СБОРНИК ЗАДАЧ

Ð è ñ .

2 . 2 0

Индуктивная проводимость

bL

=

XL

= 0,008 Ñì.

R2 +

XL2

Емкостная проводимость

bC = ωC = 0,008 Ñì , значит, ем-

кость конденсатора

b

b

0,008 106

С =

C

=

C

=

= 25,4 ìêÔ.

ω

2πf

2π 50

Определяем токи цепи:

I

= y U =

g

2 + b2U = 2,2 À; I

2

= b U = 1,76 À;

1

1

L

C

I = yU =

g2 + (b

− b

)2 U = gU = 1,32 À,

L

C

ãäå	g =	R	= 0,006 Ñì.
		R2 + XL2

Íà ðèñ. 2.20, б приведена векторная диаграмма цепи в режиме резонанса.

Задача 2.22. Â öåïè (ðèñ. 2.21, а) U = 127 Â, f = 50 Ãö, R = 2 Îì, R1 = 10 Îì, R2 = 10,7 Îì, XL = 16 Ом. Определить емкость, при которой наступает резонанс, рассчитать токи. Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов. Графически определить напряжение между точками b è e (Ube).

Р е ш е н и е . При резонансе bL = bC :

bL =	XL		= 0,04 Ñì;
	(R + R )2
		+ X2
	1	L

70

Ð è ñ . 2 . 2 1

bC =		XC	= 0,04 Ñì.
	R2	+ X2
2		C

Подставив числовое значение R2 = 10,7 Ом в последнее соотношение, получим уравнение

XC2 − 25XC + 114 = 0,

решение которого дает два значения емкостного сопротивления: XC1 è XC2 . Далее рассчитываем емкости С1 è С2 , при которых возможен резонанс:

X	= 19 Îì; C =	106			= 167 ìêÔ;
C1	1		2πfXC1
XC2	= 6 Îì; C2 =	106		= 530 ìêÔ.
		2πfXC2

При резонансной емкости С1 = 167 мкФ активные проводимо-
сти ветвей равны:
g1 =	R + R1		= 0,03 Ñì;		g2 =		R2	= 0,0225 Ñì.
	(R + R )2	+ X2				R2	+ X2
1		L			2		C
В первой ветви ток
		I	= g2	+ b2	U = 6,35 À
		1	1	L

71

отстает по фазе от напряжения на угол

ϕ1 = arctg(bLg1) ≈ 53°. Во второй ветви ток

I2 = g22 + bC2 U = 5,83 À

опережает по фазе напряжение на угол

ϕ2 = arctg(−bC g2 ) ≈ −60°.

Общий ток цепи

I = (g1 + g2 )U = 6,65 À.

Он совпадает по фазе с напряжением.

Векторная диаграмма токов, совмещенная с топографической диаграммой, приведена на рис. 2.21, б. Для построения топографи- ческой диаграммы потенциал точки а принимаем равным нулю и, поочередно обходя ветви цепи в направлении, противоположном положительному направлению токов, откладываем падения напряжения на элементах цепи. У концов векторов напряжений ставим буквы в соответствии с обозначениями, принятыми на схеме. При

ýòîì R1I1 = 63,5 Â, XLI1 = 102 Â, RI1 = 12,7 Â, XС I2 = 111 Â, R2I2 = 62,4 Â.

Расстояние между точками b è e на топографической диаграмме с учетом масштаба определяет напряжение Ube = 56 Â.

Расчет при резонансной емкости С2 = 530 мкФ выполняется аналогично:

I1 = 6,35 À; ϕ1 = 53°; I2 = 10,4 À; ϕ2 = −29°10′;

I = 12,5 À; ϕ = 0.

Векторная диаграмма токов, совмещенная с топографической диаграммой в этом режиме, приведена на рис. 2.21, в (Ube = 10 Â).

Задача 2.23. Приемник электроэнергии потребляет активную мощность P = 5 êÂò ïðè òîêå I1 = 35 А, напряжении U = 220  è f = 50 Гц. Рассчитать емкость С конденсаторов, которые необходимо включить параллельно приемнику (рис. 2.22, а), чтобы повысить cosϕ до единицы. Построить векторную диаграмму токов и напряжения, треугольники мощностей приемника и цепи после подключения конденсаторов.

72

Ð è ñ . 2 . 2 2

Р е ш е н и е . Поскольку активная мощность приемника P = UI1cosϕ1 , то коэффициент мощности и угол сдвига фаз между

напряжением и током приемника равны:
cosϕ =		P	=	5000	= 0,65; ϕ = 49°30′.
1	UI1			220 35		1

Находим реактивную индуктивную QL и полную S1 мощности приемника:

QL = Ptgϕ1 = 5000 1,17 = 5854 âàð;

S1 = UI1 = P2 + QL2 = 7700 Â À.

Треугольник мощностей приемника изображен на рис. 2.22, б. Для повышения коэффициента мощности цепи до единицы не-

обходимо, чтобы реактивная емкостная мощность параллельно подключенных конденсаторов компенсировала индуктивную мощность приемника, т.е.

QC = QL = U 2XC = ωCU 2 = 2πfCU 2.

Отсюда

	Q		5854 106
C =	C	=		= 386 ìêÔ.
	2πfU 2		314 2202

При этом реактивная мощность цепи Q = QL − QC = 0, а активная мощность не изменяется и равна полной мощности цепи S (ðèñ. 2.22, в). Ток, потребляемый от источника, уменьшается и совпадает по фазе с напряжением. Векторная диаграмма токов и напряжения приведена на рис. 2.22, г. Здесь IC = UXC = ωCU = 26,7 À.

73

Задачу можно решить иначе:
С =	P	(tgϕ − tgϕ) =	5000 106		(1,17	− 0) = 386 ìêÔ.
	ωU 2	1	314	2202

Задача 2.24. В цехе установлены три группы приемников: 1) P1 = 9 êÂò, cosϕ1 = 0,5, ϕ1 > 0;

2)P2 = 6 êÂò, cosϕ2 = 0,707, ϕ2 > 0;

3)P3 = 10 êÂò, cosϕ3 = 1,0.

Определить cosϕ всей нагрузки. Рассчитать мощность конденсаторов, которые нужно включить параллельно нагрузке, чтобы повысить коэффициент мощности цеха до cosϕ′ = 0,92.

Р е ш е н и е . Определяем реактивную мощность приемников:

Ð è ñ . 2 . 2 3 Q1 = P1tgϕ1 = 9 1,73 = 15,6 êâàð;

Q2 = P2tgϕ2 = 6 1 = 6 êâàð; Q3 = P3 tgϕ3 = 0.

Из треугольника мощностей всей нагрузки (рис. 2.23) находим:

tgϕ =	ΣQ =	Q1 + Q2 + Q3			=	21,6	= 0,865; cosϕ = 0,75.
	ΣP P + P + P				25
	1		2	3

При подключении конденсаторов часть индуктивной мощности компенсируется емкостной мощностью конденсаторов. Тогда реактивная мощность, поступающая из сети,

ΣQ′ = ΣPtgϕ′ = 25 0,42 = 10,5 êâàð.

Как видно из треугольника мощностей, мощность конденсаторов

QC = ΣQ – ΣQ′ = 21,6 − 10,5 = 11,1 êâàð.

Задача 2.25. Приемник электроэнергии питается от сети напряжением U = 220 В двухжильным кабелем (площадь сечения 70 мм2), допускаемая токовая нагрузка для которого Iäîï = 325A . Потребляемый приемником ток Iï = 318A ïðè cosϕï = 0,707 (ϕï > 0) . К сети нужно дополнительно подключить осветительную нагрузку мощностью Pîñâ = 17кВт , но этого делать нельзя, посколь-

74

ку ток в кабеле превысит Iäîï = 325A . Было решено повысить коэффициент мощности установки с помощью батареи конденсаторов, чтобы при включении дополнительной осветительной нагрузки ток в кабеле не превышал 318 А. Рассчитать cosϕ установки после включения батареи конденсаторов и дополнительной нагрузки Pîñâ , необходимые мощность и емкость батареи конденсаторов, ток дополнительной осветительной нагрузки. Построить векторную диаграмму.

Р е ш е н и е . Вычисляем полную, активную и реактивную мощ-

ности до установки конденсаторов:
	S1 = UIï = 220 318 = 70 ê À;
P1	= S1cosϕï = 70 0,707 = 49,5	êÂò;
Q1	= S1sinϕï = 70 0,707 = 49,5	êâàð.

После подключения конденсаторов и дополнительной осветительной нагрузки коэффициент мощности

cosϕ = (P1 + Pîñâ )S1 = (49,5 + 17)70 = 0,95, (ϕ = 18°).

При неизменной полной мощности S1 = S = 70 кВ А благодаря подключению конденсаторов можно получить из сети активную мощность

P = Scosϕ = 70 0,95 = 66,5 êÂò = P1 + Pîñâ

и уменьшить реактивную мощность до

Q = Ssinϕ = 70 0,309 = 21,6 êâàð.

Находим реактивную мощность и емкость батареи конденсаторов:

QC = Q1 − Q = 49,5 − 21,6 = 27,9 êâàð;

С = QС (ωU 2) = 27 900 106(314 48 400) = 1840 мкФ. Ток дополнительной осветительной нагрузки

Iîñâ = PîñâU = 17 000220 = 77 À.

75

Íà ðèñ. 2.24, а, б приведены эквивалентная схема замещения и векторная диаграмма установки. После подключения осветительной нагрузки сопротивлением Rîñâ и конденсаторов сопротивлением XC результирующий ток I остался равным 318 А, уменьшился лишь сдвиг фаз между напряжением и током.

Ð è ñ . 2 . 2 4

Задача 2.26. Напряжение и ток приемника (рис. 2.25, а) изменяются по закону

u = 141sin(314t + 53°) Â; i = 7,07sin(314t + 37°) À.

Записать комплексные действующие значения напряжения и тока. Определить комплексное сопротивление нагрузки и параметры последовательной схемы замещения (рис. 2.25, б). Найти активную и реактивную мощности.

Р е ш е н и е . Заданным напряжению u è òîêó i (ðèñ. 2.25, в) на комплексной плоскости соответствуют вращающиеся векторы (рис. 2.25, г), длина и положение которых для момента времени ωt = 0 определяют комплексные амплитуды напряжения и тока:

U m = Ume jψu = 141e j53 Â; I m = Ime jψi = 7,07e j37°À.

Комплексные действующие значения напряжения и тока определяются векторами, длина которых в 2 раз меньше (рис. 2.25, д):

							U	= 100e j53°Â; I = 5e j37 À.
Комплексное сопротивление нагрузки
Z =		U		=	100e j53	= 20e j16 = 20(cos16° + jsin16°) = (19,3 + j5,5) Îì.
		I			5e j37

76

Ð è ñ . 2 . 2 5

Значит, параметры последовательной схемы замещения (рис. 2.25, б) следующие: R = 19,3 Îì, XL = 5,5 Îì.

Для определения комплексной мощности умножаем комплекс напряжения на сопряженный комплекс тока:

			= 100e j53 5e− j37 = 500e j16 = 500(cos16° + jsin16°) =
S = U I
			= (482 + j138) Â À.

Отсюда получаем: S = 500 ·À, P = 482 Âò, QL = 138 âàð.

Задача 2.27. Â öåïè (ðèñ. 2.26, а) U = 100 Â, R1 = 3 Îì, XL = 4 Îì, R2 = 6 Îì, XС = 8 Ом. Определить токи I1, I2, I. Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений. По ней определить напряжение между точками b è с схемы. Как изменится это напряжение, если во второй ветви элементы R2 è XС поменять местами?

Р е ш е н и е . Выполняем комплексным методом. Принимаем

U = U.

77

Ð è ñ . 2 . 2 6

Комплексы токов:

I1 =

U

=

U

=

100

= 12 − j16 = 20e− j53

À;

R1 + jXL

3 + j4

Z1

I 2

=

U

=

U

=

100

= 6 + j8 = 10e j53

À;

Z2

R2 − jXС

6 − j8

I

= I1 + I 2

= 18 − j8 = 19,7å− j24

À.

Действующие значения токов: I1 = 20 À, I2 = 10 À, I = 19,7 À.

78

Комплекс искомого напряжения

U bc = jXL I1 − (− jXC )I 2 = j4(12 − j16) − (− j8)(6 + j8) = = j96 = 96e j90 B.

При перестановке местами R2 è XС

U′bc = jXL I1 − R2 I 2 = j4(12 − j16) − 6(6 + j8) = 28 = 28e j0 B.

Действующее значение напряжения равно модулю его комплекса. Следовательно, в первом случае Ubc = 96 В, во втором Ubc′ =

= 28 В. Отметим, что U bc = −U cb è Ubc = Ucb .
Задача 2.28. В цепи (рис. 2.27) активная мощность P = 120 Âò,
полная мощность S = 150 ·À, Uab =
120 Â, I3 = 1 А. Определить индуктив-
ное сопротивление XL.
Ð å ø å í è å . Òàê êàê P = UabI2 , òî
I2 = P	= 120 = 1 À.
Uab	120
По первому закону Кирхгофа ток
на общем участке цепи			Ð è ñ . 2 . 2 7
I1 = I 2 + I 3 = 1 + 1å j90			= 1 + j1 = 141,å j45	À..
Реактивную мощность цепи выразим двояко:
Q = ±	S2 − P2 = ± 1502 − 1202 ≈ ± 90 âàð.
èëè
	Q = X	I 2	− X I 2,
		L 1	C 3
ãäå XC = Uab I3 = 120 Îì . Тогда
	± 90 = XL 1,412 − 120 12.
Отсюда находим:
XL1 = 90 + 120 = 105 Îì; XL2 = −90 + 120 = 15 Îì.
	2		2

Задача 2.29. Â öåïè (ðèñ. 2.28, а) U = 220 В, сопротивления R0 = 5,4 Îì, R1 = 12 Îì, R2 = 20 Îì, X0 = 8 Îì, X1 = 16 Îì,

79