СБОРНИК ЗАДАЧ

б) Напряженность (Hñò ) магнитного поля в сердечнике из электротехнической стали находим по кривой намагничивания (рис. 6.4). При индукции В = 1,4 Тл напряженность поля Нñò = 2000 À/ì.

Ток в обмотке

	I2 =	lñðHñò	=	25 10−2 2000	= 5À.
		w		100

Индуктивность катушки

					wÔ			100 7 10−4
			L	=			=			= 14 ìÃí
		2			I2			5
èëè						= μaw2S = 14 ìÃí,
					L
					2				lñð
ãäå μa =	В	=	1,4	= 7 10−4 Ãí/ì.
	Hñò
		2000

Сопоставив значения токов для катушек с сердечниками из неферромагнитного материала и из электротехнической стали, можно сделать вывод, что при заданном потоке Ф наличие ферромагнитного сердечника значительно уменьшает токи в обмотках (токи намагничивания).

Замена неферромагнитного сердечника ферромагнитным зна- чительно увеличивает индуктивность катушки (L2 L1 = 140,025 = =560).

Задача 6.4. Катушка с кольцевым сердечником (тороид) имеет обмотку с числом витков w = 300. Площадь сечения сердечника S = 16 10–4 ì2. Длина средней линии lñð = 0,48 м, ток в обмотке I = 1 À (ñì. ðèñ. 6.3).

Считая магнитное поле внутри катушки равномерным, определить магнитные потоки, если материал сердечника: а) неферромагнитный; б) электротехническая сталь, кривая намагничивания которой приведена на рис. 6.4. Сделать вывод по результатам расчета.

Р е ш е н и е . а) Напряженность магнитного поля внутри катуш-

ки с неферромагнитным сердечником
			H =	wI	=	300 1	= 625À/ì.
				lñð
					0,48
Магнитный поток
Ô	= SB = Sμ	0	H = 16 10−4 4π 10−7					625 = 1257, 10−6	Âá.
1

180

б) Напряженность магнитного поля не зависит от материала
сердечника, поэтому Hñò = 625À/ì.
Магнитную индукцию для ферромагнитного сердечника нахо-
äèì	ïî	кривой	намагничивания стали		(ñì. ðèñ. 6.4). Ïðè
Hñò	= 625À/ì Bñò		≈ 1,1Òë.
Магнитный поток
		Ô = SB		= 16 10−4 1,1 = 17,6 10−4 Âá.
		2	ñò
Таким образом, при одинаковых токах в обмотках наличие фер-
ромагнитного сердечника значительно увеличивает магнитный по-
òîê (Ô		Ô = 17,6 10−4		1257, 10−6 = 1400). Это объясняется тем,
	2	1
что в катушке со стальным сердечником магнитное поле создается
не только током в обмотке, но и за счет собственного намагничи-
вания стали.
Задача 6.5. На замкнутом сердечнике из электротехнической
стали размещены две катушки (рис. 6.5). Токи катушек I1, I2, число
витков w1, w2. Кривая намагничива-
ния стали дана на рис. 6.4. Опреде-
лить: 1) магнитный поток в сердеч-
нике и потокосцепления катушек; 2)
то же при изменении направления
тока второй катушки, если с = 4 ñì,
I1 = 3 À, I2 = 4 À, w1 = 500, w2 =
= 300.
Р е ш е н и е . 1. Данная магнитная
цепь является неразветвленной од-					Ð è ñ . 6 . 5
нородной. Длина			средней линии
сердечника l = 12с = 0,48 м; площадь сечения S = с2 = 16 10–4 ì2.
Магнитодвижущие силы (МДС) катушек

F1 = w1I1 = 500 3 = 1500À;

F2 = w2I2 = 300 4 = 1200À.

Согласно правилу правоходового винта при заданных направлениях токов и намотке витков МДС катушек действуют в сердеч- нике встречно. Напряженность магнитного поля

H = F 1 – F2 = 1500 − 1200 = 625À/ì.

l0,48

181

По кривой, приведенной на рис. 6.4, этой напряженности соответствует магнитная индукция B = 1,14Òë.

Магнитный поток в сердечнике

Ô = SB = 16 10−4 1,14 = 1,83 10−3 Âá.

Определяем потокосцепления катушек:

ψ1 = w1Ô = 0,915Âá; ψ2 = w2Ô = 0,55Âá.

2. При изменении направления тока второй катушки МДС обеих катушек действуют на сердечник согласно, поэтому напряженность поля

H = F1 + F2 = 1500 + 1200 = 5620 À/ì.

l0,48

Магнитная индукция B = 1,65Тл (по кривой на рис. 6.4), магнитный поток Ф = 2,64 10–3 Вб, потокосцепления – ψ1 = 1,32 Âá, ψ2 = 0,792 Вб. Значительное увеличение напряженности магнитного поля в этом режиме привело к относительно небольшому приросту индукции и потока в сердечнике, что объясняется магнитным насыщением стали сердечника.

Задача 6.6. В сердечнике из электротехнической стали (рис. 6.6) необходимо создать магнитную индукцию В = 1 Тл. Кривая намаг-

ничивания стали приведена на рис. 6.4. Число вит-

ков обмотки w = 200, длина средней линии сердеч-

íèêà l

= 42,1 см, площадь сечения S = 5 ñì2. Ðàñ-

ñð

считать ток в обмотке и магнитное сопротивле-

ние магнитопровода: а) при отсутствии воздуш-

ного зазора в сердечнике; б) при наличии воз-

душного зазора l0 = 1 ìì.

Ð è ñ .

6 . 6

Р е ш е н и е . а) Напряженность (Hñò ) магнит-

ного поля в сердечнике находим по кривой намаг-

ничивания стали. При В = 1 Òë Hñò

= 475À/ì .

Ток в обмотке

I1 =

lñðHñò

=

42,1 10−2 475

= 1À.

w

200

Магнитное сопротивление магнитопровода

R

= lñð

=

lñð

=

42,1 10−2

= 4 105

1 .

ì.ñò

μàS

(B Hñò )S

(1 475) 5 10−4

Îì ñ

182

б) Магнитная индукция в стали и в зазоре одинакова (потоком рассеяния пренебрегаем): Вñò = В0 = 1 Òë.

Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре H0 = B0μ0 = 1 (4π 10−7) = 800 103 À/ì.

При наличии воздушного зазора МДС обмотки

wI2 = lñðHñò + l0H0 = 42,1 10−2 475 + 1 10−3 800 103 = 1000А. Ток в обмотке

				I2 = wI2 w = 5À.
Магнитное сопротивление воздушного зазора
R	=	l0	=	1 10−3	= 16 105	1	.
ì 0		μ0S		4π 10−7 5 10−4		Îì ñ

Магнитное сопротивление магнитопровода с воздушным зазором

R	= R	+ R	= 20 105	1		>> R .
ì	ì.ñò	ì 0		Îì	ñ	ì.ñò

Таким образом, наличие воздушного зазора в магнитопроводе требует значительного увеличения МДС и тока в обмотке (I2 / I1 = 5).

Задача 6.7. Два сердечника из электротехнической стали имеют общую намагничивающую обмотку (рис. 6.7). Магнитная характеристика стали приведена на рис. 6.4. В правом сердечнике имеется воздушный зазор длиной l0. Задан магнитный поток Ф1

левого сердечника. Определить МДС обмотки wI и магнитный поток Ф2 правого сердечника при l0 = 1 ìì, с = 2 ñì, Ô1 = 0,64 × × 10–3 Âá.

Ð è ñ . 6 . 7

183

Р е ш е н и е . Левый сердечник представляет собой неразветвлен-

ную однородную магнитную цепь. Длина средней линии этой цепи l1 = 16с = 0,32 м, площадь сечения S = с2 = 4 10–4 ì2.

Магнитная индукция в сердечнике

	Ô		0,64 10−3
B =	1	=		= 1,6Òë.
1	S		4 10−4

Для этой индукции находим по кривой В(Н) на рис. 6.4 напряженность магнитного поля левого сердечника: H1 = 4600 À/ì.

Искомая МДС обмотки

wI = l1H1 = 0,32 4600 = 1472 À.

Она же действует и в правом сердечнике. Таким образом, для правой магнитной цепи заданной величиной является МДС. Из-за наличия зазора правый сердечник представляет неоднородную магнитную цепь, состоящую из двух участков: стального сердечника и воздушного зазора. Длина средней линии участка из стали

l2 = 16c − l0 = 0,32 − 1 10−3 ≈ 0,32 м. По закону полного тока для этой магнитной цепи

wI = l2H2 + l0H0.

В данном уравнении две неизвестные величины (H2 è H0), поэтому определение потока Ф2 проводим методом последовательных приближений.

Принимаем поток первого приближения Ф2(1) = 0,56 10–3 Вб. При этом магнитная индукция

B2(1) = Ô2(1)S = 14,Òë.

Индукция в воздушном зазоре такая же, т.е. B0(1) = B2(1) (площадь сечения воздушного зазора принимается равной площади се- чения образующих его стержней). По кривой В(Н) находим при B2(1) = 14,Тл напряженность магнитного поля: H2(1) = 2000А/м. Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре

H0(1) =	B0(1)	=	1,4	= 112, 106 À/ì.
			4π 10−7
	μ0

Необходимая для потока первого приближения Ф2(1) магнитодвижущая сила

184

wI(1) = l2H2(1) + l0H0(1) = 1760À.

Поскольку wI(1) > wI , то принимаем поток второго приближения

Ô2(2) = 0,4 10–3 Âá < Ô2(1).

Рассчитанная таким же образом МДС второго приближения wI(2) = 950 А, что меньше заданной wI = 1472 À.

Выбираем поток третьего прибли-

жения так, чтобы Ф2(1) > Ô2(3) > > Ô2(2), затем – четвертого прибли-

жения Ф2(4) и т.д. Результаты рас- четов сведены в табл. 6.2.

Ð è ñ . 6 . 8

Ò à á ë è ö à 6 . 2

Ô2, Âá	0,56 · 10–3	0,4 · 10–3	0,48 · 10–3	0,54 · 10–3
wI, À	1760	950	1232	1542

Получение ответа можно ускорить, если после расчета 4–5 режимов построить диаграмму Ф(wI). Такая диаграмма приведена

на рис. 6.8. По диаграмме для заданной МДС wI = 1472 А поток Ф2 = 0,523 10–3 Âá.

Как видно, при той же МДС миллиметровый воздушный зазор в правом сердечнике приводит к существенному снижению потока

(Ô2 < Ô1).

Задача 6.8. Подъемный электромагнит имеет сердечник Ш-об- разной формы (рис. 6.9) и якорь из электротехнической стали, кривая намагничивания которой приведена на рис. 6.4.

На среднем стержне сердеч- ника расположена обмотка с числом витков w = 200. Âîç-

душные зазоры между сердечником и якорем l0 = 1 ìì.

Определить ток в катушке, при котором электромагнит будет развивать подъемную

ñèëó F = 2200 Í.

Ð è ñ . 6 . 9

185

Решение. Магнитная цепь электромагнита является разветвленной симметричной цепью, которую по оси симметрии можно разбить на две неразветвленные цепи, индукция на всех участках которых одинакова. Подъемная сила на один воздушный зазор каждой неразветвленной цепи определяется приближенной формулой

B2

F1 = μ0 S, 2 0

ãäå S – площадь сечения воздушного зазора бокового стержня (S = = 25 ñì2).

Суммарная подъемная сила электромагнита в 4 раза больше:

2B2

F = 0 S,

μ0

откуда

	B =	Fμ	0	=	2200	4π 10−7	= 0,74Òë.
		2S			2 25 10−4

По закону полного тока для каждого из симметричных контуров магнитной цепи

wI = ΣlH;

ΣlH = l1H1 + l2H2 + 2l0H0 = 1400À,

ãäå H1 = H2 = 310 А/м (по кривой намагничивания для B = 0,74 Òë);

l1 = 50 ñì; l2 = 20 ñì; Н0 = 0,8 106 B = 0,592 106 À/ì. Òîê

I = ΣlHw = 1400200 = 7À.

Задача 6.9. Максимальный момент, передаваемый электромагнитной муфтой сцепления, M = 75 Н м. Муфта изготовлена из стали, магнитная характеристика которой дана на рис. 6.4. Толщина немагнитных прокладок между полюсами l0 = 1,5 мм. Площадь сечения полюсов сердечника и якоря S = 100 ñì2. Другие размеры, указанные на рис. 6.10: r1 = 2 ñì, r2 = 6 ñì, R1 = 10,6 ñì, R2 = 12 см, длина средней линии пути потока по стали lñò = 30 см. Коэффициент трения между полюсами fòð = 0,25. Определить МДС катушки.

Р е ш е н и е . Роль окружного усилия выполняет сила трения полюсов муфты, которая определяется силой нормального давления

186

F и коэффициентом трения fòð. Полагая окружное усилие приложенным по окружности, радиус которой совпадает со средним радиусом полюсных поверхностей, определяем передаваемый муфтой вращающий момент:

M = f	r1 + r2		F + f		R1 + R2	F.
òð		2		òð	2
Отсюда сила				нормального
давления

F =	2M	= 1960Í.
	fòð (r1 + r2 + R1 + R2 )

Ð è ñ .

6 . 1 0

По формуле подъемной силы электромагнита

F = B2 S, 2μ0

откуда

B = F 2μ0 = 0,7Òë.

S

Такая же индукция в стали сердечника и якоря, поскольку площади сечения одинаковы.

По кривой B(H) на рис. 6.4 для индукции B = 0,7 Тл напряженность магнитного поля Hñò = 280 А/м. Для зазора между полюсами

H0 =	B	=	0,7	= 5,6 105 À/ì.
			4π 10−7
	μ0

Искомая МДС катушки

wI = lñòHñò + 2l0H0 = 84 + 1680 = 1764À.

Отметим, что основная часть МДС катушки (1680 А из 1764 А) приходится на неферромагнитный участок между полюсами муфты, т.е. падение магнитного напряжения в зазоре значительно больше, чем в стали.

187

Задача 6.10. Разветвленная магнитная цепь (рис. 6.11) выпол-

нена из электротехнической стали, кривая намагничивания кото-

рой приведена на рис. 6.4. В пра-

вом стержне имеется воздуш-

ный зазор длиной l0. Магнитная

индукция в зазоре – B0. Опреде-

лить магнитные потоки на всех

участках цепи и МДС катуш-

êè, åñëè с = 3 ñì, B0 = 1 Òë, l0 =

= 1 ìì.

Р е ш е н и е . Выделяем участ-

ки цепи одинакового сечения и

Ð è ñ .

6 . 1 1

материала, с одним и тем же по-

током. Их длины по средней

линии равны: l1

= 3с = 0,09 ì, l2 = 8с = 0,24 ì, l3 = 8с – l0 = 0,24 –

– 0,001 ≈ 0,24 ì, l0

= 0,001 ì.

= 2с2 = 18 10–4

ì2, S

= S

=

Площади поперечных сечений: S

1

2

3

= S0 = с2 = 9 10–4

ì2.

На основании законов Кирхгофа записываем для данной маг-

нитной цепи следующие уравнения:

Ô1 – Ô2 – Ô3 = 0;

(1)

0 = l3H3 + l0H0 − l2H2;

(2)

wI = l1H1 + l3H3 + l0H0.

(3)

Магнитная индукция в правом стержне В3 равна индукции в зазоре, так как они представляют неразветвленную часть цепи и

S3 = S0.

Магнитный поток

Ô3 = S3B3 = S0B0 = 9 10−4 1 = 0,9 10−3 Âá.

По кривой В(Н) на рис. 6.4 находим для В3 = 1 Тл напряженность поля: Н3 = 470 À/ì.

Напряженность магнитного поля в зазоре

	H0	=	B0	=	1	= 0,8 106 À/ì.
			μ0		4π 10−7

Из уравнения (2) определяем напряженность магнитного поля в левом стержне:

188

H2 = l3H3 + l0H0 = 112,8 + 800 = 3803À/ì. l2 0,24

При данной напряженности Н2 магнитная индукция В2 = 1,53 Тл. Магнитный поток левой ветви

Ô2 = S2B2 = 1,377 10−3 Âá.

Согласно уравнению (1) поток в среднем стержне Ф1 = Ô2 + Ô3 = 2,277 10−3 Âá.

Магнитная индукция в среднем стержне

	Ô		2,277 10−3
B =	1	=		= 126,Òë.
1	S1		18 10−4

По кривой В(Н) для данной индукции требуемая напряженность магнитного поля Н1 = 1000 À/ì.

Согласно уравнению (3) искомая МДС катушки

wI = l1H1 + l3H3 + l0H0 = 90 +113 + 800 = 1003À.

Задача 6.11. Разветвленная магнитная цепь (рис. 6.12), выполненная из электротехнической стали, кривая намагничивания которой приведена на рис. 6.4, имеет две катушки с токами I1 = 4 À è I2 = 5 А. Первая катушка состоит из 250 витков, вторая – из 100. Направления токов указаны на рисунке стрелками. Длины средних магнитных силовых линий отдельных участков равны: l1 = l2 = = 52 ñì, l3 = 24,9 ñì, l0 = 0,1 см, площади поперечных сечений

сердечников S1 = S2 = 30 ñì2, S3 = S0 = 36 ñì2. Найти распределе-

ние потоков в сердечниках. Потоками рассеяния пренебречь.

Р е ш е н и е . Произвольно задаемся направлениями магнитных потоков, например к узлу b, и записываем уравнения на основании законов Кирхгофа:

Ô1 + Ô2 + Ô3 = 0;

Ð è ñ .

6 . 1 2

189