СБОРНИК ЗАДАЧ

При замене катушки реостатом полное сопротивление цепи должно остаться прежним, т.е. равным 1,5 Ом, значит, сопротивление реостата Rð = 1,5 – 0,625 = 0,875 Ом. Ток и напряжение в этом режиме совпадают по фазе, векторная диаграмма изображена на рис. 2.11, в.

Коэффициент полезного действия цепи определяется отношением мощности дуги Pä к мощности Pèñò , потребляемой от источ- ника. В случае с катушкой индуктивности

	P				R I 2
η =	ä		=		ä		≈ 0,69;
					+ R )I 2
	Pèñò			(R
				ê	ä
с реостатом				R I 2
η =				ä		= 0,42.
		(R		+ R )I 2
ð					ä

Коэффициент мощности цепи с катушкой индуктивности

cosϕ = (Rê + Rä )Z = 0,91,5 = 0,6;

с реостатом

cosϕ = (Rð + Rä )Z = 1.

Таким образом, индуктивный регулирующий элемент более экономичен, хотя cosϕ при этом ниже.

Задача 2.13. В цепи (рис. 2.12) показания приборов при частоте f = 50 Гц следующие: U = 220 Â, I = 5 À, Р = 600 Вт. Как изменятся показания амперметра и ваттметра при U = 220 В и частоте f = 200 Ãö?

Р е ш е н и е . Определяем полное Z, активное R и индуктивное XL ñî-

противления при частоте f = 50 Ãö:

		Z = U I = 220 5 = 44 Îì;
		R = P I 2 = 600 25 = 24 Îì;
		XL = 2πfL = Z2 − R2 = 37 Îì.
	Ð è ñ . 2 . 1 2	С ростом частоты индуктивное
		сопротивление увеличивается:

60

XL′ = 2πf ′L = XL	f ′	= 37	200	= 148 Îì.
	f
		50

Полное сопротивление при частоте 200 Гц

Z′ = R2 + (X′ )2	=	242 + 1482 = 150 Îì.
L
Коэффициент мощности
cosϕ′ =	R	=	24	= 016,.
	Z′
		150

Показания амперметра и ваттметра при f ′ = 200 Гц следующие:

I′ =	U	=	220	= 147, À;
	Z′
		150

P′ = UI′cosϕ′ = 220 1,47 0,16 = 51,7 Âò

èëè

P′ = R(I′)2 = 24 (1,47)2 = 51,7 Âò.

Задача 2.14. Ê öåïè (ðèñ. 2.13, а) приложено синусоидальное напряжение u = 311sinωt В. Активное сопротивление и индуктивность имеют следующие значения: R = 100 Îì, L = 156 мГн. Определить показания амперметров и построить векторную диаграмму. Записать выражения для мгновенных значений токов.

Р е ш е н и е . Индуктивное сопротивление

XL = ωL = 314 156 10−3 = 49 Îì.

Действующее значение напряжения

Ð è ñ . 2 . 1 3

61

U = Um 2 = 220 B.

Определяем действующие значения токов в параллельных ветвях (показания амперметров А1 и А2):

I =	U	= 2,2 A; I	2	=	U	= 4,5 A.
1	R				XL

Òîê I в неразветвленной части цепи равен векторной сумме найденных токов. Для определения его воспользуемся векторной диаграммой.

При построении векторной диаграммы (рис. 2.13, б) в качестве исходного вектора удобно взять вектор напряжения, общего для параллельных ветвей. Ток I1 совпадает по фазе с напряжением, I2 отстает от напряжения на 90°. Общий ток

I = I12 + I22 = 5 À.

Угол сдвига фаз

ϕ = arctg I2 = 64°.

I1

Запишем уравнения мгновенных значений токов:

i1 = 2,2 2sin314t À; i2 = 4,5 2sin(314t − 90°) À;

i = 5 2sin(314t − 64°) À.

Задача 2.15. Определить показания амперметров в цепи (рис. 2.14, а), построить векторную диаграмму токов и напряжения, записать выражения для мгновенных значений токов, если u = 179sin314t Â, R = 50 Îì, С = 77,5 ìêÔ.

Р е ш е н и е . Емкостное сопротивление конденсатора

X =	1	=	106	= 41Îì.
C	ωC		314 77,5

Определяем действующие значения токов параллельных ветвей (показания амперметров А1 и А2):

I =

U

=

Um

=

179

= 2,54 À; I

2

=

U

=

Um

= 3,1 À.

1

R 2R 2 50

XC

2 XC

62

Ð è ñ . 2 . 1 4

Òîê I в неразветвленной части цепи равен векторной сумме токов I1 è I2. Векторная диаграмма приведена на рис. 2.14, б. Построения выполнены по аналогии с диаграммой к задаче 2.14.

Находим:

I = I12 + I22 = 4 À.

Угол сдвига фаз напряжения и тока

ϕ = arctg I2 = 50°40′.

I1

Записываем уравнения для мгновенных значений токов:

i1 = 2,54 2sin314t À;

i2 = 31, 2sin(314t + 90°) À;

i = 4 2sin(314t + 50°40′) À.

Задача 2.16. Определить токи I, I1 , I2, I3 , I4 â öåïè (ðèñ. 2.15, а), åñëè R = XL = XC = 10 Îì, U = 100 В. Чему равны активная, ре-

активная и полная мощности цепи?

Р е ш е н и е . Параллельные ветви цепи находятся под одинаковым напряжением U, и токи в ветвях равны соответственно:

			I	1	=	U	= 10 À;
						R
I2	=	U	= 10 À; I3					=	U	= 10 À.
		XL							XC

63

Ð è ñ . 2 . 1 5

Воспользуемся векторной диаграммой, приведенной на рис. 2.15, б, для нахождения токов I è I4. Òîê I4 , равный векторной сумме токов I2 è I3, равен нулю, поскольку токи I2 è I3 противоположны по фазе и компенсируют друг друга. В цепи имеет место резонанс токов. Ток I в неразветвленной части цепи, равный векторной сумме токов I1 è I4, равен току I1, ò.å. I = 10 À.

Активная мощность цепи

P = UIcosϕ = RI12 = 1000 Вт. Реактивная мощность

Q = UIsinϕ = XLI22 − XC I32 = 0.

Полная мощность

S = UI = P2 + Q2 = 1000Â À, cosϕ = PS = 1.

Задача 2.17. Â öåïè (ðèñ. 2.16, а)

i1 = 2sin(ωt + 20°) À; i2 = 3sin(ωt − 40°) À.

Записать уравнение мгновенного значения тока i. Определить показание амперметра.

Ð è ñ . 2 . 1 6

64

Р е ш е н и е . Согласно первому закону Кирхгофа общий ток i, равный сумме двух синусоидальных токов i1 è i2, также изменяется по синусоидальному закону:

i = i1 + i2 = I1msin(ωt + ψ1) + I2msin(ωt + ψ2) = Imsin(ωt + ψ),

ãäå I1m = 2 À , I2m = 3 А – амплитудные значения токов; ψ1 = 20° è ψ2 = – 40° – начальные фазы токов.

Амплитуду Im и начальную фазу ψ общего тока находим с помощью векторной диаграммы амплитудных значений токов (рис. 2.16, б). На ней вектор I m получен геометрическим сложением (по правилу параллелограмма) векторов I1m è I 2m .

Используя проекции векторов токов на координатные оси, можно записать:

Im = (I1mcosψ1 + I2mcosψ2 )2 + (I1msinψ1 + I2msinψ2 )2 = 4,36 À.

Начальная фаза общего тока

ψ = arctg I1msinψ1 + I2msinψ2 = arctg(−0,298) = −16,6 . I1mcosψ1 + I2mcosψ2

Таким образом, уравнение мгновенного значения общего тока имеет вид

i = 4,36sin(ωt − 16,6°) À.

Задача 2.18. Коэффициент мощности нагрузки, состоящей из по-

следовательно соединенных реостата и конденсатора, cosϕ1						= 0,866.
Каков будет коэффициент мощности нагрузки, содержащей те же
реостат и конденсатор в параллельном соединении?
Р е ш е н и е . Последовательная
и параллельная схемы и соответ-
ствующие им треугольники со-
противлений		è	проводимостей
приведены на рис. 2.17.
Из треугольников находим:
	ctgϕ1 = R X;
tgϕ = b = 1 X = R = ctgϕ ;
2	g	1 R	X	1
cosϕ1 = 0,866;			ϕ1 = 30°;		Ð è ñ . 2 . 1 7

65

ctgϕ1 = 3 = tgϕ2;

ϕ2 = 60°; cosϕ2 = 0,5.

Задачу можно решить другим способом. Из треугольников сопротивлений и проводимостей следует:

cosϕ1 =

R

=

R

;

Z

R2 + X2

cosϕ2 =

g

=

g

=

1 R

=

X

=

R tgϕ1

=

y

g2 + b2

R2 + X2

R2 + X2

1 R2 + 1 X2

= cosϕ1tgϕ1 = cosϕ1 sinϕ1 = sin ϕ1 = sin30° = 0,5; cosϕ1

cosϕ2 = 0,5; ϕ2 = 60°.

Задача 2.19. Â öåïè (ðèñ. 2.18, а) R1 = 3 Îì, R2 = 4 Îì, XL = 8 Îì, XС = 3 Ом. Определить параметры последовательной и параллельной схем замещения цепи.

Р е ш е н и е . Для получения параметров эквивалентной промежуточной схемы (рис. 2.18, б) рассчитываем активные и реактивные проводимости каждой ветви:

g

=

R1

=

R1

=

6

= 0,06 Ñì;

Z2

R2

+

X2

1

62 + 82

1

1

L

g

2

=

R2

=

R2

= 0,16

Ñì;

Z2

R2

+ X2

2

2

C

b

=

XL

=

XL

= 0,08 Ñì; b

=

XC

=

XC

= 0,12 Ñì.

R2

+ X2

Z2

R2

+ X2

L

Z2

C

1

1

L

2

2

C

Ð è ñ . 2 . 1 8

66

Суммируя активные проводимости и вычитая реактивные (вследствие их разного характера), определяем параметры эквивалентной параллельной схемы замещения цепи (рис.2.18, в)

gý = g1 + g2 = 0,22 Ñì; bý = bL − bC = −0,04 Ñì (åìê.).

Используя формулы обратного перехода от проводимостей к сопротивлениям, вычисляем параметры последовательной схемы замещения (рис. 2.18, г):

R =

gý

=

gý

= 4,4Îì;

y2

g2

+ b2

ý

ý

ý

ý

X

ý

=

bý

=

bý

= −0,8 Îì (åìê.).

y2

g2

+ b2

ý

ý

ý

Аналогичные результаты можно получить и при использовании

комплексного метода. Активное и реактивное сопротивления последовательной схемы замещения цепи равны соответственно вещественной и мнимой частям входного комплексного сопротивления цепи:

Z

ý

= R + jX

ý

=

Z1Z2

= (R1 + jXL )(R2 − jXC )

= (6 + j8)(4 − j3) =

ý

Z1 + Z2

R1 + jXL + R2 − jXC

6 + j8 + 4 − j3

=

48 + j14

=

(48 + j14)(10 − j5)

=

550 − j100

= (4,4 − j0,8)Îì;

(10 + j5)(10 − j5)

10 + j5

125

Rý = 4,4Îì; Xý = −0,8Îì.

Активная и реактивная проводимости параллельной схемы замещения равны соответственно вещественной и мнимой частям входной комплексной проводимости цепи:

Y			= g		− jb	=	1	=	1	= (0,22 + j0,04)Ñì;
		ý		ý	ý		Zý		4,4 − j0,8

gý = 0,22Ñì; bý = −0,04Ñì.

Задача 2.20. Â öåïè (ðèñ. 2.19, а) U = 220 Â, R1 = 6 Îì, XL = 8 Îì, R2 = 10 Îì, XС = 12 Ом. Определить токи на участках цепи и построить векторную диаграмму. Вычислить активные, реактивные и полные мощности каждой ветви и всей цепи. Записать уравнения баланса мощностей.

67

Ðè ñ . 2 . 1 9

Ðе ш е н и е . Определяем токи в параллельных ветвях:

I =	U	=	U	= 22À; I	2	=	U	=	U	= 14,1À.
1	Z1		R12 + XL2				Z2		R22 + XС2

Ток первой ветви отстает по фазе от напряжения на угол ϕ1 : sinϕ1 = XLZ1 = 0,8; ϕ1 = 53°.

Òîê I2 опережает напряжение на угол ϕ2: sinϕ2 = −XC Z2 = −0,77; ϕ2 = −50°.

Для определения общего тока I предварительно находим активные и реактивные составляющие токов (рис. 2.19, б):

I1à = I1cosϕ1 = 13,2À; I1ð = IL = I1sinϕ1 = 17,6À;

I2à = I2cosϕ2 = 9À; I2ð = IС = I2sinϕ2 = 10,85À.

Тогда

I = (I1à + I2à )2 + (IL − IC )2 = 23,2À.

Общий ток можно определить также с помощью проводимостей цепи. Рассчитываем активные и реактивные проводимости каждой ветви:

g1 =		R1	= 0,06 Ñì;	bL =		XL	= 0,08 Ñì;
	R2	+ X2			R2	+ X2
1		L		1		L

68

R2

XC

g2 =

≈ 0,041 Ñì;

bC =

= 0,049 Ñì.

R2 + X

2

R2

+ X2

2

C

2

C

Полная проводимость цепи

y =

(g + g

2

)2 + (b

− b )2 = 0,106 Ñì.

1

L

C

Ток в неразветвленной части цепи

I = yU = 23,2 À.

Векторная диаграмма приведена на рис. 2.19, б.

Активные мощности ветвей:

P = R I 2 = 2,9

êÂò;

P

= R I 2 = 2 êÂò.

1

1 1

2

2

2

Реактивные мощности ветвей:

Q

L

= X

I

2 ≈ 3,87 êâàð; Q

= X I 2 ≈ 2,4 êâàð.

L 1

С

С 2

Полные мощности ветвей:

S

= UI

=

P2 + Q2 = 4,84 ê À;

1

1

1

L

S

2

= UI

2

=

P2 + Q2

= 3,1 ê À.

2

С

Активная и реактивная мощности, потребляемые из сети:

P = UIcosϕ = 4,9 êÂò, Q = UIsinϕ = 1,47 êâàð,

ãäå ñosϕ = g y = Ià	I = 0,955;	sinϕ = b y = Ið I = 0,29.
Полная мощность цепи
S = UI =	P2 + Q2	= 5,1 ê À (S ≠ S	+ S	2	).
		1

Выполняется баланс для активных и реактивных мощностей:

P = P1 + P2; Q = QL − QC .

Задача 2.21. Â öåïè (ðèñ. 2.20, а) U = 220 Â, f = 50 Ãö, R = = 60 Îì, XL = 80 Ом. Определить токи цепи и емкость конденсатора, если в цепи имеет место резонанс токов.

Р е ш е н и е . Условием резонанса токов является равенство индуктивной и емкостной проводимостей ветвей (bL = bC ).

69