СБОРНИК ЗАДАЧ

Построение векторной диаграммы начинаем с вектора Ôm, затем откладываем вектор U′ = –E, опережающий Ôm на 90°. Вектор тока I опережает вектор потока Ôm на угол потерь

	Pc		100
δ = arcsin		= arcsin		= 5,7 .
	E I		200 5

Вектор U определяем согласно уравнению U = –E + RI + jXI, для чего с конца вектора U′ параллельно I проводим вектор падения напряжения RI на активном сопротивлении обмотки, далее под углом 90° к току I проводим вектор падения напряжения на индуктивном сопротивлении рассеяния jXI (ðèñ. 7.8, б).

Задача 7.11. Катушка с ферромагнитным сердечником и конденсатор емкостью С = 28,5 мкФ соединены последовательно и питаются синусоидальным напряжением частотой f = 50 Гц (рис. 7.9). Число витков катушки w = 300, площадь поперечного сечения сердечника S = 20 ñì2, длина магнитной линии l = 0,5 м. Кривая намагничивания материала сердечника задана табл. 7.4 (для H приведены действующие значения).

Ò à á ë è ö à 7 . 4

Bm, Òë	0,3	0,6	0,9	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8
Н, À/ì	20	55	135	280	350	430	600	795	1320	2400

Определить ток при феррорезонансе и ток, соответствующий скачкообразному изменению его фазы на 180° при повышении напряжения. Активным сопротивлением элементов цепи пренебречь.

Р е ш е н и е . По заданной кривой намагничивания сердечника Bm(H) строим ВАХ UL(I): масштаб по оси абсцисс пересчитываем на масштаб тока по формуле I = lHw , по оси ординат – на масштаб напряжения по формуле UL = 4,44 fwSBm (ðèñ. 7.9).

Для построения ВАХ конденсатора UC (I) рассчитываем емкостное сопротивление:

X =	1	=	106	= 112 Îì.
C	ωC 314 28,5

Выбираем произвольную точку диаграммы UC(I), например XC = UC I = 2242 , и проводим прямую через две точки с координатами 0; 0 и 2 А; 224 В.

210

Ð è ñ .

7 . 9

Результирующую ВАХ цепи U(I) строим следующим образом: произвольно задаемся током I и находим соответствующее ему напряжение: U = U L + UC èëè U = UL − UC (напряжения на индуктивности UL и на емкости UC находятся в противофазе).

Из диаграммы U(I) (рис. 7.9) находим ток при феррорезонансе напряжений (точка d): Ið = 2 A, а ток, соответствующий скачкообразному изменению его фазы на 180î при повышении напряжения (точка а), Iñê = 0,5 A.

Задача 7.12. Катушка со стальным сердечником и конденсатор подключены параллельно к сети напряжением u = Umsin314t В (рис. 7.10). Кривая намагничивания сердечника, параметры катушки и конденсатора приведены в задаче 7.11. Пренебрегая высшими гармониками и потерями, построить вольт-амперную характеристику U(I), найти действующее значение напряжения, при котором наступит феррорезонанс токов. Определить область значений емкости С, при которых феррорезонанс невозможен.

211

Ðè ñ . 7 . 1 0

Ðе ш е н и е . Воспользуемся ВАХ катушки U(IL) и конденсатора U(IС), построение которых выполнено в задаче 7.11 (рис. 7.10).

Для построения результирующей ВАХ цепи U(I) произвольно задаемся значениями U, находим соответствующие им токи IL, IC и по первому закону Кирхгофа определяем ток цепи

I = I L + IC èëè I = IL − IC .

Феррорезонанс токов имеет место при равенстве токов IL è IC, òîê öåïè I = 0 (точка d). Напряжение, при котором возникает феррорезонанс токов, Uð = 224 Â.

Векторная диаграмма дана на рис. 7.10, а.

До точки феррорезонанса преобладает емкостной ток, и ток цепи I опережает по фазе напряжение U на 90°, векторная диаграмма приведена на рис. 7.10, б.

После феррорезонанса IL > IC, òîê I отстает по фазе от напряжения U íà 90°.

С увеличением сопротивления конденсатора XC ÂÀÕ U (IC′ ) располагается более круто и при некоторых значении XC′ не пересекает ВАХ катушки (рис. 7.10):

212

X′	=	280	= 560 Îì; C′ =	1			=	106	= 5,7ìêÔ.
				X′	ω			314 560
C	0,5
				C

Таким образом, феррорезонанс невозможен при С ≤ 5,7 ìêÔ. Задача 7.13. Для стабилиза-

ции напряжения промышлен-
ной частоты используется ста-
билизатор,	выполненный	ïî
схеме, приведенной на рис. 7.11.
Он содержит линейный дроссель
индуктивностью L = 0,127 Ãí,
конденсатор	емкостью С	=	Ð è ñ . 7 . 1 1

= 28,5 мкФ и нелинейный дроссель, параметры которого и кривая намагничивания стали сердеч-

ника даны в задаче 7.11. Определить коэффициент стабилизации выходного напряжения U2 при изменении напряжения U от 240 до 320 В. Потерями в элементах цепи пренебречь.

Р е ш е н и е . Воспользуемся ВАХ нелинейного дросселя U2(IL) и конденсатора U2(IC) (ðèñ. 7.12, а), построение которых выполнено в задачах 7.11 и 7.12.

Ð è ñ .	7 . 1 2
	213

Построим ВАХ U1(I) линейного дросселя, индуктивное сопро-

тивление которого XL = ωL = 314 0,127 = 40 Ом. Для этого произвольно задаемся точкой характеристики, например XL = U1 / I = = 160 / 4 Ом, и через две точки с координатами 0; 0 и 4 А; 160 В проводим прямую U1(I) (ðèñ. 7.12, б).

Вольт-амперная характеристика параллельного участка цепи U2(I), построение которой описано в задаче 7.12, также приведена на рис. 7.12, б.

При построении результирующей характеристики цепи U(I) для ряда значений тока I графически складываем напряжения U1 è U2.

Диапазон изменения выходного напряжения U2 при изменении входного напряжения от 240 до 320 В определяем графически: откладываем значения напряжения U = 240; 320 В и с помощью ВАХ U(I) находим соответствующие токи цепи I (точки a, b), затем по характеристике U2(I) – значения выходного напряжения U2 = 225; 241 В (точки с è d).

Коэффициент стабилизации определяем как отношение относительного приращения напряжения на входе стабилизатора (∆U/U) к относительному приращению напряжения на выходе стабилизатора (∆U2/U2):

Kcò = U U2	=	320 − 240		233	= 4,16.
U U2	280			241 − 225

Задача 7.14. К зажимам катушки с ферромагнитным сердечником, имеющей w = 1650 витков, подано напряжение u = 311sin314t В. Активное сопротивление R обмотки пренебрежимо мало. На сердечник, кроме того, помещена подмагничивающая обмотка с числом витков w0 = 1000, питаемая постоянным током I0 = 0,5 A

(ðèñ. 7.13, а). Зависимость между магнитным потоком в сердечнике и МДС катушки задана табл. 7.5.

Ò à á ë è ö à 7 . 5

F, À	500	1000	1500	2000	3000	4000	5000	6000
Ô, Âá	4·10–4	6,8·10–4	7,9·10–4	8,5·10–4	9,1·10–4	9,5·10–4	9,7·10–4	10·10–4

Определить амплитуды магнитного потока в сердечнике, построить диаграммы мгновенных значений потока Ф(ωt) è òîêà i(ωt), вычислить действующие значения токов для двух режимов: 1) при отсутствии подмагничивания (I0 = 0); 2) при наличии подмагничивания.

214

Р е ш е н и е . 1. Поскольку R = 0, òî U = Е и при отсутствии под-
магничивания магнитный поток в сердечнике изменяется синусои-
дально с амплитудой
Ôm =	U	=	311	2	= 6 10−4 Âá.
	4,44 fw 4,44 50 1650
Диаграмма Ф(ωt) приведена на рис. 7.13, б.
			Ð è ñ . 7 . 1 3
					215

Так как зависимость Ф(F) на участке до Фm = 6·10–4 Вб практи- чески линейна, ток i изменяется также синусоидально. На рис. 7.13, б показано построение точки 1′ кривой тока i(ωt), когда Ф = = Фm (точка 1). Амплитуда тока

= F = 758 =

Im 0,45 A.

w1650

Действующее значение I = Im 2 = 0,326 À.

2. При наличии подмагничивания определяем МДС обмотки w0:

F0 = w0I0 = 1000 0,5 = 500 À.

Откладываем найденное значение F0 на оси абсцисс вебер-ам- перной характеристики Ф(F) и находим: Ф0 = 4·10–4 Âá.

Результирующий магнитный поток равен сумме Ф(ωt) + Ô0, его амплитуда

Ômax = Ôm + Ô0 = 6 10−4 + 4 10−4 = 10 10−4 Âá.

Для построения диаграммы i(ωt) задаемся значениями потока (точки 2–6) и с помощью вебер-амперной характеристики находим соответствующие значения тока (точки 2′–6′ íà ðèñ. 7.13, б). Òîê i не содержит постоянной составляющей, поэтому для определения его амплитуды и действующего значения проводим ось времени (штриховая линия), чтобы среднее значение i(ωt) за период было равно нулю, тогда амплитуда тока Imax = 2,95 À.

Действующие значение тока определяем по приближенной формуле

		1	n
	I =		∑ik2 ,
		n
			1

ãäå n – количество частей, на которое разделяется период тока. После подстановки числовых значений получим:

		1			→
	I =		(0,22 + 0,32 + 2,52 + 2,72 + 0,92 + 0,12 + 0,42 +
	12		→
			+ 0,62 + 0,72 + 0,82 + 0,72 + 0,52) = 118, À.

Задача 7.15. На стальной сердечник намотаны три обмотки. По первой обмотке с числом витков w1 = 10 проходит синусоидальный ток i1 = 1,2sin314t А, по второй (w2 = 10) – постоянный ток I0 = 2 А (рис. 7.14). Размеры сердечника: l = 0,2 ì, S = 2·10–4 ì2.

216

Кривая намагничивания стали задана уравнением В = 10–2 Н – 10 –7 H3, ãäå B измеряется в теслах, Н – в амперах на метр. Пренебрегая потерей мощности в стали, найти уравнения мгновенных значений и действующие значения ЭДС третьей катушки (w3 = 100) при нали- чии постоянного тока во второй катушке и при его отсутствии.

Р е ш е н и е . Согласно закону полного тока напряженность поля

Ð è ñ .

7 . 1 4

H =	∑wi	=	w2I0	+ w1i1	= 100	+ 60sin314t À ì.
	l			l

Магнитная индукция

B = 10−2 H − 10−7 H3 = 10−2 (100 + 60sin314t) − 10−7 (100 + 60sin314t)3 = = 0,846 + 0,4038sin314t + 0,054cos628t + 0,0054sin942t Òë.

Определяем ЭДС в третьей катушке:

	e	= −w S		dB	= −2,54cos314t + 0,678sin628t − 0,1016cos942t,
				dt
	3	3
			E3		=	2,542	+	0,6782	+	0,10162	= 1,86 Â.
						2		2		2

Аналогичные вычисления выполняем для случая, когда постоянный ток во второй катушке отсутствует:

H = w1i1 = 60sin314t À/ì; l

B = 10−2 H − 10−7 H3 = 0,6sin314t − 10−7603 sin3 314t =

	= 0,584sin314t + 0,0054sin942t Òë;
e	= −w S		dB	= −3,67cos314t − 0,1016cos942t Â;
3	3		dt
		E3 =			3,672	+	0,10162	= 2,6 Â.
					2		2

217

Таким образом, при отсутствии постоянного подмагничивающего тока индуцируемая ЭДС содержит первую и третью гармоники. Подмагничивание постоянным током приводит к появлению в кривой ЭДС также и четных гармоник.

Задача 7.16. Магнитный усилитель, выполненный на двух сердечниках (рис. 7.15, а), подключен к сети переменного напряжения U = 220 В. Последовательно с рабочими обмотками wð включена активная нагрузка Rí = 220 Ом. Семейство ВАХ магнитного усилителя при различных токах управления приведено на рис. 7.15, б. Построить характеристику управления усилителя I(Iy) и при токе нагрузки I = 0,5 А определить коэффициент усиления мощности, если сопротивление цепи управления Ry = 100 Îì.

Р е ш е н и е . Пренебрегая активным сопротивлением рабочих обмоток, для цепи переменного тока можно записать:

Up2 + (RíI)2 = U 2,

ãäå Up – напряжение на рабочих обмотках усилителя; RíI – напряжение на нагрузке.

Разделив последнее равенство на U 2, получим:

Up 2				I	2
			+			= 1 .
	U		U Rí

Данное выражение представляет собой уравнение эллипса, одна полуось которого равна напряжению U = 220 В, другая – току U/Rí = 1 А. Для построения эллипса задаемся различными значениями тока нагрузки I и по уравнению эллипса находим соответствующие ему напряжения Uð (табл. 7.6). Откладывая полу- ченные точки на ВАХ усилителя, строим эллипс (рис. 7.15, б).

По координатам точек пересечения эллипса с ВАХ строим характеристику управления I(Iy) (ðèñ. 7.15, в).

Коэффициент усиления мощности

			R	(I 2 − I 2)		220(0,52 − 0,152)
K	P	=	í	x	=		= 50,
				R I 2		100 0,12
				y y

ãäå Ix = 0,15 A – ток нагрузки при Iy = 0; Iy = 0,1 А – ток управления при I = 0,5 À.

218