СБОРНИК ЗАДАЧ

Активная мощность цепи

	P = U0I0 + U1I1cosϕ1 + U3I3 cosϕ3 =
= 72 12 +	105,5		11,9			+	57,2	7,82				= 1695 Âò
					cos1155,					cos13,8
	2		2				2	2

èëè

P = RI 2 + RIL2 + RIC2 = 1695 Âò.

Задача 5.9. Для уменьшения пульсации напряжения нагрузки, подключенной к двухполупериодному выпрямителю, применен Г-образный LC-фильтр (рис. 5.9). Напряжение на входе фильтра приближенно задано уравнением u = 150 − 100cos628t В. Параметры фильтра: L = 2 Ãí, C = 5 мкФ. Сопротивление нагрузки R = 10 кОм. Записать уравнение мгновенного значения напряжения нагрузки. Определить коэффициенты пульсации напряжений питания и нагрузки.

Ðè ñ . 5 . 9

Ðе ш е н и е . Поскольку катушка индуктивности не оказывает сопротивления постоянному току, постоянная составляющая напряжения нагрузки равна постоянной составляющей напряжения

на входе фильтра U0 = 150 Â.

Комплексная амплитуда переменной составляющей напряже-

ния нагрузки

− j

R

− jXC R

U

ωC

U

=

I m =

m

=

ím

R − jXC

jR (ωC)

R − j

1

jωL −

ωC

R − j1 (ωC)

10

4

10

6

− j

100å

− j90

=

628 5

= 33,9å j92,4

Â.

4

6

104 − j

10

6

j10

10

(628 5)

j628

2 −

4

6

628 5

10

−

j10

(628 5)

170

Составляем уравнение мгновенного значения напряжения на-
грузки:
uí = U0 + Uím sin(628t + 92,4°) = 150 + 33,9sin(628t + 92,4°) Â.
Определяем коэффициенты пульсации напряжений питания и
нагрузки:
k	= Um	= 100 = 0,667;	k	= Uím	= 33,9 = 0,226.
ï	U0	150	ï.í	U0	150
Задача 5.10. Для выделения в нагрузке R = 100 Ом треть-
ей гармоники напряжения применен LC-фильтр (рис. 5.10),
ãäå L = 2,25 ìÃí, C = 500 пкФ. Напря-
жение источника задано уравнением u =
= 28,3sinωt	+ 7,07sin3ωt − 2,83sin5ωt Â.
Частота основной гармоники f = 50 êÃö.
Записать уравнение мгновенного зна-
чения напряжения нагрузки. Опреде-
лить отношение действующего значе-
ния напряжения третьей гармоники к					Ð è ñ . 5 . 1 0
действующему значению напряжения
нагрузки.
Р е ш е н и е . Комплексная амплитуда первой гармоники напря-
жения нагрузки

			U		= R		U	m1		=
				ím1
						R + jωL − j (ωС)
=						100 28,3					=
		100 + j2π 50 103 2,25 10−3 − j							(2π 50 103 500 10−12)
					= 0,5å j89		Â.

Поскольку фильтр настроен на резонанс для третьей гармоники (3ωL = 1 (3ωC)), третьи гармоники напряжений нагрузки и источ- ника оказываются равными:

		U	ím3 = R		U	m3	=	U		= 7,07 Â.
									m3
				R + j3ωL − j (3ωС)

171

Напряжение пятой гармоники
	U		= R		U	m5		= 100		2,83	=
		ím5
				R + j5ωL − j (5ωС)						+ j3532 − j1274
								100

= 0,125å− j87,5 Â.

Составим уравнение мгновенного значения напряжения нагрузки:

uí = 0,5sin(ωt + 89 ) + 7,07sin3ωt − 0,125sin(5ωt − 87,5 ) Â.

Действующее значение напряжения нагрузки третьей гармоники

Uí3

=

Uím3

=

7,07

= 5 Â.

2

2

Действующее значение напряжения нагрузки

U

ím1

2

U

ím3

2

U

ím5

2

Uí =

+

+

= 5,025 Â.

2

2

2

Искомое отношение напряжений близко к единице:

	Uí3	=	5	= 0,996.
			5,025
	Uí

Задача 5.11. На входе цепи (рис. 5.11) действует несинусоидальное напряжение u = 30sinωt + 15sin3ωt В. Для исключения в нагрузке Rí третьей гармоники напряжения применен заградительный фильтр. Рассчитать емкость фильтра Сô, åñëè Lô = = 100 мГн, а основная частота f = 5 кГц. Определить коэффициенты искажения для напряжений питания и нагрузки.

Р е ш е н и е . Для исключения третьей гармоники напряжения в нагрузке необходимо, чтобы сопротивление

цепи току третьей гармоники было равно бесконечности. Это возможно при резонансе в контуре Lô, Сô на третьей гармонике, когда bL3 − bC3 = 0

èëè 1 (3ωLô ) = 3ωCô . Отсюда

Ð è ñ . 5 . 1 1

172

C	ô	=	1	=	1		= 113, 10−9	Ô.
			9ω2L		9 22 3,142 50002	100 10−3
			ô

Коэффициент искажения равен отношению действующего зна- чения первой (основной) гармоники к действующему значению несинусоидальной величины. Таким образом, коэффициент искажения для напряжения питания

k =	U1	=	U1	=	30 2		= 0,89.
è	U		U12 + U32		(30 2)2 + (15	2)2

Коэффициент искажения для напряжения нагрузки kè.í = 1, так как использование фильтра обеспечило синусоидальный закон изменения напряжения на нагрузке.

Задача 5.12. Напряжение и ток пассивного двухполюсника (рис. 5.12, а) заданы следующими уравнениями:

u = 100 + 141sinωt + 36sin3ωt Â;

i = 14,1sin(ωt + π2) À.

Начертить эквивалентную схе-
му двухполюсника и определить
ее параметры, если ω = 314	ðàä ñ
(использовать одинаковые	êîí-	Ð è ñ . 5 . 1 2
денсаторы).

Р е ш е н и е . Поскольку в токе отсутствует постоянная составляющая, то схема должна содержать разделительную емкость. Ток не содержит третьей гармоники. Следовательно, схема должна содержать участок, состоящий из параллельно соединенных индуктивности и емкости, настроенных в резонанс на третьей гармонике. Кроме того, двухполюсник не содержит резистивных элементов, поскольку ток чисто реактивный (сдвиг по фазе между первыми гармониками напряжения и тока ϕ = π2 ). Схема двухполюсника приведена на рис. 5.12, б.

Для определения параметров эквивалентной схемы двухполюсника найдем его входное сопротивление для первой гармоники:

Z1 =		U		1	=	141		2	= 10å	− j90
										Îì.
		I	1			141,	å	j90
						2

173

Èç ðèñ. 5.12, б следует:
												1
			1					jωL − j
Z1 = − j						+					ωC				.
			ωC
											1
								jωL − j
												ωC
Условие резонанса токов на третьей гармонике:
		1				= 3ωC.
		3ωL
Решая совместно три последних уравнения, находим:
С = 289 ìêÔ; L =		1				=					1						= 4 ìÃí.
		2							314	2	289 10					−6
	9ω C					9

Контрольные задачи

Задача 5.13. Форма напряжения генераторов приведена на рис. 5.13. Определить показания магнитоэлектрического и электромагнитного вольтметров, подключенных к генераторам.

Задача 5.14. Амплитуда и форма напряжения генератора заданы на рис. 5.13, а. Используя разложение кривой напряжения в ряд Фурье (ограничиться тремя членами ряда), определить активную мощность катушки индуктивности (L = 0,1 Ãí, R = 100 Ом), подключенной к генератору.

Задача 5.15. Решить задачу 5.14 при условии, что амплитуда и форма напряжения генератора заданы на рис. 5.13, в.

Задача 5.16. К катушке индуктивности (L = 20 ìÃí, R = 10 Ом) приложено напряжение u = 12 + 80sin314t + 30sin(942t + 30°) В. Записать уравнение мгновенного значения тока катушки.

Задача 5.17. Определить активную и полную мощность цепи, описанной в задаче 5.16.

Задача 5.18. В катушке индуктивности (L = 0,1 Ãí, R = 50 Ом) проходит ток i = 10 + 60sin314t + 20sin(942t + 30°) А. Определить показания электромагнитного вольтметра, подключенного к катушке.

Задача 5.19. Â öåïè (ðèñ. 5.6) u = 24 + 141sinωt + +56,6sin(3ωt + 30°) Â, R = 4 Ом, на основной частоте XL = 4 Îì è XС = 36 Ом. Рассчитать действующие значения напряжений на каждом из элементов.

174

Ð è ñ . 5 . 1 3

Задача 5.20. Определить активную мощность цепи, описанной в задаче 5.19.

Задача 5.21. К цепи, состоящей из параллельно соединенных резистора R = 40 Ом и конденсатора емкостью С = 10 мкФ, приложено напряжение u = 242sin314t + 70,7sin942t В. Записать уравнение мгновенного значения тока в неразветвленной части цепи.

Задача 5.22. Â öåïè (ñì. ðèñ. 5.12, б) С = 10 ìêÔ, L = 0,1 Гн. Рассчитать частоту первой гармоники, при которой входное сопротивление цепи равно бесконечности.

Задача 5.23. Â öåïè (ñì. ðèñ. 5.12, б) С = 100 ìêÔ, L = 20 мГн. Рассчитать частоту первой гармоники, при которой входное сопротивление цепи для пятой гармоники равно нулю.

Задача 5.24. В цепи, описанной в задаче 5.9, нагрузкой является катушка индуктивности (L = 0,5 Ãí, R = 2 кОм). Определить коэффициенты пульсации напряжений источника и нагрузки.

Задача 5.25. На входе цепи

u = 10 + 30sin1000t Â; i = 6sin(1000t + 30°) À.

Начертить простейшую эквивалентную схему замещения цепи и определить параметры ее элементов.

175

Задача 5.26. На входе цепи

u = 10 + 120sin(ωt + 30°) + 10sin(3ωt + 45°) Â;

i = 5 + 30sin(ωt − 30°) À; ω = 1000 ñ−1.

Начертить эквивалентную схему замещения цепи и определить параметры ее элементов.

Ответы к контрольным задачам

5.13.Показания магнитоэлектрических вольтметров: а) Uñð = 50 Â; á) Uñð =

=0; â) Uñð = 50 Â; ã) Uñð = 50 В. Показания электромагнитных вольтметров: а) U = 57,8 Â; á) U = 100 Â; â) U = 70,7 Â; ã) U = 112 Â. 5.14. Ряд Фурье

4U

m

1

1

u =

sinωt +

sin3ωt +

sin5ωt = 127,4sin314t + 42,5sin942t + 25,5sin1570t Â;

π

3

5

P = P1 + P3 + P5 = 74 + 4,8 + 0,2 = 79 Âò. 5.15. Кривой напряжения, приведен-

U

m

2U

m

1

íîé íà ðèñ. 5.13, в, соответствует ряд Фурье u =

+

sinωt +

sin3ωt

=

2

3

π

= 50 + 31,8sin314t + 10,6sin942t Â;; P = P0 + P1 + P3 = 25 + 4,7 + 0,3 = 30 Âò.

5.16. i = 1,2 + 6,77sin(314t − 32°) + 1,41sin(942t − 32°) À. 5.17. P = 262 Âò; S =

= 310 Â À. 5.18. U = 2967 Â. 5.19. UR =			UR2	0 + UR21 + UR23 =	02 + 12,42 + 402 =
= 41,88 Â; UL =	UL20	+ UL21 + UL23 =	02	+ 12,42 + 1202	= 120,6 Â; UC =
= UC20 + UC21 + UC2	3 =	242 + 111,62 + 1202	= 165,6 Â. 5.20. P = 438 Âò. 5.21. i =

=6,1sin(314t + 7°) + 1,89sin(942t + 21°) À. 5.22. f = 113 Ãö. 5.23. f = 15,9 Ãö.

5.24.kï = 0,667, kï.í = 0,229. 5.25. R = 4,33 Îì, С = 400 ìêÔ. 5.26. R = 2 Îì, L = 3,08 ìÃí, С = 36 ìêÔ.

6.МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ

ÑПОСТОЯННЫМИ МАГНИТОДВИЖУЩИМИ СИЛАМИ

Задачи с решениями

Задача 6.1. По прямолинейному проводу круглого сечения радиусом R = 4 мм проходит постоянный ток I = 200 А. Определить напряженность магнитного поля H в различных точках пространства внутри и вне провода на расстоянии х от оси провода. Построить диаграмму H(х).

Р е ш е н и е . Согласно закону полного тока для данной задачи

lx Hx = Ix,

(1)

ãäå lx – длина силовой линии магнитного поля на расстоянии х от оси провода; Hх – напряженность магнитного поля; Ix – полный ток (рис. 6.1).

Ð è ñ .

6 . 1

Åñëè x < R, òî

πx2

x2

Ix

= I

=

I

.

(2)

πR2

R2

После подстановки выражения (2) в уравнение (1) получим:

2πxHx = I x2 , R2

177

откуда Hx = I x(2πR2) , т.е. напряженность внутри провода изменяется по линейному закону, имея наибольшее значение Hmax ïðè x = R :

	Hmax	= 200	4 10−3			= 7950 À/ì.
			2π 16		10−6

Åñëè x > R, òî 2πxHx = I , à Hx = I(2πx), т.е. напряженность вне провода изменяется по гиперболическому закону. Результаты расчета представлены табл. 6.1.

Ò à á ë è ö à 6 . 1

x, ìì	8	12	16	20	40	50	500
Hx, À/ì	3981	2654	1980	1592	796	637	63,7

Диаграмма H(х) приведена на рис. 6.1.

Задача 6.2. В результате короткого замыкания в троллейбусной линии ток достиг значения I = 1 кА (рис. 6.2). Определить усилия, действующие на провода одного пролета линии длиной l = 40 м. Расстояние между проводами а = 40 см. Изменятся ли усилия, если I – действующее значение синусоидального тока?

Р е ш е н и е . Направление усилий, опреде-

ленное по правилу левой руки, показано на

ðèñ. 6.2.

Усилие на каждый провод одного пролета

Ð è ñ . 6 . 2

	I 2		4π 10−7 106
F = μ0		l =		40 = 20 Í.
	2πa		2π 0,4

(Это усилие соответствует весу тела массой m = Fg = 209,8 =

= 2,04êã ).

При прохождении по проводам синусоидального тока I = 1 кА усилия на провода будут меняться (с удвоенной частотой тока) от нуля до максимального значения, определяемого амплитудой тока Im = 2I. При квадратичной зависимости усилия от мгновенного значения тока это дает удвоение усилия до Fm = 2F = 40 Í.

Задача 6.3. На кольцевой сердечник помещена обмотка с числом витков w = 100. Площадь сечения сердечника S = 5 ñì2, длина средней линии lñð = 25 см (рис. 6.3). Определить ток в обмотке, при котором магнитный поток в сердечнике Ф = 7 10–4 Вб, если материал сердечника: а) неферромагнитный; б) электротехниче-

178

ская сталь (кривая намагничивания стали приведена на рис. 6.4). Рассчитать индуктивность катушек для вариантов «а» и «б».

Р е ш е н и е . Магнитные индукции в сердеч- нике из неферромагнитного материала и электротехнической стали одинаковы:

	Ô		7 10−4	Ð è ñ . 6 . 3
В = В =		=		= 1,4 Òë.
0	S		5 10−4

а) Напряженность магнитного поля в сердечнике из неферромагнитного материала

	Н0		= В0 =		1,4	= 1,12 106	À/ì.
			μ0		4π 10−7
	Ток в обмотке
I	=	lñðН0		=	25 10−2 112, 106
						= 2800 À.
1			w		100
	Индуктивность катушки
	L =		wÔ	=	100 7 10−4
						= 0,025 ìÃí.
	1		I1		2800		Ð è ñ . 6 . 4

Если выразить магнитный поток формулой Ф = SВ, а магнитную индукцию – формулой В = μaH , ãäå H = wI lñð , то получим другую формулу для определения индуктивности:

L = μaw2S ,	(1)
lñð

ãäå μà – абсолютная магнитная проницаемость сердечника; для

неферромагнитного материала μa = μ0 = 4π 10−7 Ãí/ì.

Из выражения (1) следует, что индуктивность не зависит от тока и магнитного потока в катушке. Она зависит исключительно от размеров катушки, числа ее витков и абсолютной магнитной проницаемости среды.

Подставив числовые значения, получим:

L	=	4π 10−7	1002 5 10−4	= 0,025 ìÃí,
1		25 10−2

т.е. тот же результат.

179