СБОРНИК ЗАДАЧ

Контрольные задачи

Задача 7.17. Для определения числа витков w и магнитной индукции Вm в магнитопроводе катушки, подключенной к источнику синусоидального напряжения U = 220 В, на магнитопровод намотана измерительная обмотка с числом витков wè = 20. Площадь

поперечного сечения магнитопровода S = 16 ñì2. Напряжение на измерительной обмотке оказалось равным 8,8 В при частоте f = 50 Ãö.

Рассчитать w è Вm.

Задача 7.18. Катушка с сердечником из электротехнической стали 1511 питается синусоидальным напряжением U = 127 В ча- стотой f = 50 Гц (рис. 7.16). Площадь сечения сердечника S = 10 ñì2, длина средней магнитной линии l = 17,5 см. Число витков обмотки w = 572. Кривая намагничивания стали дана в задаче 7.6. Определить полное сопротивление Z катушки при длине воздушного зазора l0 = 0,1 ìì.

Задача 7.19. Как изменятся ток в обмотке дросселя (рис. 7.16) и его индуктивность при увеличении воздушного зазора в ферромагнитном сердечнике, если амплитуда и частота питающего напряжения неизменны?

Задача 7.20. На рис. 7.17 изображена петля перемагничивания стального сердечника, снятая при очень низкой частоте f → 0. Определить потери от гистерезиса при промышленной частоте, если объем стали сердечника V = 0,001 ì3, площадь петли перемагничивания Sï = 4,75 ñì2. Как изменятся потери от гистерезиса при повышении напряжения источника на 10%?

Задача 7.21. Сердечник 1 и якорь 2 электромагнита (рис. 7.18) выполнены из электротехнической стали и имеют следующие раз-

Ð è ñ . 7 . 1 6

Ð è ñ . 7 . 1 7

Ð è ñ . 7 . 1 8

220

ìåðû: S1 = S2 = 2 ñì2, l0 = 2 мм. Определить силу F, с которой якорь притягивается к сердечнику, если МДС wI = 1000 А. Падением магнитного напряжения в стали пренебречь.

Задача 7.22. Â öåïè (ñì. ðèñ. 7.6) U = 220 Â, I = 4 A, P = 50 Вт. Активное сопротивление обмотки дросселя R = 2 Ом, число витков w = 500. Рассчитать потери в стали сердечника и, пренебрегая потоком рассеяния, построить векторную диаграмму.

	Задача 7.23. Определить параметры па-
	раллельной схемы замещения (рис. 7.19)
	дросселя, описанного в задаче 7.22. Рассчи-
	тать токи в ветвях схемы.
	Задача 7.24. Â öåïè (ñì. ðèñ. 7.9) îïðå-
	делить емкость С, при которой ток в мо-
	мент феррорезонанса будет равен 3 А. При	Ð è ñ . 7 . 1 9
	каком напряжении на зажимах цепи в

этом случае произойдет скачкообразное увеличение тока? В рас- чете использовать параметры катушки со сталью, приведенные в задаче 7.11.

Задача 7.25. В условиях задачи 7.11 определить область значений емкости С, при которых феррорезонанс напряжений невозможен.

Задача 7.26. Для цепи (см. рис. 7.10) рассчитать емкость С конденсатора, чтобы феррорезонанс токов наступил при напряжении источника U = 220 В. Воспользоваться параметрами катушки из условия задачи 7.12.

Задача 7.27. В цепи стабилизатора напряжения, параметры элементов которого указаны в задаче 7.13, рассчитать коэффициент стабилизации выходного напряжения U2. Диапазон изменения

входного напряжения прежний – 240…320 В. Индуктивность линейного дросселя увеличили вдвое.

Задача 7.28. Рассчитать амплитуду магнитного потока в сердечнике и действующее значение тока в катушке (воспользоваться условием задачи 7.14), если амплитуда синусоидального напряжения уменьшилась вдвое, а ток подмагничивания I0 прежний.

Ответы к контрольным задачам

7.17. w = 500 витков, Вm = 1,24 Òë. 7.18. 894 Îì. 7.19. Ток возрастет, ин-

дуктивность уменьшится. 7.20. Pã = 21 Вт; увеличатся в 1,21 раза. 7.21. F = = 15,7 Í. 7.22. 18 Âò. 7.23. g0 = 1,03 10–3 Ñì, b0 = 18 10–3 Ñì; Ia = 0,227 À,

Ip = 3,99 À, I = 4 À. 7.24. C = 41,5 ìêÔ, U = 129 Â. 7.25. С ≤ 4 ìêÔ. 7.26. C = = 15,92 ìêÔ. 7.27 Kñò = 8. 7.28. Ôm = 7 10–4 Âá, I = 0,4 À.

221

8. ТРАНСФОРМАТОРЫ

Задачи с решениями

Задача 8.1. Рассчитать однофазный трансформатор на сердеч- нике из электротехнической стали 1511 Ш-образной формы. Толщина пластин δ = 0,5 мм. Технические данные трансформатора:

Síîì = 60 Â À, f = 50 Ãö, U1 íîì = 220 Â, U2 íîì = 36 В. Кривая намагничивания стали 1511 на переменном токе Bm(H) и зависимость

удельных магнитных потерь в стали от амплитуды индукции Póä(Bm) äàíû íà ðèñ. 8.1, а, б соответственно. Приняв индукцию в

сердечнике Bm =1 Тл (удельные потери в стали при этой индукции Póä = 1,2 Вт/кг), плотность тока в обмотках J = 2,5 À/ìì2, коэффи-

циент заполнения cердечника сталью Kñ = 0,94, коэффициент заполнения окна медью Kî = 0,3, определить площадь поперечного сече- ния сердечника Sñ, число витков обмоток w1 è w2, их номинальные токи I1 íîì, I2 íîì и площади сечения медных проводов S1 è S2.

Ðè ñ . 8 . 1

Ðе ш е н и е . Площадь поперечного сечения сердечника из горя- чекатаной стали определяем исходя из номинальной мощности по приближенной формуле

		Sñ =	Síîì =		60 = 7,7ñì2.
Считая, что U1		≈ E1 è U2 ≈ E2, находим число витков первичной
и вторичной обмоток:
w1 =		U1 íîì	=		220	= 1287;
	4,44 f SñBm				50 1 7,7 10−4
			4,44

222

w	= w	U2	íîì	= 1287	36	= 210.
2	1 U1		íîì		220

Определяем номинальные токи в обмотках (пренебрегая потерями и током холостого хода):

I

1 íîì

=

Síîì

=

60

= 0,273 À; I

2 íîì

=

Síîì

=

60

= 167, À.

U1 íîì

220

U2 íîì

36

Вычисляем площади поперечных сечений проводов:

S	=	I1 íîì	=	0,273	= 01,09 ìì2; S	2	=	I2 íîì	=	167,	= 0,668 ìì2.
1		J	2,5					J	2,5

Принимаем стандартные сечения проводов и их диаметры:

S1 = 0,1134 ìì2; d1 = 0,38 ìì;

S2 = 0,6793 ìì2; d2 = 0,93 ìì.

Площадь окна трансформатора с учетом коэффициента заполнения

Sî.ðàñ÷	=	S1w1 + S2w2	=	0,1134 1287 + 0,6793 210	= 962 ìì2.
		Kî
			0,3

Выбираем стандартную пластину Ш20 (рис. 8.2, a = с = 20 ìì, h = 50 ìì, D = 80 мм, площадь окна

So = hс = 1000 ìì2 > Sî.ðàñ÷). Количество пластин находим по

расчетной площади сечения магнитопровода:

N =

Sc

=

770

= 77.

0,5 20

δa

Уточняем число витков вторич-

ной обмотки с учетом изменения

Ð è ñ . 8 . 2

вторичного напряжения в номи-

нальном режиме (β = 1) и при cosϕ2 = 1:

u ≈ β

Rê I1

íîì

cosϕ

2

+

Xê I1 íîì

sinϕ

2

100 =

2

U1 íîì

U1 íîì

=

Rê I1 íîì

100 =

62,8 0,273

100 = 7,8%.

U1 íîì

220

223

В этом выражении сопротивление короткого замыкания

R	= R + R′	= 2R = 2ρ	lñðw1	= 2 0,0172	0,16 1287	= 62,8 Îì,
ê	1 2	1	S1	0,1134

где ρ – удельное сопротивление меди; lñð – длина среднего витка первичной обмотки:

		Nδ						77 0,5
lñð	= 2 a + c +			= 2	20	+ 20	+			= 0,16 ì.
								0,94
		Kc

Уточненное число витков вторичной обмотки

w′	= w		+	u2		= 210(1	+ 0,078)	= 226 витков.
		1
2	2
				100

Задача 8.2. Для однофазного трансформатора, рассчитанного в задаче 8.1, определить ток и построить векторную диаграмму в режиме холостого хода.

Р е ш е н и е . Рассчитываем активную и реактивную составляющие тока холостого хода:

P

PóäG

1,2 1,095

Ix.a

=

x

=

=

= 0,006 À;

U1 íîì

U1 íîì

220

Ix.p

=

lñHñ + l0H0

=

18 2

+ 0,005 0,567 104

= 0,05 À,

1287

w1

ãäå Póä = 1,2 Вт/кг – удельные потери в стали при Вm = 1 Òë; G = = γcVc = 7,9 ∙ 138,6 = 1,095 кг – масса стали; lc= 18 см – длина сред-

ней магнитной линии; Hc= 2 А/см – напряженность магнитного поля в сердечнике, найденная по кривой намагничивания стали (см. рис. 8.1, а); l0= 0,005 см – эквивалентная длина воздушного зазора;

H	0	= B	( 2μ	0	) = 0,567 104	À/ñì –	напряженность магнитного
		m
поля в воздухе.
	Ток холостого хода Ix =					Ix.a2 + Ix.p2	= 0,0504 À.

Угол потерь в стали δ = arctg Iõ.à = 6,8 .

Iõ.ð

Активное сопротивление первичной обмотки найдено в задаче 8.1:

R1 = Rê2 = 62,82 = 31,4 Îì.

224

Индуктивное сопротивление первичной обмотки принимаем приближенно:

X1 ≈ 3R1 = 3 ∙ 31,4 = 94,2 Îì.

Находим падения напряжений на активном и индуктивном сопротивлениях первичной обмотки:

UR1 = R1Ix = 31,4 0,0504 = 1,58 Â;

Ux1 = X1Ix = 94,2 0,0504 = 4,75 Â.

Векторная диаграмма транс-
форматора приведена на рис. 8.3.
Задача 8.3. Определить пара-	Ð è ñ . 8 . 3
метры Г-образной (рис. 8.4, а) è
T-образной (рис. 8.4, б) ñõåì çàìå-

щения однофазного трансформатора мощностью Síîì = 16 кВ А, если данные опытов холостого хода и короткого замыкания сле-

дующие: U1 íîì = 220 Â, U2x = 130 Â, I1x = 2 À, Px = 75 Âò, U1ê = 10 Â, Рê = 250 Вт. Считать, что мощность потерь в первичной и вторич-

ной обмотках распределяется поровну.

Р е ш е н и е . Рассчитываем полное, активное и индуктивное сопротивления короткого замыкания:

Zê

=

U1ê

=

U1ê

=

10

= 0,137 Îì;

I1 íîì

Síîì U1 íîì

16 000 220

R

=

Pê

=

Pê

=

250

= 0,047 Îì;

ê

I 2

(

S

U

1 íîì )

2

16 000 220

)

2

1 íîì

íîì

(

Ð è ñ . 8 . 4

225

X	ê	=	Z2	− R2	= 0,1372 − 0,0472	= 0,128 Îì.
			ê	ê

Параметры ветви намагничивания:

Zõ	=	U1 íîì	=	220	= 110 Îì;
		Iõ
			2

Rx = Px = 75 = 18,75 Îì;

I1x2 22

Xõ = Zõ2 − Rõ2 = 108,4 Îì.

Определяем сопротивления первичной и вторичной обмоток в Т-образной схеме замещения:

R1 = R2′ = Rê = 0,047 = 0,0235 Îì;

22

X1 = X2′ = Xê = 0,128 = 0,064 Îì.

22

Задача 8.4. Определить токи в обмотках и напряжение на нагрузке Rí = 4,2 Ом трансформатора, данные которого приведены в

задаче 8.3.

Р е ш е н и е . Воспользуемся Т-образной схемой замещения (рис. 8.4, б), параметры которой рассчитаны в задаче 8.3.

Входное сопротивление трансформатора при заданной нагрузке

(R′

+ jX′

+ n2R )(R + jX

õ

)

= 11,8å j6,5

Z

= R + jX +

2

2

í

õ

Îì,

R′

+ jX′

+ n2R + R + jX

âõ

1

1

õ

2

2

í

õ

ãäå n = U1 íîì / U2x – коэффициент трансформации.

Ток первичной обмотки

I1 =

U

1 íîì

=

220

= 18,64å

− j

6,5

Zâõ

À.

11,8å j6,5

Приведенный ток вторичной обмотки

I′ = I

Rõ + jXõ

= 18,22å− j0,5

À.

1 R′

+ jX

′

+ n2R +

+ jX

2

R

õ

2

2

í

õ

Действительный ток вторичной обмотки

I 2

= −nI′2

= −

220

18,22å− j0,5 = 30,8å− j180,5

À.

130

226

Напряжение на нагрузке

U 2 = Rí I 2 = 4,2 30,8e– j180,5o = 129,3e– j180,5o À.

Задача 8.5. Для трехфазного трансформатора типа ТМ20/6 с

техническими данными Síîì = 20 ê À, U1 íîì = 6,3 êÂ, U2íîì = 0,4 êÂ, Рx = 180 Âò, Pê = 600 Âò, uê = 5,5%, ix = 9 %, группа соединения – 0

определить параметры Т-образной схемы замещения и коэффициент мощности первичной цепи при коэффициенте нагрузки β = 0,6 è cos ϕ2 = 0,8 (èíä.).

Решение. Все параметры схемы замещения трансформатора находим для одной его фазы.

Рассчитываем полное, активное и реактивное сопротивления короткого замыкания:

Zê

=

Uê.ô

=

U12

íîìuê

=

63002 5,5

= 109 Îì;

100Síîì

100 20 000

I1 íîì

P

P U 2

600 63002

R

=

ê

=

ê

1 íîì

=

= 59,5 Îì;

3I2

S2

20 0002

ê

1 íîì

íîì

Х

ê

= Z

2

− R2 = 1092 − 59,52 = 915, Îì.

ê

ê

Активное и индуктивное сопротивления первичной обмотки принимаем равными приведенным сопротивлениям вторичной обмотки:

R1 = R2′ = Rê2 = 29,75 Îì; X1 = X2′ = Xê2 = 45,75 Îì.

Определяем параметры ветви намагничивания схемы замещения:

U1ô

U

2

100

63002 100

Zõ

=

=

1 íîì

=

= 22 050 Îì;

I1õ

20 000 9

Síîìiõ

P

P

(U

1

íîì

100)2

180(6300 100)2

R

=

õ

=

õ

=

= 2205 Îì;

(S

i

)2

(20 000

9)2

õ

3I

2

1õ

íîì õ

Xõ = Zõ2 − Rõ2 = 21 939 Îì.

Приведенные сопротивления одной фазы нагрузки

Rí′ = n2Zícosϕ2 = 2645 Îì;

227

Xí′ = n2Zísinϕ2 = 1984Îì,

ãäå n = U1 íîìU2 íîì = 6,30,4 = 15,75 – коэффициент трансформации

		U2ô		U 2			4002
трансформатора; Zí	=		=		2 íîì	=		= 13,33 Îì –
		βI2 íîì
					βSíîì		0,6 20 000

полное сопротивление нагрузки трансформатора в заданном режиме.

Для нахождения угла сдвига фаз напряжения и тока первичной обмотки трансформатора определяем комплексное входное сопротивление одной его фазы (рис. 8.5):

Ð è ñ . 8 . 5

R

jX

õ )(

R′

+

jX′

+

R′

+

jX′

Z

= Z

å jϕ1

= R + jX +

(

õ +

2

2

í

í )

=

R

+

jX

+

R′

+ jX′

+ R′

+ jX′

âõ

âõ

1

1

õ

õ

2

2

í

í

= 3080åj43,3

Îì.

Таким образом, угол ϕ1 = 43,3° è cosϕ1 = 0,728.

Коэффициент мощности первичной цепи трансформатора может быть найден и без использования схемы замещения:

cosϕ

=

P1

=

P1

=

10

= 0,73.

1

S1

P12 + Q12

102 + 9,332

Здесь

P = βS

íîì

cosϕ

+ P + β2P

= 10 êÂò,

1

2

õ

ê

+ β2Q

i S

íîì

+ β2

Síîìuê.ð

Q = Q

2

+ Q

õ

ê

=

βS

íîì

sinϕ

2

+

õ

=

1

100

100

= 7,2 + 1,8 + 0,33 = 9,33 êâàð;

228

		uê2 − uê.à2 =	uê2		100P	2
	uê.ð =			−	ê		= 5,52 − 32 = 4,61%.
					Síîì

Задача 8.6. Однофазный трансформатор подключен к сети напряжением U = 380 В. Ток первичной обмотки I1 = 8 А, активная

мощность нагрузки вторичной цепи P2 = 2 кВт, КПД трансформатора η = 92%. Определить коэффициент мощности первичной цепи.

Решение. Находим активную и полную мощности первичной цепи трансформатора:

P =	P2	=	2	= 217, êÂò;	S	1	= U	I	1	= 3,04 ê À.
1	η		0,92				1

Коэффициент мощности первичной цепи

cosϕ1 = P1S1 = 217,3,04 = 0,714.

Задача 8.7. В табл. 8.1 приведены паспортные данные трехфазного трансформатора ТМ40/10.

								Ò à á ë è ö à 8 . 1
Síîì,		U1 íîì,	U2 íîì,	iõ, %	uê, %	Põ, Âò	Pê, Âò	Способ соединения
êÂ	À	êÂ	Â					обмоток
40		10	0,4	3	4,7	175	1000	/∆ – 11

Рассчитать напряжение на вторичной обмотке трансформатора U2 при активно-индуктивной и активно-емкостной нагрузках, составляющих 80% от номинальной (β = 0,8), и коэффициенте мощности cosϕ2 = 0,6 в обоих случаях.

Ð å ø å í è å . Номинальные напряжения – это линейные напряжения на зажимах трансформатора в режиме холостого хода, а номинальные токи – это линейные токи независимо от схемы соединения обмоток.

Определяем активную и реактивную составляющие падения напряжения в фазе трансформатора:

u

=

RêI1 íîì

100 =

PêI1 íîì

100 =

3I 2

3

ê.à

U

1

íîì

3

íîì

U

1

íîì

1

=

Pê 100

=

1000 100

= 2,5%;

Síîì

40 103

229