СБОРНИК ЗАДАЧ

Åñëè R = ∞ (холостой ход), то

	I =		E	= 0 è U = Е = 100 Â
		R0	+ R

(независимо от величины R0).

Åñëè R = 0 (короткое замыкание), то

I =		E	=	E	= Iê; U = 0.
	R0	+ R
				R0

Ïðè R0 = 1 Îì

Iê1 = 1001 = 100 À.

Ïðè R0 = 2 Îì

Iê2 = 1002 = 50 À.

Зависимость U(I) äëÿ R0 = 1 Ом представлена на рис. 1.5, б прямой 1, äëÿ R0 = 2 Ом – прямой 2.

Задача 1.6. Сопротивление обмотки электрического двигателя, выполненной из медного провода, в холодном состоянии (температура окружающей среды t1 = 20 °Ñ) R1 = 0,16 Ом; в нагретом состоянии (после длительного рабочего режима) R2 = 0,2 Ом. Определить рабочую температуру обмотки двигателя t2.

Р е ш е н и е . Температурная зависимость сопротивления проводов определяется соотношением

R2 = R1(1 + α(t2 − t1)),

где α – температурный коэффициент сопротивления; для меди α = = 0,004 1/°Ñ.

Находим рабочую температуру обмотки двигателя:

t	2	= t +	R2 − R1	= 20 +	0,2 − 016,	= 82,5 oÑ.
		1	αR1		0,004 0,16

Задача 1.7. Рассчитать площадь сечения и длину нихромового провода, а также плотность тока в нем для нагревателя мощностью 500 Вт при напряжении сети 220 В. Принять температуру окружающей среды равной 20 °С, рабочую температуру нихрома 400 °Ñ, êî-

эффициент теплоотдачи k = 7,5∙10–5 Âò/(ìì2 · °С), удельное сопротивление нихрома в нагретом состоянии ρ= 1,25 ìêÎì · ì.

10

Р е ш е н и е . По заданной мощности и напряжению сети определяем ток нагревателя и его сопротивление:

I =	P	= 2,28 À;	R =	U	= 96,5 Îì.
U				I

При установившемся режиме количество рассеиваемой ежесекундно теплоты kSïðθ равно количеству теплоты RI 2 , выделяемой током. Уравнение теплового равновесия имеет вид

RI 2 = kSïðθ,

ãäå k – коэффициент теплоотдачи, равный количеству теплоты, отдаваемой в окружающую среду с единицы площади поверхности провода в 1 с при разности температур провода и окружающей среды в 1°Ñ, Âò/(ìì2 · °Ñ); Sïð = πdl 103 – площадь поверхности охлаждения провода, мм2, приближенно равная боковой поверхности цилиндрического провода; θ – разность температур нагрева нихрома и окружающей среды.

После подстановки в уравнение теплового равновесия P = ρl/S è S = πd2 4 определяем требуемый по условиям нагрева диаметр

	провода:
	d = 3	4I 2ρ		= 3	4 2,282	1,25	= 0,45 ìì.
		π2kθ	103		314,2 7,5 10−5	380 103

Этому диаметру соответствуют площадь сечения S = 0,16 ìì2 и плотность тока J = I/S = 14,3 À/ìì2.

Длина нихромового провода

= RS = 96,5 016, =

l 12,4 ì.

ρ1,25

Задача 1.8. К источнику напряжением 220 В последовательно подключены две лампы накаливания с номинальным напряжени-

åì Uíîì = 110 В и номинальной мощностью P1 íîì = 60 Âò, P2 íîì = = 200 Вт. Определить напряжение и мощность каждой лампы, счи-

тая их сопротивления постоянными.

Р е ш е н и е . Для определения напряжения на зажимах каждой лампы находим их сопротивления по номинальным данным:

R	=	Uíîì2	=	1102	= 202 Îì;	R	=	Uíîì2	=	1102	= 60,5 Îì.
1		P1 íîì	60			2		P2 íîì	200

Тогда ток цепи

11

	I =		U	=	220	= 0,84	À,
		R1	+ R2		202 + 60,5

а напряжения на зажимах ламп соответственно равны:

U1 = R1I = 169,2 Â; U2 = R2I = 50,8 Â.

Как видим, последовательное соединение приемников различ- ной мощности в данном случае недопустимо, так как один из них находится под повышенным напряжением, другой – под пониженным. Мощность каждого из них при этом отличается от номинальной:

P = U		I = R I 2= 142 Âò;	P	= U	2	I = R I 2= 42,7 Âò.
1	1	1	2			2

Задача 1.9. В цепи (рис. 1.6) с помощью ключей K1 и K2 изменяется режим резистора сопротивлением R3. При разомкнутых ключах К1, К2 вольтметр показывает напряжение холостого хода Uõ на зажимах cd. При замкнутых ключах амперметр показывает ток короткого замыкания Iê. Доказать, что при замкнутом ключе

K1 и разомкнутом ключе К2 (рабочий режим) ток

I3

=

Ux

.

R3

+ Ux

Iê

Ðè ñ . 1 . 6

Ðе ш е н и е . По закону Ома при разомкнутых ключах К1, К2 напряжение холостого хода

Ux = R2Ix = R2		E
			.
	R + R
1		2

12

При замкнутых ключах ток короткого замыкания Iê = ER1 . В рабочем режиме (ключ K1 замкнут, ключ K2 – разомкнут) ток

резистора

I

3

=

Ucd

=

R23I

=

R2R3

I

=

R2

E

.

+ R

R

R

R + R R R

R +

R2R3

3

3

2 3

3

2

3

1

R2

+ R3

Учитывая записанные выражения для Ux , Iê , получаем:

R2

E

I3

=

R + R

=

U

õ

.

1

2

R

+

R2E

R1

R

+

Uõ

3

R1

+ R2 E

3

Iê

Последнее соотношение обычно приводится в виде

	I3	=		Ux	,
			R3	+ Râõ

ãäå Râõ = UxIê – входное сопротивление цепи относительно за-

жимов cd при короткозамкнутых источниках ЭДС и разомкнутой ветви с сопротивлением R3. Значение Râõ определяется по данным опытов холостого хода и короткого замыкания или расчетом. Для заданной схемы

Râõ = R1R2 .

R1 + R2

Задача 1.10. Â öåïè (ðèñ. 1.7) R1 = 10 Îì, R2 = 30 Îì, R3 = 20 Îì, R4 = 40 Ом. Определить ЭДС Е, при которой напряжение Uab = 5 Â.

Р е ш е н и е . По второму закону Кирхгофа

0 = R1I1 + Uab − R4I2, тогда Uab = R4I2 − R1I1 .

Òîêè I1 è I2 в ветвях цепи выразим по закону Ома:

I1

=

E

; I2

=

E

.

R1

+ R2

R3

+ R4

Ð è ñ . 1 . 7

13

Подставив полученные выражения в уравнение для напряже-

íèÿ Uab, будем иметь:				R4			R1
	Uab =
		E			–				,
				+ R4		R1
		R3					+ R2
откуда
E =			Uab						= 12 Â.
	R4 (R3	+ R4) − R1 (R1 + R2)

Задача 1.11. Для питания потребителя электроэнергии мощностью 20 кВт при напряжении 220 В используется двухжильный медный кабель длиной 100 м, проложенный открыто. Относительная допустимая потеря напряжения ∆U% = 5%. Выбрать площадь сечения жилы кабеля.

Р е ш е н и е . По заданному значению потери напряжения находим площадь сечения:

S =	200ρlP	=	200 0,017 100 20 000	= 29 ìì2.
U 2 U%			2202 5

Округляем это значение до ближайшего большего стандартного (35 мм2). Проверяем сечение на нагрев: по условиям нагрева рабо- чий ток потребителя Ip = PU = 91 А должен быть меньше или равен длительно допустимому току (Ip ≤ Iäîï ) . По таблице длительно допустимых токовых нагрузок на кабели с медными жилами, проложенные открыто, допустимый ток равен 150 А (91 А < <150 А), значит, площадь сечения S = 35 ìì2 удовлетворяет условию нагрева.

Задача 1.12. Источник с ЭДС Е = 230 В и внутренним сопро-

тивлением R0 = 0,2 Ом соединен линией электропередачи сопротивлением Rë = 0,8 Ом с нагрузкой, потребляющей мощность

Pí = 2,2 кВт. Определить КПД линии электропередачи.

Р е ш е н и е . Электрическая мощность источника ЭДС равна сумме мощности нагрузки Pí и мощности потерь R0I 2 в источнике и в линии RëI 2 , выделяемых в них в виде теплоты,

EI = Pí + R0I 2 + RëI 2

èëè

230I = 2200 + (0,2 + 0,8)I2.

14

Решение квадратного уравнения дает два значения тока: I1 = 10 À è I2 = 220 А. Следовательно, заданный режим возможен при двух различных сопротивлениях нагрузки:

R	=	Pí	=	2200	= 22 Îì;	R	=	Pí	= 0,0454 Îì.
		I 2						I 2
í1			102			í2
	1						2

При этом КПД линии электропередачи неодинаков:

η1 =

Pí

=

Rí1

=

22

= 0,965 ;

P

+ R I 2

Rí1 + Rë

22 + 0,8

í

ë

1

η2 =

Pí

=

Rí2

=

0,0454

= 0,0537.

P

+ R I 2

Rí2 + Rë

0,0454 + 0,8

í

ë

2

В энергетическом отношении второй режим неприемлем. Задача 1.13. Линия постоянного тока выполнена медными изо-

лированными проводами, проложенными в трубах. Рабочий ток линии Ið = 85 А. Напряжение источника U= 230 В. Длина линии l = 50 м. Допустимая потеря напряжения ∆U% = 5%. Выбрать площадь сечения проводов.

Р е ш е н и е . Площадь сечения проводов линии по допустимой потере напряжения

	S =	200ρl Ið	=	200 0,017	50 85	= 12,7	2	.
							ìì
		U U%		230 5

Принимаем ближайшее стандартное S = 16 ìì2. Выполним проверку принятого сечения по условию нагрева. Нагрев не превысит допустимого, если Iäîï ≥ Ið , ãäå Iäîï – длительно допустимый ток по таблице длительно допустимых нагрузок током. Из этой таблицы для медных проводов площадью сечения S = 16 ìì2, проложенных в трубах, Iäîï = 75 А , что меньше Ið = 85 А . Следовательно, по условию нагрева S = 16 ìì2 не подходит. По той же таблице выбираем ближайшую большую площадь сечения S = 25 ìì2, äëÿ

которой Iäîï = 100 À > Ið = 85 А. Таким образом, в данном слу- чае условие нагрева является определяющим. Проверка выбранно-

го сечения на потерю напряжения не требуется, поскольку для S = 25 ìì2 эта потеря заведомо меньше допустимой.

Задача 1.14. Определить ток, проходящий через тело человека, который коснулся оголенного провода незаземленной двухпроводной ЛЭП постоянного тока (рис. 1.8, а), åñëè:

15

Ðè ñ . 1 . 8

1)сопротивления изоляции проводов относительно земли R1 =

=R2 = 100 êÎì;

2)сопротивления изоляции снизились до значения R1 = R2 =

=10 êÎì;

3)произошло глухое замыкание провода 1 на землю, а R2 =

=100 êÎì.

Сопротивление R тела человека принять равным 1 кОм.

Р е ш е н и е . 1. Расчетная схема представляет собой смешанное соединение сопротивлений (рис. 1.8, б), и ток, проходящий через тело человека, определяется выражением

					I =		R2		I = 216, ìÀ,
							R + R
								1
							2
	ãäå I1	=		U			= 218,	ìÀ.
			R1	+ R2R	(R2 + R)
	2.	В случае			ухудшения			изоляции аналогично получаем:

I= 20,2 ìÀ.

3.При глухом замыкании провода 1 на землю (R1 = 0) человек

находится под напряжением U = 220 В, тогда I = UR = 220 мА. Пороговое значение неотпускающего постоянного тока состав-

ëÿåò 50 ìÀ.

Задача 1.15. Для контроля изоляции проводов двухпроводной незаземленной ЛЭП постоянного тока используется вольтметр с сопротивлением Rv = 50 кОм (рис. 1.9). Результаты трех измере-

íèé: U = 220 Â, U1 = 60 Â, U2 = 40 В. Определить сопротивление изоляции R1 è R2 каждого из проводов по отношению к земле.

Р е ш е н и е . По первому закону Кирхгофа (рис. 1.9) IV + I1 = I2

16

èëè

U1	+	U1	=	U − U1	.	(1)
RV		R1		R2

Аналогичное уравнение получаем для режима, когда вольтметр подключен между вторым проводом и землей:

U2	+	U2	=	U − U2	.	(2)	Ð è ñ . 1 . 9
RV		R2
				R1

Совместное решение уравнений (1) и (2) дает:

R1 = RV U − U1 − U2 = 150 êÎì;

U2

R2 = RV U − U1 − U2 = 100 êÎì.

U1

Эквивалентное сопротивление изоляции ЛЭП относительно земли

	R =	R1R2		= 60 êÎì.
		R1	+ R2

Задача 1.16. Â öåïè (ðèñ. 1.10) U = 72 Â, R1 = R2 = 3 Îì, R3 = = 12 Îì, R4 = 6 Îì, R5 = 4 Ом. Определить токи в ветвях при разомкнутом и замкнутом ключе К.

Р е ш е н и е . При разомкнутом ключе К общее сопротивление цепи

R = R1 + Rad =

= R1 + (R2 + R3 )(R4 + R5 ) = 9 Îì.

R2 + R3 + R4 + R5

Определяем токи в ветвях:

	I1 = U R = 72 9 = 8 À;
I2 = I3	=	Uab	= U − R1I1 = 3,2 À;	Ð è ñ . 1 . 1 0
		R2 + R3	R2 + R3

17

	I4 = I5	=	Uab		= 4,8 À.
			R4 + R5
	При замкнутом ключе общее сопротивление цепи
	R = R1 + Rab + Rbd = R1 +	R2R4		+	R3R5		= 3	+ 2 + 3	= 8 Îì.
		R2 + R4			R3 + R5

Общий ток

I1 = UR = 9 А. Напряжения на участках:

U	ab	= R I =		R2R4		I = 2 9 = 18 Â;
		ab	1	R + R 1
				2	4
		Ubd	= Rbd I1 = 3 9 = 27 Â.

Находим токи в ветвях:

I2 = UabR2 = 6 À; I3 = Ubd R3 = 2,25 À;

I4 = UabR4 = 3 À; I5 = Ubd R5 = 6,75 À.

Задача 1.17. Определить напряжение на зажимах источника U (рис. 1.11), если известны сопротивления всех ветвей: R1 = 60 Îì,

R2 = 100 Îì, R3 = 50 Îì, R4 = 25 Îì, R5 = 50 Îì è òîê I5 = 0,1 А. Проверить баланс мощности.

Р е ш е н и е . Напряжение на участке cd

Ucd = R5I5 = 5 Â.

Тогда I4 = Ucd R4 = 0,2 À.
	Òîê I3	определяем по пер-
	вому закону		Кирхгофа	äëÿ
	óçëà с:
	I3 = I4 + I5 = 0,3 À.
	Напряжение на участке			bd
	находим	ïî	второму закону
Ð è ñ . 1 . 1 1	Кирхгофа:

18

Ubd = R3I3 + R4I4 = 20 Â.

Òîê I2 = Ubd R2 = 0,2 А. Общий ток цепи I1 = I2 + I3 = 0,5 А. Напряжение на входе цепи U = R1I1 + Ubd = 50 В. Мощность, от-

даваемая источником, Pèñò = UI1 = 25 Вт. Мощность, потребляемая приемниками,

Pïð = R1I12 + R2I22 + R3I32 + R4I42 + R5I52 = 25 Âò.

Уравнение баланса мощностей Pèñò = Pïð = 25 Âò.

Задача 1.18. В цепи (рис. 1.12) второй ваттметр показывает P2 = 40 Вт. Сопротивления R = 6 Îì, R1 = 20 Îì, R2 = 10 Îì, R3 = = 20 Ом. Определить показания остальных приборов.

Ð è ñ . 1 . 1 2

Р е ш е н и е . Мощность, учитываемая вторым ваттметром, P2 =
= R I 2		. Отсюда
2	2

I2 = P2R2 = 2 А. Напряжение на участке cb

Ucb = (R2 + R3 )I2 = 60 Â.

Ток в ветви R1

I1 = UcbR1 = 3 А. Общий ток (показание амперметра)

I = I1 + I2 = 3 + 2 = 5 À.

Напряжение (показание вольтметра)

Uab = Ucb + RI = 60 + 6 5 = 90 Â.

19