СБОРНИК ЗАДАЧ

Ð è ñ . 2 . 4 1

E2 = E2e− j66,9 = 100e− j66,9 = (39,3 − j91,96)Â;

Z1 = R1 = 125 Îì;

Z2 = R2 + jXL = 30 + j40 = 50e j53,1 Îì;

Z3 = − jXC = − j62,5 Îì.

Расчет токов производим двумя методами: методом контурных токов и методом двух узлов.

При расчете методом контурных токов произвольно обозначаем на схеме положительные направления действительных токов ветвей I1,I 2,I 3 и расчетных, контурных токов JI è JII .

По второму закону Кирхгофа составляем систему из m – (n – 1) = = 2 уравнений, где m = 3 – число ветвей цепи; n = 2 – число узлов цепи:

E

= (Z

+ Z

) J

− Z

J

;

1

1

3

I

3

II

= −Z3

J

+ (Z2 + Z3) J

;

−E2

I

II

E

= (R − jX ) J

+ jX J

;

1

1

C

I

C

II

= jXC J

+ (R2 + jXL − jXC ) J

;

−E2

I

II

250 = (125 − j62,5) J

+ j62,5 J

;

I

II

+ j91,96

= j62,5 J

+ (30 + j40 − j62,5) J

.

−39,3

I

II

Решая полученную систему уравнений, например с помощью определителей, находим контурные токи:

100

J	I	= 1,6 + j0,693 = 1,742å j23,4	À;

JII = 0,214 − j0,107 = 0,239å− j26,5 À.

С учетом положительного направления действительных и контурных токов (рис. 2.41, а) имеем:

I	1	= J		I	; I	2	= − J		II	= −0,214 + j01,07 = 0,239å j153,5	À;

I 3 = JI − JII = 13,86 + j0,8 = 16,å j30 À.

Для расчета методом двух узлов определяем узловое напряжение:

bd =

Y

1

Е

1

+ Y

2

Е

2

=

250 0,008

+ 100å− j66,9

0,02å− j53,1

U

=

Y

1 +

Y

2 +

Y

3

0,008 + 0,012 − j0,016

+ j0,016

= 100

+ 100å− j120 = 100å− j60

Â,

ãäå Y

= 1

Z

= 1 R = 0,008 Ñì;

Y

= 1 Z

=

0,02e–j53,1° = (0,012 –

1

1

1

2

2

– j0,016) Ñì; Y

= 1 Z

= 1 (− jX

) = j

X = 0,016å j90 = j0,016 Ñì –

3

3

C

C

комплексные проводимости ветвей.

С учетом обозначенных на схеме (рис. 2.41, а) положительных направлений токов ветвей получаем:

E1 −

U

bd

− j60

I1

=

=

Y

1(E1 −

U

bd ) = (250 − 100å

) 0,008

=

Z1

= 16, + j0,693 = 17,42å j23,4 À;

I 2

=

E2 −

U

bd

=

Y

2(E2 −

U

bd ) = −0,214 + j01,07 = 0,239å j153,5 À;

Z2

I 3 =

U

bd

=

Y

3

U

bd = 16,å j30 = (13,86 + j0,8) À.

Z3

Определяем напряжения на пассивных элементах цепи:

U

= R I

= 200 + j86,6 = 217,8å j23,4

Â;

ab

1

1

U

cb

= Z2 I 2 = 1195,å j206,9 = (−9,56 − j71,) Â.

101

При построении топографической диаграммы потенциал одной из точек, например точки d, принимаем равным нулю. На диаграмме эту точку помещаем в начало координат (рис. 2.41, б). Для получения остальных точек откладываем от точки d векторы напряжений на элементах цепи. В этой же системе координат строим комплексы токов ветвей.

Составляем уравнение баланса активных и реактивных мощностей:

ΣE I = ΣRI 2 + ΣjXLI 2 – ΣjXC I 2;

+ E

= R I 2

+ R I 2

+ jX

I 2

− jX I 2

E

1

I

1

2

I

2

L

;

1 1

2 2

2

C 3

250(16, − j0,693) + 100å− j66,9

0,239å− j153,5 =

= 125 17,422 + 30 0,2392 + j40 0,2392 − j62,5 16,2;

(400 − j173,2) + (−17 + j16,7) = 380 + 17, + j2,3 − j160;

383 − j156,5 ≈ 3817, − j157,7.

Отрицательное значение активной мощности второго источника (PE2 = −17 Вт) свидетельствует о том, что он работает в режиме приемника энергии.

Задача 2.42. Для схемы, приведенной на рис. 2.42, составить в общем виде системы уравнений с целью определения токов ветвей методами: 1) непосредственного применения законов Кирхгофа; 2) контурных токов.

Ð å ø å í è å . 1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа. Произвольно обозначаем на схеме положительные направления действительных токов ветвей I1 , I 2 , I 3 , I 4 è I5 .

Ð è ñ . 2 . 4 2

102

Составляем по первому закону Кирхгофа n − 1 = 2 уравнений, а по второму закону Кирхгофа – m − (n − 1) = 3 уравнений, где n = 3 – число узлов цепи, m = 5 – число ветвей цепи:

I1 + I 2 = I 3 + I5;
		+ I 4 = I1;
I	3
		= (R1 + jXL1)I1 + (− jXC3)I 3	;
E1
	= ( jXL5 − jXC5)I5 + R4 I 4 − (− jXC3)I 3;
0
			− jXC5)I5.
−E2 = − (R2 − jXC2)I 2 − ( jXL5

2. Метод контурных токов. Произвольно обозначаем на схеме положительные направления контурных токов JI , JII è JIII . Обходя элементарные контуры цепи, составляем m − (n − 1) = 3 уравнений по второму закону Кирхгофа для контурных токов:

E

= (R + jX

− jX

) J

− (− jX

) J

;

1

1

L1

C3

I

C3

II

= (R4 − jXC

3 + jXL5 − jXC5) J

− (− jXC3) J

− ( jXL5

− jXC5) J

;

0

II

I

III

+ jXL5) J

− ( jXL5 − jXC5) J

−E2 = (R2 − jXC2 − jXC5

.

III

II

Действительный ток каждой ветви равен алгебраической сумме контурных токов, проходящих по данной ветви:

I1 = JI; I 2 = − JIII; I 3 = JI − JII; I 4 = JII; I5 = JII − JIII.

Задача 2.43. В цепи, изображенной на рис. 2.43, измерены напряжение, ток и активная мощность. Частота переменного тока f = 50 Гц . Показания приборов: при согласном включении катушек (рис. 2.43, а) U1 = 220 Â , I1 = 1 À , P1 = 80 Вт ; при встречном включении катушек (рис. 2.43, б) U2 = 220 Â, I2 = 2 À , P2 = 320 Вт . Определить взаимную индуктивность M катушек.

Ð è ñ . 2 . 4 3

103

Р е ш е н и е . Полное сопротивление цепи при согласном и встречном включении катушек равно соответственно:

Zñîãë = (R1 + R2)2 + Xñîãë2 = U1I1 = 2201 = 220 Îì;

Zâñòð = (R1 + R2)2 + Xâñòð2 = U2I2 = 2202 = 110 Îì,

ãäå R1 + R2 = P1I12 = P2I22 = 80 Ом – сумма активных сопротив-

лений катушек; Xñîãë = ω(L1 + L2 + 2M), Xâñòð = ω(L1 + L2 − 2M) – эквивалентные индуктивные сопротивления цепи соответственно

при согласном и встречном включениях катушек.

Очевидно, что Xñîãë − Xâñòð =

4ωM , откуда

X

ñîãë

– X

âñòð

Z2

– (R

+ R )2 –

Z

2

– (R

+ R )2

M =

=

ñîãë

1

2

âñòð

1

2

=

4ω

4 2πf

= 103

ìÃí.

Задача 2.44. Две магнитосвязанные катушки включены параллельно (рис. 2.44, а); U = 36 Â , ωL1 = 20 Îì , ωL2 = 30 Îì , ωM = = 15 Îì, R1 = 30 Îì , R2 = 10 Ом . Одноименные зажимы катушек указаны точками. Определить токи ветвей. Построить векторную диаграмму.

Р е ш е н и е . Произвольно указав на схеме положительные направления токов, составим уравнения по законам Кирхгофа:

Ð è ñ . 2 . 4 4

104

I = I1 + I 2;
				+ jωL1)I1	− jωM I 2;
	U		= (R1
				+ jωL2)I 2	− jωM I1.
	U		= (R2

Введем обозначения: Z1 = R1 + jωL1 , Z2 = R2 + jωL2 , Z M = jωM . Решив систему уравнений, получим:

I =

Z1 + Z2 + 2Z M

U = 2,93å− j30,4 À

(U = U = 36 Â);

Z1Z2 − Z2M

+ Z M

=

Z2

= 15,å

− j16,4

I1

U

À;

Z1Z2 − Z2M

=

Z1

+ Z M

U = 15,2å

− j44,4

I 2

À.

Z1Z2 − Z2M

Векторная диаграмма (рис. 2.44, б) построена на основании системы уравнений (1).

Задача 2.45. На рис. 2.45 приведена схема воздушного (без стального сердечника) трансформатора с нагрузкой Zí = (100 – j30) Ом. Остальные параметры цепи:

R1 = 10 Îì , ωL1 = 50 Îì ,
R2 = 20 Îì , ωL2 = 60 Îì ,
ωM = 30 Ом . Напряжение
источника U1 = 220 Â . Îïðå-
делить показания амперме-
тра и вольтметра.
Р е ш е н и е . Произволь-
но обозначив на схеме по-	Ð è ñ . 2 . 4 5
ложительные направления

токов, составим уравнения по второму закону Кирхгофа для первичной и вторичной цепей трансформатора:

U1 = (R1 + jωL1)I1 − jωM I 2;

0 = (R2 + jωL2)I 2 + Zí I 2 − jωM I1.

220 = (10 + j50)I1 − j30I 2;

0 = (20 + j60)I 2 + (100 − j30)I 2 − j30I1.

105

Решив систему уравнений, получим:
		I1 = (145, − j4,05) = 4,3å− j70,7	À;
		I 2 = (10,7 + j01,) = 10,7å j5,4	À.
Напряжение на нагрузке
	U	2 = Zí I 2 = (110 − j221,) = 112å− j11,5		Â.

Показания приборов численно равны модулям соответствующих комплексов:

I =	14,52 + 4,052 = 4,3 À; U	2	= 1102	+ 221,2	= 112 Â.
1

Контрольные задачи

Задача 2.46. Электрическое напряжение изменяется по синусоидальному закону с амплитудой Um = 100 В и частотой f = 50 Гц . Через какой минимальный промежуток времени от на- чала периода мгновенное значение напряжения с нулевой начальной фазой будет численно равно среднему (за полупериод) значе- нию синусоидального напряжения?

Задача 2.47. К источнику напряжением		314t −	π	Â
	u = 100sin
			6

подключен конденсатор, емкость которого C = 63,6 мкФ . Написать уравнение мгновенного тока конденсатора. Построить векторную диаграмму, а также диаграммы изменения тока и напряжения во времени.

Задача 2.48. К источнику напряжением u = 141sin314t  ïîä-

ключена катушка, индуктивность которой L = 19,1 мГн , а активное сопротивление R = 8 Ом . Написать уравнение мгновенного тока катушки индуктивности. Построить векторную диаграмму.

Задача 2.49. Произведены измерения тока и напряжения катушки индуктивности сначала в цепи постоянного тока, а затем в цепи синусоидального тока промышленной частоты. При постоянном токе приборы показали U1 = 12 Â è I1 = 1 А , при переменном токе – U2 = 40 Â è I2 = 2 А . Определить параметры последовательной схемы замещения катушки индуктивности. Построить векторную диаграмму и треугольник мощностей.

106

Задача 2.50. Коэффициент мощности катушки индуктивности cosϕ = 0,5 . Чему окажется равен коэффициент мощности катушки, если частота тока увеличится вдвое?

Задача 2.51. Катушка индуктивности подключена к источнику синусоидального напряжения U = 100 В. Ток в катушке I = 10 А. При увеличении частоты напряжения вдвое ток в цепи уменьшается до 6,93 А. Определить активное сопротивление катушки индуктивности.

Задача 2.52. К источнику синусоидального напряженияU = 100 Â
подключены последовательно две катушки, активные и индуктив-
ные сопротивления которых соответственно равны: R1 = 5 Îì ,
R2 = 3 Îì , X1 = 2 Îì , X2 = 4 Ом . Определить	ток, активную,
реактивную и полную мощности цепи. Построить	векторную диа-

грамму тока и напряжений.

Задача 2.53. К сети переменного тока напряжением U = 220 В подключены последовательно два конденсатора, емкости которых C1 = 1 ìêÔ è C2 = 4 мкФ . Частота напряжения сети f = 50 Гц . Определить ток цепи и напряжение на каждом из конденсаторов.

Задача 2.54. Катушка, индуктивность которой L = 0,1 Гн и активное сопротивление R = 3,45 Ом , соединена последовательно с конденсатором, емкость которого C = 125 мкФ . Написать уравнение мгновенного напряжения источника, если в цепи проходит ток i = 10sin314t А. Построить векторную диаграмму тока и напряжений.

Задача 2.55. Коэффициент мощности приемника, состоящего из последовательно соединенных реостата и конденсатора, cosϕ = 0,6. Чему будет равен коэффициент мощности приемника, если частоту приложенного к приемнику напряжения увеличить вдвое?

Задача 2.56. Нагревательный элемент мощностью 40 Вт, рас- считанный на номинальное напряжение 127 В, необходимо питать от сети промышленной частоты напряжением 220 В. Конденсатор какой емкости необходимо включить последовательно с элементом, чтобы напряжение на нем равнялось номинальному?

Задача 2.57. Последовательно соединенные индуктивная катушка с активным сопротивлением R = 8 Ом и конденсатор подключены к генератору синусоидального напряжения. При напряжении генератора U = 10 В и частоте f = 100 Ãö òîê â öåïè I = 1 А. При увеличении частоты вдвое и неизменном напряжении значение тока осталось прежним. Определить индуктивность катушки и емкость конденсатора.

Задача 2.58. Â öåïè (ðèñ. 2.46) U = 15 Â, XL = 10 Îì, XC = 5 Ом. Определить показание вольтметра. Рассчитать реактивную мощность цепи.

107

Ð è ñ . 2 . 4 7

Ð è ñ . 2 . 4 6

Задача 2.59. Â öåïè (ðèñ. 2.47)

U = 200

 , XC = 120 Îì ,

R = 160 Ом . Определить показания ваттметра

при подключении

негенераторного зажима обмотки напряжения к точкам a è b. Собственное потребление мощности ваттметром не учитывать.

Задача 2.60. К источнику переменного тока напряжением 173 В подключены индуктивная катушка и реостат, соединенные последовательно. Напряжение на каждом из элементов 100 В, ток в цепи 10 А. Определить активное и индуктивное сопротивления катушки. Построить векторную диаграмму.

Задача 2.61. В сеть переменного тока промышленной частоты включили последовательно соединенные катушку индуктивности и конденсатор емкостью 10 мкФ. В контуре возник резонанс напряжений, причем напряжение на конденсаторе оказалось равным 318 В. Напряжение сети 220 В. Определить активную мощность, потребляемую из сети. Построить векторную диаграмму.

Задача 2.62. Конденсатор (C = 10 мкФ) и катушка индуктивности (L = 0,5 Гн) соединены последовательно. При какой частоте в цепи наступит резонанс? Какой должна быть емкость конденсатора, чтобы при той же индуктивности резонанс возник при частоте f = 50 Ãö ?

Задача 2.63. Â öåïè (ðèñ. 2.48) I = 10 À , R1 = 12 Îì , XL1 = 10 Îì , XC = 20 Îì , XL2 = 22 Îì , R2 = 4 Ом . Определить напряжение источника питания. Построить векторную диаграмму и треугольник мощностей.

Ð è ñ . 2 . 4 8

Ð è ñ . 2 . 4 9

108

Задача 2.64. Â öåïè (ðèñ. 2.49) U = 220 Â , XL = 20 Îì , R = 12 Îì , XC = 4 Ом . Определить ток цепи. Построить топографическую диаграмму и треугольник мощностей.

Задача 2.65. Однофазный двигатель переменного тока, потребляющий мощность P = 2 кВт при cosϕ = 0,8 , соединен с сетью линией электропередачи (Rë = 1 Îì, Xë = 1 Ом). Чему равно напряжение в начале линии, если напряжение на зажимах двигателя равно 220 В?

Задача 2.66. Напряжение на зажимах генератора и нагрузки, соединенных ЛЭП переменного тока, равны U1 = U2 = 10 кВ. Активное и индуктивное сопротивления ЛЭП Rë = 8 Îì, Xë = 6 Ом. Ток в линии I = 200 А. Определить характер и коэффициент мощности нагрузки. Построить векторную диаграмму.

Задача 2.67. Измерения в начале и конце ЛЭП дали следующие

результаты:	U1 = 236 ê ,	I1 = 10 À , P1 = 1860 Âò ; U2 = 220  ,
I2 = 10 À ,	P2 = 1760 Âò (ϕ > 0). Определить комплексное сопро-
тивление ЛЭП. Построить векторную диаграмму.

Задача 2.68. В цепи (рис. 2.50) приборы показали: U = 100 B, I = 5 A, P = 300 Вт. Определить комплексные сопротивления и мощности цепи для следующих случаев: а) ϕ > 0 ; б) ϕ < 0 .

Ð è ñ . 2 . 5 0

Ð è ñ . 2 . 5 1

Ð è ñ . 2 . 5 2

Задача 2.69. Â öåïè (ðèñ. 2.51) E = 220 Â, R = 1,1 Îì, XL = 4 Ом. При каком комплексном сопротивлении нагрузки активная мощность, выделяемая в ней, будет максимальной? Рассчитать эту мощность.

Задача 2.70. Â öåïè (ðèñ. 2.52) XC = 12 Ом. При каких сопротивлениях реостата сдвиг фаз между напряжениями U1 è U2 будет равен: 0°; 45°; 60°?

Задача2.71.Вцепи(рис.2.53) u = 141sin314t Â; R = XC = 100 Ом. Определить показание амперметра и записать уравнение мгновенного тока в неразветвленной части цепи.

Задача 2.72. Â öåïè (ðèñ. 2.54) U = 220 Â , XL = 100 Îì , XC = 200 Ом . Определить действующий ток в неразветвленной

109