СБОРНИК ЗАДАЧ

Электродвижущая сила эквивалентного генератора равна напряжению между точками а è b при разомкнутой ветви с нелинейным элементом (рис. 1.25, в):

	Eý = Uab x = R2Ix =	R2U		=	60	12	= 9 Â.
		R1	+ R2		20	+ 60

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно входному сопротивлению цепи относительно точек а è b при разомкнутой ветви с нелинейным элементом и закороченном источ- нике питания (рис. 1.25, г):

	Rý = Râõ =	R1R2		=	20	60	= 15 Îì.
		R1	+ R2		20	+ 60

Дальнейший расчет выполняем графическим методом. На рис. 1.25, б строим ВАХ линейного сопротивления Râõ (прямая Râõ). Затем, суммируя абсциссы характеристик Râõ и НЭ, получаем результирующую ВАХ (Râõ + НЭ) последовательной цепи (рис. 1.25, д). По результирующей кривой определяем ток, соответствующий ЭДС Eý = 9 В (точка с), и искомое напряжение на нелинейном элементе Uab = 7 В (точка d).

Контрольные задачи

Задача 1.34. При последовательном соединении двух реостатов сопротивлениями R1 è R2 мощность, расходуемая во втором реостате, оказалась в 2 раза больше мощности, расходуемой в первом. Каково будет соотношение мощностей, расходуемых в реостатах, при их параллельном соединении?

Задача 1.35. В неразветвленной цепи (рис. 1.26) E1 = 48 Â, E2 = = 20 В, а сопротивления R1 = 4 Îì, R2 = 3 Ом. Определить напряжение между точками а è b.

Задача 1.36. К источнику постоянного тока напряжением 220 В подключена электрическая печь мощностью 2 кВт. Нагреватель- ный элемент печи выполнен из константа- новой проволоки диаметром 1 мм. Удельное сопротивление константана ρ = = 0,5 мкОм м. Определить длину прово-

локи, плотность тока в ней, а также суточ- ный расход электроэнергии при непрерыв-

Ð è ñ . 1 . 2 6	ной работе печи.

40

Задача 1.37. Рассчитать диаметр и длину нихромовой проволоки для нагревательного элемента электрической плитки мощностью 600 Вт. Удельное сопротивление нихрома в нагретом состоянии ρ = 13, мкОм м, допускаемая плотность тока 8 А/мм2. Напряжение сети 220 В.

Задача 1.38. Если два резистора, соединенных последовательно, включить в сеть напряжением 120 В, то ток в цепи будет равен 4,8 А. Если же резисторы соединить параллельно и включить в ту же сеть, то общий ток нагрузки будет равен 20 А. Чему равны сопротивления резисторов?

Задача 1.39. Милливольтметр на номинальное напряжение 100 мВ имеет сопротивление 5 Ом. Каково должно быть сопротивление шунта к этому прибору, чтобы его можно было применять в каче- стве амперметра для измерения токов до 50 А?

Задача 1.40. Определить сопротивление добавочного резистора, который нужно включить последовательно с милливольтметром (см. задачу 1.39), чтобы им можно было измерить напряжение 150 В.

Задача 1.41. Три потребителя, сопротивления которых равны R, 2R è 3R, включены параллельно в сеть напряжением 120 В. Общая потребляемая мощность 240 Вт. Определить сопротивление R и мощность каждого потребителя.

Задача 1.42. Имеется двухпроводная изолированная сеть постоянного тока напряжением 220 В. Нормальное сопротивление изоляции каждого полюса сети по отношению к земле 100 кОм. Вследствие увлажнения сопротивление изоляции одного полюса уменьшилось до 10 кОм. Прикосновение к какому из полюсов – с нормальной или ухудшенной изоляцией – опаснее для человека, стоящего на влажном бетонном полу? При каком минимальном сопротивлении «поврежденного» полюса сети ток, проходящей че- рез человека при его прикосновении к полюсу с нормальной изоляцией, не превысит 10 мА? Принять сопротивление человека R = = 1 êÎì.

Задача 1.43. Под напряжение 120 В последовательно включе- ны две лампы накаливания. Вольтметр, имеющий сопротивление 2000 Ом, поочередно подключается параллельно каждой лампе. Показания вольтметра при этом одинаковы и равны 50 В. Определить сопротивление каждой лампы.

Задача 1.44. При коротком замыкании источник ЭДС развивает мощность 100 Вт. Какую наибольшую мощность может отдать этот источник во внешнюю цепь?

41

Задача 1.45. К зажимам аккумулятора, ЭДС которого 12 В и внутреннее сопротивление 3 Ом, постоянно присоединена нагрузка сопротивлением 9 Ом. При каком сопротивлении реостата, включенного параллельно нагрузке, в нем будет развиваться наибольшая мощность? Чему равна эта мощность?

Задача 1.46. Двухпроводная линия длиной 74 м, выполненная из медного провода, площадь сечения которого 25 мм2, питает электродвигатель. Напряжение в начале линии 230 В. Определить напряжение на зажимах электродвигателя, если потребляемая им мощность 20 кВт. Принять удельное сопротивление меди ρ = 0,0185 мкОм м.

Задача 1.47. Лампа накаливания, сопротивление которой 242 Ом, питается от электрической сети по двухпроводной линии из медного провода (ρ = 0,0185 мкОм м). Длина линии 100 м, площадь сечения провода 1,5 мм2. Определить, на сколько процентов снизится напряжение на лампе, если параллельно ей включить нагревательный прибор сопротивлением 48,4 Ом. Сопротивление лампы накаливания считать постоянным.

Задача 1.48. Для измерения температуры применяется неуравновешенная четырехплечая мостовая цепь, в противоположные плечи которой включены два одинаковых медных терморезистора, помещенных в одну и ту же среду. В остальные плечи включены резисторы сопротивлениями R1 = R2 = 100 Ом. Сопротивление терморезисторов связано с температурой следующей зависимостью:

Rt = 100(1 + 0,00426t) Îì.

В одну диагональ моста включен источник питания U = 1,5 В, во вторую – миллиамперметр сопротивлением RÀ= 10 Ом. Начертить схему моста. Определить температуру терморезисторов, если миллиамперметр показывает 2 мА.

Задача 1.49. Â öåïè (ðèñ. 1.27) E1 = 100 Â, E2 = 35 В, а сопро-

тивления R1 = R2 = R3 = R4 = 40 Îì, R5 = 30 Ом. Определить, при каком значении сопротивления R6 ток в ветви с источником ЭДС Е2 будет равен нулю. Найти все токи.

Задача 1.50. Â öåïè (ðèñ. 1.28) Е1 = 120 Â, R01 = 2 Îì, Е2 = 88 Â,

R02 = 8 Îì, R1 = R2 = 12 Îì, R3 = 4 Îì, R4 = 2 Ом. Записать уравнения по законам Кирхгофа для определения токов в ветвях схе-

мы. Определить токи в ветвях методом контурных токов. Найти напряжения U1 è U2 на зажимах источников.

42

Ð è ñ . 1 . 2 7

Ð è ñ . 1 . 2 8

Задача 1.51. Две батареи, ЭДС которых равны 4,0 и 4,5 В, а внутренние сопротивления – по 0,1 Ом, соединены параллельно и работают на общую нагрузку. Если ток первой батареи равен 5 А, то чему равен ток нагрузки?

Задача 1.52. Â öåïè (ðèñ. 1.29) Е1 = E2 = Е3 = 100 Â, R1 = R2 = 20 Îì, R3 = 10 Ом. Определить показание вольтметра, сопротивление которого считать равным бесконечности.

Задача 1.53. В цепи (рис. 1.29) вместо вольтметра включен амперметр, сопротивление которого можно считать равным нулю. Параметры элементов цепи взять из условия задачи 1.52. Определить показание амперметра.

Ð è ñ . 1 . 2 9

Ð è ñ . 1 . 3 0

Задача 1.54. Определить мощности, отдаваемые каждым источ- ником в цепи, приведенной на рис. 1.30, если E1 = 40 Â, E2= 20 Â, E3 = 10 Â, R = 10 Îì.

Задача 1.55. В цепи (рис. 1.30) определить методом эквивалентного генератора ток в ветви с источником ЭДС Е1. Параметры элементов цепи взять из условия задачи 1.54.

Задача 1.56. Лампа накаливания, рассчитанная на номинальное напряжение 127 В, подключена последовательно с реостатом к сети напряжением 220 В. Вольт-амперная характеристика лампы приведена на рис. 1.31 (кривая 1). Сопротивление реостата подо-

43

брано таким образом, что напряжение на лампе равно 127 В. Определить сопротивление реостата.

Задача 1.57. Параллельно лампе накаливания, ВАХ которой приведена на рис. 1.31 (кривая 1), включен реостат сопротивлением R = 160 Ом. При каком напряжении сети мощности лампы и реостата окажутся одинаковыми?

Ð è ñ . 1 . 3 1

Ð è ñ . 1 . 3 2

Задача 1.58. Определить мощность, выделяющуюся в лампе накаливания (рис. 1.32), если к цепи приложено напряжение U = = 120 В. Сопротивления R1 = 100 Îì, R2 = 400 Ом. Вольт-амперная характеристика лампы приведена на рис. 1.31 (кривая 1).

Задача 1.59. Два нелинейных элемента, ВАХ которых приведены на рис. 1.31, соединены параллельно. Какое минимальное сопротивление должен иметь резистор, включенный последовательно с источником питания, чтобы ток любого из нелинейных элементов не превышал 0,7 А? Напряжение источника питания 120 В.

Задача 1.60. Два нелинейных элемента, ВАХ которых приведены на рис. 1.31, и резистор соединены последовательно. Какое ми-

					нимальное сопротивление должен иметь
					резистор, чтобы напряжение на любом
					из нелинейных элементов не превышало
					50 В? Напряжение источника питания
					100 Â.
					Задача 1.61. Â öåïè (ðèñ. 1.33) U =
					= 100 Â, R1 = R3 = 40 Îì, R2 = R4 = 60 Îì.
					Вольт-амперная характеристика нелиней-
					ного элемента приведена на рис. 1.31 (кри-
					âàÿ 1). Определить мощность, выделяю-
Ð è ñ . 1 . 3 3					щуюся в нелинейном элементе.

44

Ответы к контрольным задачам

1.34. Р1 : Р2 = 2. 1.35. 32 Â. 1.36. 38 ì, 11,6 À/ìì2, 48 êÂò·÷. 1.37. 0,66 ìì, 21,2 ì. 1.38. 15 Îì, 10 Îì. 1.39. 2∙10–3 Îì. 1.40. 7495 Îì. 1.41. 110 Îì, 130,91 Âò, 65,45 Âò, 43,64 Âò. 1.42. С нормальной изоляцией; 20,8 кОм. 1.43. 800 Îì. 1.44. 25 Âò. 1.45. 2,25 Îì, 9 Âò. 1.46. 220 Â. 1.47. Íà 4,5%. 1.48. t1 = 98 °C, t2 = – 54 °C. 1.49. R6 = 165 Îì, I1 = 1,52 À, I6 = 0,212 À. 1.50. I1 = 12 À, I2 = 2 À, U1 = 96 Â, U2 = 72 Â. 1.51. 15 À. 1.52. 50 Â. 1.53. 10 À. 1.54. Р1 = 360 Âò, Р2 = 180 Âò, Р3 = 0. 1.55. 9 À. 1.56. 155 Îì. 1.57. 85 Â. 1.58. 27 Âò. 1.59. 16 Îì.

1.60. 200 Îì. 1.61. 2 Âò.

2. ОДНОФАЗНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Задачи с решениями

Задача 2.1. Прямоугольная катушка, состоящая из w = 54 витков, вращается с постоянной частотой n = 3000 об/мин в однородном магнитном поле с индукцией B = 1 Тл. Ширина катушки d = 0,1 м, длина l = 0,2 м. Записать уравнение для мгновенного значения ЭДС в катушке и определить ее действующее значение.

Р е ш е н и е . При вращении катушки в однородном магнитном поле в ней возникает синусоидальная ЭДС

e = 2Blvwsinωt = Emsinωt,

(1)

ãäå v = πdn60 – скорость катушки, м/с; ω = 2πf – угловая частота вращения катушки, рад/с; Em – амплитудное значение ЭДС, В.

Поскольку одному обороту катушки соответствует один период ЭДС, то число периодов в секунду (частота) равно числу оборотов катушки в секунду, т.е.

f =	n	=	3000	= 50 Ãö.
60		60

Подставив в формулу (1) числовые значения, получим:

e = 2 1 0,2π 01, 3000 54sin314t = 340sin314t Â. 60

Действующее значение синусоидальной ЭДС

		1	Т	Em		340
	E =		∫e2dt =		=		= 240 Â.
	T		0	2	2

Задача 2.2. Электрический ток изменяется по синусоидальному закону с амплитудой Im = 10 А и частотой f = 50 Гц. Через какой минимальный промежуток времени от начала периода мгновенное значение тока с нулевой начальной фазой численно равно: действующему значению тока (i1 = I) ; òîêó i2 = – 5 À?

Р е ш е н и е . На рис. 2.1 приведена диаграмма i(t) синусоидального тока

i = Imsin2πft.

(2)

46

Ð è ñ . 2 . 1

Действующее значение синусоидального тока

		1	Т	Im
	I =		∫i2dt =		= 7,07 À.
	T		0	2

Искомые промежутки времени t1 è t2 определяем, подставляя в уравнение (2) значения токов i1 = I = 7,07 À è i2 = – 5 À:

i1 = Imsin2πft1, 7,07 = 10 sin314t1;

i2 = Imsin2πft2, – 5 = 10 sin314t2,

откуда

	t =	arcsin(i1	Im )	=	arcsin0,707	=	0,785		= 0,0025 ñ;
	1	2πf	314			314
t2	= π − arcsin(i2		Im ) = π − arcsin( − 0,5) =					3,66		= 0,01166 ñ.
		2πf	314			314

Задача 2.3. Катушка с активным сопротивлением R = 20 Ом и индуктивностью L = 125 мГн подключена к источнику напряжением u = 311sin(314t + 30 ) Â (ðèñ. 2.2, а). Определить показания электромагнитных приборов, активную, реактивную и полную мощности, коэффициент мощности. Построить векторную диаграмму, треугольники сопротивлений и мощностей. Записать выражения для мгновенных значений тока, активной и реактивной составляющих напряжения.

47

Ðè ñ . 2 . 2

Ðе ш е н и е . Индуктивное сопротивление катушки

XL = ωL = 314 125 10−3 = 39,3 Îì.

Полное сопротивление катушки

Z = R2 + XL2 = 202 + 39,32 = 44 Îì.

Действующее значение напряжения (показание вольтметра) U = Um 2 = 311 2 = 220 Â.

Действующее значение тока (показание амперметра)

I = UZ = 22044 = 5 А. Активная мощность

P = UI cosϕ = 220 5 0,455 = 500 Âò

èëè

P = RI 2 = 20 25 = 500 Âò,

где коэффициент мощности cosϕ = RZ = 0,455 (ϕ = 63 ) . Реактивная мощность

Q = UIsinϕ = 220 5 0,893 = 983 âàð

èëè

Q = XLI 2 = 39,3 25 = 983 âàð, ãäå sinϕ = XLZ = 0,893.

48

Полная мощность

S = UI = P2 + Q2 = 1100 Â · À.

Для построения векторной диаграммы (рис. 2.2, б) определяем активную и индуктивную составляющие напряжения:

Ua = RI = 100B; Up = XLI = 196 Â.

Начинаем построение с вектора тока I , затем откладываем активную составляющую напряжения U a , совпадающую по фазе с током, и индуктивную U p , опережающую ток по фазе на 90°. Треугольники сопротивлений и мощностей приведены на рис. 2.2, в.

Запишем выражения для мгновенных значений тока i , активной ua и реактивной up составляющих напряжения:

i = 5 2sin(314t + 30 − 63 ) = 7,05sin(314t − 33 ) À;

ua = 100 2sin(314t – 33 ) Â;

up = 196 2sin(314t − 33 + 90 ) = 276sin(314t + 57 ) Â.

Задача 2.4. В схеме, приведенной на рис. 2.3, а, R = 10 Îì, C = = 136 ìêÔ, u = 179sin(314t + 45 ) В. Определить показания приборов. Рассчитать реактивную, полную мощности и угол сдвига фаз напряжения и тока. Построить векторную диаграмму и диаграммы i(ωt), u(ωt). Записать выражения для мгновенных значе- ний тока цепи i и падения напряжения на реостате (uR ) и конденсаторе (uC ) .

Ð è ñ . 2 . 3

49