахо-

дится на пересечении

изображений параллели широтой ВК и меридиана с долго-

той LК . Абсцисса и ординаты точки К вычисляются по ее геодезическим координа-

там ВК

и LК,

по формулам (3.1)

хк = хК ,О +

f1(В; L);

ук

=

уК ,О

+ f2(В; L)–,

(3.1)

где хК,О – абсцисса параллели в точке КО пересечения с осевым меридианом;

f1(В; L)– приращение абсциссы на кривизну изображения меридиана на его отрезке

l;

Т

f2(В; L) – линейная и нелинейная составляющие расчетной ординаты.

При проецировании элементов эллипсоида на плоскость проекции с учетомУус-

ловия конформности масштаб m изображения точек изменяется в зависимости от

Б

ординаты у, т.е их удалений от осевого меридиана, согласно формуле

y 2

y 4

Н

m =1+ δm ≈1+

+

+... .

(3.2)

получают поправку, величину

2

с необходимой

для практических нужд точ-

2R

24R

и

Таким образом, длины конечных отрезков при проецировании увеличиваются и

которой

о

ностью можно вычислить по следующей формуле:

δS

т

×

y 2

,

.

(3.3)

= S ×δ

m

≈ S

2

ПР

2R

где δSПР –

искажение

линии,

обусловленное проецированием эллипсоида на

плоскость;

S – ее длина на эллипсоиде; y – среднее удаление ее концов от осевого

о

меридиана; R – среднийдлиныпо линии радиус кривизны эллипсоида.

п

На среднейзшироте Беларуси (В

≈ 53º) ширина 6-градусной зоны равна │2у│≈

е

км.

Для оценочного расчета искажений примем R = 6371 км, тогда при у =

2×200

200 км максимальное значение масштаба

проекции

на краю

зоны

mу = 1 +

0,0004927 = 1 + 1/2030, а искажение

линии

на проекцию δs

= +S×0,0004927 =

+S×(1/2030).

Такие искажения не учитывают при составлении топографических

карт масштабов 1:10 000 и мельче, но при крупномасштабных съемках поправки

Рδd в длины линий величиной S(1/2000) необходимо учитывать.

Расчеты координат точек в проекции Гаусса-Крюгера для симметричной западной части зоны аналогичны, но здесь ординаты точек отрицательны. Для удобства практического применения зональных координат применяют только положитель-

ные преобразованные ординаты, для чего все значения у увеличивают на 500 км. Перед преобразованной ординатой указывают номер зоны. Например запись уЕ = 3 415 270 м означает, что точка Е расположена в 3-й зоне к западу от ее осевого

меридиана,	поскольку действительная зональная ордината (уЕ)д = 415 270 –
500 000 = –	84 730 м .

На краях 6-градусной зоны относительные искажения линий до 1/2000 могут

ют градусные координатные зоны рис а при необходимости уменьшитьУ

быть недопустимыми для точных геодезических работ. В таких случаях применя-

3- ( . 3.3), Т

рассматриваемые искажения до пренебрегаемо малых значений на малых территориях проекцию Гаусса-Крюгера используют с частным осевымНмеридианом, прохо-

дящим вблизи центра территории города или крупного предприятия, или же используют местную систему плоских прямоугольныхБкоординат без применения

картографической проекции (когда можно пренебречь кривизной Земли). й

Рис. 3.3. Координатные зоны в проекции Гаусса-Крюгера и долгота их осевых меридианов (фрагмент)

е
	Осевые меридианы 3-градусных зон совпадают с граничными и осевыми мери-
	дианами шестиградусных зон (см. рис. 3.3).
Р	пСчет зон ведется на восток от Гринвича; долготы осевых меридианов 6-градусной
	(L6) и 3-градусной (L3) зон вычисляются по их номерам (N6 или N3), по следующим
	формулам:
	L6 = 6° × N6 − 3°, L3 = 3° × N3.
	Координатные системы в каждой зоне устанавливаются одинаково.