СБОРНИК ЗАДАЧ

X2 = 10 Ом. Определить токи, активную, реактивную и полную мощности каждой ветви цепи. Проверить баланс активных и реактивных мощностей. Построить векторную диаграмму токов

èнапряжений.

Ðе ш е н и е . Используя метод проводимости, заменим схему, представленную на рис. 2.28, а, эквивалентной последовательной схемой (рис. 2.28, б).

Ð è ñ . 2 . 2 8

Вначале определяем активную, реактивную и полную проводимости параллельных ветвей:

g1 =

R1

= 0,03 Ñì;

b1 =

X1

= 0,04 Ñì;

R2

+ X2

R2

+ X2

1

1

1

1

y

=

g2

+ b2

= 0,05 Ñì;

1

1

1

g2 =

R2

= 0,04 Ñì;

b2 =

X2

= 0,02 Ñì;

R2

+ X2

R2

+ X2

2

2

2

2

y

2

=

g2 + b2

= 0,0447 Ñì.

2

2

Затем находим эквивалентную активную, реактивную и полную проводимости параллельного участка цепи:

gab = g1 + g2 = 0,07 Ñì; bab = b1 − b2 = 0,02 Ñì (èíä.);

yab = gab2 + bab2 = 0,0726 Ñì.

80

Вычисляем активное, реактивное и полное сопротивления параллельного участка:

R =	gab	= 13,2 Îì; X	ab	=	bab	= 3,78 Îì;
ab	yab2				yab2

Zab = Rab2 + Xab2 = 13,7 Îì.

Теперь схему можно заменить эквивалентной, в которой все сопротивления включены последовательно (рис. 2.28, б).

Общий ток цепи

I =	U	=			U				=	220	= 10 À.
	Z		(R0	+ Rab )	2	+ (X0	+ Xab )	2	22

Напряжение на участке ab

Uab = ZabI = 137 Â.

Находим токи в параллельных ветвях:

I1 = y1Uab = 6,85 À; I2 = y2Uab = 6,12 À.

Рассчитываем активные, реактивные и полные мощности в ветвях цепи:

P0 = R0I 2 = 540 Âò; Q0 = X0I 2 = 800 âàð;

S0 = P02 + Q02 = 965 Â À;

P1 = R1I12 = 567 Âò; Q1 = X1I12 = 750 âàð;

S1 = P12 + Q12 = 938 Â À;

P2 = R2I22 = 753 Âò; Q2 = X2I22 = 372 âàð;

S2 = P22 + Q22 = 835 Â À.

Мощности, потребляемые цепью от источника:

P = UIcosϕ = 1860 Âò; Q = UIsinϕ = 1178 âàð;

81

	S = UI =		P2 + Q2 = 2200 Â À,
ãäå cosϕ =	R0 + Rab	= 0,845; sinϕ =		X0 + Xab	= 0,535.
	Z			Z

Проверка баланса мощностей показывает, что P = P0 + P1 + P2,

Q = Q0 + Q1 − Q2.

При построении векторной диаграммы (рис. 2.29) за исходный

вектор целесообразно принять вектор напряжения U ab , одинако-

вого для обеих параллельных ветвей. Ток I1 отстает от

U ab íà

óãîë ϕ1 = arctgX1

R1

= 53° ,

òîê

опережает

I 2

U ab íà óãîë

ϕ

= arctg − X

2

R

= −26°30′ . Общий ток I , равный векторной сум-

2

2

ме токов I1

è I 2 , отстает по фазе от напряжения U ab

íà óãîë

ϕab = arctgXab

Rab = 16° .

Для построения вектора напряжения U , приложенного к цепи,

определяем падения напряжения на активном (R0) и индуктивном

(X0) сопротивлениях неразветвленного участка цепи:

UR = R0I = 54 Â; UL = X0I = 80 Â .

Поскольку U = U ab + U R + U L , то с конца вектора U ab

парал-

проводим вектор

лельно вектору тока I

U R , затем с конца вектора

U R

проводим вектор U L , опережающий

I íà 90°. Соединив точку 0 с концом век-

òîðà U L , получим вектор напряжения U ,

опережающего по фазе ток I íà óãîë

ϕ = arccos

R0 + Rab

= 32°20′.

Z

Задача может быть решена более рацио-

нально комплексным методом.

Запишем комплексные сопротивления

участков цепи:

Z0 = R0 + jX0 = 5,4 + j8 =

=

(5,4)2 + 82 å jarctg(8 5,4)

= 9,65e j56 Îì;

Z

1

= R

+ jX

= 12 + j16 = 20e j53 Îì;

Ð è ñ . 2 . 2 9

1

1

82

Z

2

= R − jX

2

= 20

− j10 = 22,4e− j26 30′

Îì;

2

Zab

=

Z

1

Z

2

=

20å j53

22,4å− j26 30′

=

448å j26 30′

=

448å j26 30′

=

Z1

+ Z2

12 + j16 + 20

− j10

32 + j6

32,6å j10

30′

= 13,7å j16

= 13,7cos16 + j13,7sin16 = (13,2 + j3,78) Îì.

Комплексное сопротивление всей цепи

Z = Z0 + Zab

= 18,6

+ j11,78 = 22å j32 20′

Îì.

Совмещаем вектор напряжения U с осью действительных вели- чин, тогда комплексное действующее значение общего тока цепи

I =		U		=	220	= 10å− j32 20′ À.
					22å j32 20′
		Z

Комплексное действующее значение напряжения на участке ab U ab = Zab I = 13,7å j16 10å− j32 20′ = 137å− j16 20′ Â.

Комплексные выражения токов в параллельных ветвях:

I1 =

U

ab

=

137å− j16 20′

= 6,85å

− j69 20′

À;

Z1

20å j53

I 2 =

U

ab

=

137å− j16 20′

= 61,2å

j10 10′

À.

Z2

22,4å− j26

30′

Комплекс напряжения на неразветвленном участке цепи

U

0 = Z0 I = 9,65å j56 10å− j32 20′ = 96,5å j23 40′ Â.

Комплексные мощности на участках цепи:

S0 =

= 96,5å j23 40′ 10å j32 20′ = 965å j56

= (540 + j800) Â À;

U

0 I

S1 =

= 137å− j16 20′ 6,85å j69 20′

= 938å j53 = (567 + j750) Â À;

U

ab I1

= U

= 137å− j16 20′ 6,12å− j10 10′ = 835å− j26 30′ = (753 – j372) Â À.

S

2

ab

I

2

83

Комплексная мощность всей цепи

*	= 220 10å j32 20′ = 2200å j32 20′ = (1860 + j1178) Â À.
S = U I

Находим активную и реактивную мощности всей цепи:

P = 1860 Âò; Q = 1178 âàð.

Составляем уравнения баланса активных и реактивных мощностей:

P = P0 + P1 + P2; 1860 = 540 + 567 + 753 Âò;

Q = Q0 + Q1 − Q2; 1178 = 800 + 750 – 372 âàð.

Задача 2.30. Определить токи в ветвях и показания вольтметров в цепи (рис. 2.30, а), åñëè U = 100 Â, R = XL = XC = 10 Ом. Решить задачу: 1) с помощью проводимостей; 2) комплексным методом.

Ðè ñ . 2 . 3 0

Ðе ш е н и е . 1. Определяем реактивные проводимости параллельных ветвей

b =	1	= 0,1 Ñì; b =	1	= 0,1 Ñì.
L	XL	C	XC

Полная проводимость и сопротивление параллельного участка цепи равны соответственно:

yab = gab2 + (bL − bC )2 = bL − bC = 0; Zab = 1 yab = ∞.

84

Общее сопротивление цепи Z = ∞.

Ток на неразветвленном участке цепи I = UZ = 0 ; вольтметр

V1 показывает U1 = RI = 0.

Òàê êàê U2 = U − U1, òî U2 = 100 В и токи в ветвях

I1 = U2XL = 10 À; I2 = U2XС = 10 А. 2. Сопротивление цепи в комплексной форме

Z = R + Zab = R + jXL (− jXC ) = ∞ . jXL − jXC

Общий ток

I = UZ = 0,

поэтому падение напряжения на резисторе U1 = RI = 0 ,

èнапряжение U 2 = U − U1 = 100 В. Определяем токи в параллельных ветвях:

I1 =

U

2

=

100

= − j10 = 10å

− j90

À;

jXL

j10

I 2 =

U

2

=

100

= j10 = 10å j90

À.

− jXС

− j10

Векторная диаграмма дана на рис. 2.30, б.

Задача 2.31. Â öåïè (ðèñ. 2.31, а) XС = 0,4 Îì, XL = 2 Ом. Определить значение активного сопротивления R , при котором в цепи наступает резонанс. Построить векторную диаграмму напряжений и токов в режиме резонанса.

Ð è ñ . 2 . 3 1

85

Р е ш е н и е . Комплексное входное сопротивление цепи

RjX

L

R2 jX

L

+ RX2

Z = − jX +

= − jX +

L

=

C

R + jXL

C

R2 + XL2

RX2

R2X

L

=

L

+ j

− X .

2

2

2

2

R

C

+ XL

R

+ XL

При резонансе напряжений мнимая часть комплексного входного сопротивления цепи равна нулю (рис. 2.31, б):

откуда

R2XL

R2 + XL2

	R2X			L	− X			= 0,
j
		2		2
						C
R			+ XL
= XC ;			R = XL				XC		= 1 Îì.
						X	L	− X
								C

Векторная диаграмма показана на рис. 2.31, в.

Задача 2.32. Â öåïè (ðèñ. 2.32) U = 240 Â, XL = 288 Îì, R = = 300 Îì, XС = 400 Ом. Определить активную, реактивную и полную мощности цепи, а также показание ваттметра.

Р е ш е н и е . Расчет токов и напряжений выполняем комплексным методом.

Комплексное входное сопротивление цепи

Z = jXL + R(− jXC ) = j288 + 300(− j400) =
R − jXC	300 − j400
= j288 + 192 − j144 = 192 + j144 = 240å j36,8		Îì.
	Ток неразветвленной части цепи
I1 = U Z = 240 240å j36,8 = 1å− j36,8 À.
	Комплекс полной мощности цепи
	S = P + jQ = U I1 = 240 1å j36,8		=
	= 240e j36,8 = (192 + j144) Â À
èëè
	S = P + jQ = ZI 2 = (192 + j144) 12		=
	1
Ð è ñ . 2 . 3 2	= (192 + j144) Â À.

86

Отсюда следует:

P = Re(S) = 192 Âò; Q = Im(S) = 144 âàð;

S = P2 + Q2 = 240 Â À.

Для определения показания ваттметра необходимо рассчитать ток I 2 и, следовательно, узловое напряжение U ab :

U

ab =

U

− jXL I1 = 240 − 288å j90 1å− j36,8 = 240å− j73,6

Â

èëè

U

ab

= Z23 I1

=

R(− jXC )

I1

=

300(− j400)

1å− j36,8 = 240å− j73,6 Â.

R − jXC

300 − j400

Ток, текущий по последовательной обмотке ваттметра,

I 2

=

U

ab R = 240å− j73,6

300 = 0,8å− j73,6

À.

Показание ваттметра можно определить двояко:

) = Re(240 0,8å j73,6 ) = Re(54,6 + j184) = 54,6 Âò

P

= Re(U I

W

2

èëè

PW = UI2cos (U I2) = 240 0,8cos73,6° = 54,6 Âò.

Из расчета следует, что при данной схеме включения ваттметра его показание не соответствует ни активной, ни реактивной, ни полной мощности цепи. При необходимости измерить активную мощность цепи генераторный зажим параллельной обмотки ваттметра следует переключить на точку а (штриховая линия на рис. 2.32).

Задача 2.33. При каком соотношении
между сопротивлениями XC è XL òîê I2
не будет зависеть от сопротивления	Z2
(рис. 2.33)? Написать выражение тока	I2 ,
используя найденное соотношение.
Р е ш е н и е . Определяем ток в ветви с
сопротивлением Z2 по методу двух
узлов:	Ð è ñ . 2 . 3 3

87

I 2 = U ab

Z2

U j

1

U j

1

= 1

X

1

=

1

X

.

1

1

C

C

j X

− X

+ Z Z2

X

−

X

Z

2

+ 1

j

C

L

2

C

L

Из последнего выражения следует, что ток I 2 не будет зависеть от Z2 , åñëè 1 XC − 1 XL = 0, ò.å. XC = XL . Ïðè ýòîì

I 2 = j U . XC

Данную цепь можно использовать в качестве стабилизатора тока при изменении нагрузки Z2 как по модулю, так и по фазе.

Задачу проще решить методом контурных токов. Полагаем, что по элементам контура, включающего источник напряжения U и сопротивления XC , XL , проходит контурный ток IC , а по контуру, образованному элементами XL è Z2 , – контурный ток I 2 . Тогда

( jXL − jXC )IC − jXL I 2 = U.

Из последнего уравнения следует, что I 2 =		U		= j		U		íå çà-
	− jXL
висит от Z2 ïðè XC = XL .					XL

Задача 2.34. Мостовая цепь, питаемая переменным напряжением (рис. 2.34), используется для измерения параметров катушки R

è L. Параметры плеч моста: R0 = 0,5 êÎì, R1							= 1 êÎì, R2 = 0,1 êÎì,
С0	= 2 мкФ. Определить активное сопротивление и индуктивность
катушки при нулевом показании вольтметра.
	Р е ш е н и е . Находим комплексные сопротивления плеч моста:
		Z X = R + jωL; Z1 = R1; Z2 = R2;
		R		− j			1
					ωC					R
		0							=		.
		Z0 =					0			0
		R0		− j			1		1	+ jωR0C0
						ωC0
		Нулевое показание вольтметра бу-
		дет иметь	место при							Z X I X = Z2 I 2 ;
		Z1I1 = Z0 I0 . Разделив последние урав-
	Ð è ñ . 2 . 3 4	нения одно на другое и учитывая, что

88

при нулевом показании вольтметра

I X = I1

è I 2 = I0 , получим

условие равновесия мостовой цепи:

Z X

Z1 = Z2

Z0 èëè Z X Z0 = Z1Z2;

R + jωL

=

R2 (1 + jωR0C0 )

;

R

+ jω

L

=

R2

+ jωR C .

R1

R0

R1

R1

2

0

R0

Если два комплекса равны, то равны соответственно их дей-

ствительные и мнимые части:
	R	=	R2	;	jω	L	= jωR C .
	R1 R0					2		0
						R1

Отсюда
R =		R1R2		=	1 01,	= 0,2 êÎì;
			R0	0,5
L = R R C		0	= 103 102 2 10−6 = 0,2 Ãí.
1	2

Задача 2.35. Â öåïè (ðèñ. 2.35, а) E = 100 Â, R = 100 Îì, XL = = XC = 50 Ом. Определить в общем виде ток нагрузки I методом эквивалентного генератора. При каком значении сопротивления нагрузки в ней выделяется наибольшая активная мощность? Рассчи- тать эту мощность.

Р е ш е н и е . Для определения ЭДС эквивалентного генератора Eý размыкаем ветвь с нагрузкой и находим напряжение холостого хода между точками a è b (ðèñ. 2.35, б):

Ð è ñ . 2 . 3 5

89