СБОРНИК ЗАДАЧ

Задача 3.22. Линейные токи симметрич-
ного трехфазного	приемника, соединенного
звездой без нейтрального провода, равны 10 А.
Как изменятся токи: а) при коротком замы-
кании; б) при обрыве в фазе А?
Задача 3.23. Â öåïè (ðèñ. 3.16) R = XС =
= XL = 10 Îì, Uë	= 173 В. Определить токи,
активную, реактивную и полную мощно-		Ð è ñ . 3 . 1 6
ñòè öåïè.

Задача 3.24. Â öåïè (ðèñ. 3.17) Uë = 220 Â, R1 = 22 Îì, R2 = R3 = = 11 Ом. Определить линейные токи и мощности цепи. Построить векторную диаграмму.

Ð è ñ . 3 . 1 7

Ð è ñ . 3 . 1 8

Задача 3.25. Â öåïè (ðèñ. 3.18) Uë = 220 Â, R = XL = 100 Ом. Определить линейные токи и построить векторную диаграмму.

Задача 3.26. Â öåïè (ðèñ. 3.19) Uë = 220 Â, R = XС = 100 Ом. Определить линейные токи и построить векторную диаграмму.

Ð è ñ . 3 . 1 9

Ð è ñ . 3 . 2 0

Задача 3.27. Определить линейные токи в цепи (рис. 3.20), если все фазные токи Iô = 1 À.

140

Задача 3.28. Â öåïè (ñì. ðèñ. 3.19) Uë = 220 Â, R = XС = 100 Ом. Определить линейные токи: а) при обрыве в фазе са; б) при обрыве линейного провода Cс.

Задача 3.29. Симметричный активно-индуктивный трехфазный приемник потребляет мощность P = 20 кВт при cosϕ = 0,5. Линейное напряжение сети 220 В, частота f = 50 Гц. Рассчитать емкость конденсаторов одной фазы, необходимых для повышения коэффициента мощности цепи до 0,92 при соединении их: а) звездой; б) треугольником.

Задача 3.30. Симметричный трехфазный приемник Zô = 5 + j7 Ом, соединенный звездой, подключен к генератору линией, сопротивление фазы которой Z ë = 1 + j1Ом . Каково должно быть линейное напряжение генератора, чтобы линейное напряжение приемника Uë = 380 Â?

Задача 3.31. Трехфазный приемник соединен линией с генератором, линейное напряжение которого 380 В. Фазы приемника сопротивлением Zô = 210 + j165 Ом соединены треугольником. Сопротивление каждого из линейных проводов линии Z ë = 10 + j5 Ом . Определить напряжение на нагрузке.

Задача 3.32. Â öåïè (ðèñ. 3.21) Uë = 380 Â, XС = 110 Ом. Определить показания ваттметров, активную, реактивную и полную мощности цепи.

Ð è ñ . 3 . 2 1		Ð è ñ . 3 . 2 2

Задача 3.33. Â öåïè (ðèñ. 3.22) Uë = 220 Â, Z = 10 + j7,8 Ом. Определить показание ваттметра, активную и реактивную мощности цепи.

Задача 3.34. Измерение активной мощности, потребляемой от сети трехфазным симметричным приемником, проводилось двумя ваттметрами. Показания ваттметров PW1 = 2 êÂò, PW2 = 4 кВт. На- чертить электрическую схему цепи и определить коэффициент мощности приемника.

141

Ответы к контрольным задачам

3.16. E = E, E = Eå–j120°, E = Eåj120°, E

AB

=

3Ee j30°, E

AB

= 3Ee j90°,

E =

A

B

C

CA

= 3Ee j150°.

3.17. ψ

В

= – 30°. 3.18. à) I

ë

= 12,7 À, P = 968 Âò; á) I

ë

= 38 À, P =

= 2904 Âò. 3.19. 1 : 4 : 3 : 12. 3.20. 14,2 À, 3,2 êÂò. 3.21. 6 À, 484 Âò, 0. 3.22. à) IА =
= 30 À, IB = IС = 17,3 À; á) IА = 0, IВ = IС = 8,67 À. 3.23. IА = – 17,3 À, IВ =
= 33,5å–j75° À, I	С	= 33,5åj75° À, P = 300 Âò, Q = 0, S = 300 ·À. 3.24. I	А	= I	В	=

=26,4 À, IС = 34,6 À, P = 11 êÂò. 3.25. IА = IС = 2,2 À, IВ = 1,14 À. 3.26. IА =

=4,25 À, IВ = 1,14 À, IС= 3,81 À. 3.27. IА = 0,52 À, IВ = 1 À, IС = 0,52 À. 3.28. à) IА =

=IС = 2,2 À, IВ = 1,14 À; á) IА = IВ = 2,46 À, IС = 0. 3.29. CY = 1720,2 ìêÔ,

C∆ = 573,4 ìêÔ. 3.30. 442,56 Â. 3.31. 338,8 Â. 3.32. PW1 = 380 Âò, PW2 = – 380 Âò, P = 0, Q = 1320 âàð, S = 1320 ·À. 3.33. PW = 1354,46 Âò, P = 3000 Âò, Q = = 2340 âàð. 3.34. cosϕ = 0,866.

4.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ÂЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Задачи с решениями

Задача 4.1. Катушка, сопротивление которой R = 5 Ом и индуктивность L = 0,5 Гн, подключается к источнику постоянного напряжения U = 30 Â (ðèñ. 4.1, а). Найти закон изменения тока i(t) и ЭДС самоиндукции eL(t), постоянную времени τ. Построить диаграммы i(t), eL(t) при переходном режиме. Определить ток катушки в момент времени t1 = 0,1 с после замыкания ключа и скорость нарастания тока в начальный момент.

Ðè ñ . 4 . 1

Ðе ш е н и е . Согласно второму закону Кирхгофа уравнение электрического состояния цепи в послекоммутационном режиме имеет вид

U = Ri + L di . dt

Решение уравнения находим как сумму принужденной (iïð) и свободной (iñâ ) составляющих:

i = iïð + iñâ .

143

Принужденную составляющую определяем из расчета цепи в установившемся режиме, т.е. при t = ∞:

iïð = UR = 6 À,

а свободную составляющую – из общего решения однородного уравнения

0 = Ri + L	diñâ	;	i = Aåpt ,
ñâ	dt		ñâ

ãäå p = −RL – показатель затухания (корень характеристического уравнения 0 = R + Lp); τ = −1 p = LR = 0,1с – постоянная времени цепи.

Постоянную интегрирования А находим из начальных условий

ñпомощью первого закона коммутации при t = 0: i(0) = UR + Ae−tτ;

0 = 6 + À; À = – 6.

Таким образом, ток катушки изменяется по закону

i = UR (1 − å−tτ ) = 6(1 − å−t0,1) А. Индуцированная в катушке ЭДС самоиндукции

еL = −L di = −Uå−tτ = −30å−t0,1 Â. dt

Диаграммы i(t) è eL(t) приведены на рис. 4.1, б. В момент времени t1 = 0,1 ñ

i(0,1) = 6(1 − å−1) = 3,8 À.

Скорость нарастания тока в начальный момент

di			=	U	= 60 À/ñ.
dt		t =0		L

Задача 4.2. Öåïü (ðèñ. 4.1, а) подключается к источнику постоянного напряжения U = 30 В. Параметры катушки: R = 5 Îì, L = 0,5 Гн. Определить время, за которое ток в катушке достигнет 95% своего установившегося значения, а также энергию магнитного поля катушки в этот момент.

144

Ð è ñ . 4 . 2

Р е ш е н и е . Выражение для тока цепи в переходном режиме имеет вид

i = 6(1 − å−t0,1) À.

Из этого выражения определяем время t1, за которое ток достигнет 95% установившегося значения:

0,95 6 = 6(1 − å−t10,1)À,

откуда е−t1 0,1 = 0,05 ,			−t		0,1 =ln0,05 = ln5 − ln100 = 1,6 − 4,6 = −3,
t1	= 0,3 ñ.		1
							= 3τ, где τ = 0,1 с – постоянная вре-
	Обращаем внимание, что t1
мени. Энергия магнитного поля в этот момент
				Li2				0,5(5,7)2
	W		=		0,3		=		= 8,12 Äæ.
		t1 =0,3 ñ			2			2

Задача 4.3. Электромагнит постоянного тока имеет сопротивление R = 11 Ом и индуктивность L = 0,44 Гн. Напряжение источ- ника U = 220 В. Рассчитать сопротив-

ление Rp реостата, шунтирующего обмотку электромагнита (рис. 4.2), при котором напряжение на обмотке в момент отключения электромагнита не превысит утроенного значения напряжения источника.

Р е ш е н и е . Установившееся значе- ние тока электромагнита, включенного

под напряжение, I = UR = 20 А. Электрическое состояние цепи при отклю-

ченном источнике напряжения характеризуется уравнением

0 = (R + R ) i + L			di	,
		p	dt
−	R+Rp	t
решение которого i = Aå	L .

Поскольку ток в индуктивности не изменяется скачком, то в момент размыкания ключа (t = 0) i(0) = 20 = Аå0, значит, А = 20, и ток в переходном режиме

−	R+Rp	t
i = 20å	L À.

145

Напряжение на обмотке электромагнита

−	R+Rp	t
uýì = Rp i = 20Rp å	L		Â.

Сопротивление Rp рассчитываем так, чтобы в момент отключе- ния (t = 0) uýì ≤ 3U:

3U ≥ 20 Rpå0; Rp ≤ 66020 = 33 Îì.

Задача 4.4. Обмотка электромагнита имеет сопротивление R = 2 Ом и индуктивность L = 0,5 Гн. Рассчитать, чему должно быть равно сопротивление добавочного резистора Rä, включаемого последовательно с обмоткой, и напряжение сети U, чтобы электро-

магнит срабатывал через промежуток времени tñ

= 0,1 с после его

подключения к источнику. Установившийся ток обмотки IÓ = 5 À.

Ток срабатывания электромагнита Iñ = 3,5 À.

Р е ш е н и е . Ток цепи в любой момент времени определяется

выражением

i = Ió (1 − å−t τ),

U

ãäå Ió =

, τ =

L

.

R + Rä

R + Rä

В момент срабатывания электромагнита

−

01,(2+Rä )

−tñ

τ

Iñ

= Ió (1 − å

); 3,5 =

0,5

,

5 1 −

å

откуда e–0,2(2+RÄ ) = 0,3; –0,4 – 0,2R

= ln0,3 = –1,2;

R

= 4 Îì.

ä

ä

Напряжение сети

U = (R + Rä )Ió = 30 Â.

Задача 4.5. Для измерения напряжения на зажимах катушки с
R = 22 Îì è L = 2 Гн включен вольтметр по схеме, приведенной на
	рис. 4.3. Сопротивление вольтметра RV =
	= 10 кОм, предел измерения 250 В. Можно
	ли отключить катушку от сети напряжением
	U = 220 В, не отсоединяя вольтметр?
	Р е ш е н и е . Ток послекоммутационной
	цепи изменяется по закону
	i =	U	å	−t τ	= 10å	−t τ	À,
		R
Ð è ñ . 4 . 3	ãäå τ = L (R + RV ) ≈ 0,0002 ñ.

146

В момент отключения катушки напряжение на вольтметре (при t = 0)

UV = RVi(0) = 10 000 10 = 100 êÂ,

т.е. в 400 раз превышает допустимое для вольтметра значение, что приведет к повреждению изоляции прибора. Поэтому перед отключением катушки следует отсоединить вольтметр.

Задача 4.6. Найти закон изменения тока i и напряжения uC â

цепи, изображенной рис. 4.4, а, после замыкания ключа, если U = = 220 Â, R = 10 Îì, C = 100 мкФ. Определить постоянную времени τ и время зарядки конденсатора до напряжения 50 В.

Ðè ñ . 4 . 4

Ðе ш е н и е . После коммутации уравнение электрического состояния цепи

U = Ri + uC = RC duC + uC . dt

Решением его является сумма принужденной (uC ïð) и свободной (uC ñâ ) составляющих:

uC = uC ïð + uC ñâ .

Принужденную составляющую находим из расчета цепи в установившемся режиме, т.е. при t = ∞:

uC ïð = U = 220 Â,

147

свободную составляющую – из общего решения однородного уравнения

0 = RC	duC ñâ	+ u	; u	= Аåpt ,
	dt	C ñâ	C ñâ

ãäå p = −1 (RC) – показатель затухания (корень характеристиче- ского уравнения 0 = RCp + 1).

Напряжение конденсатора в переходном режиме

uC = U + Аå−t(RC).

Постоянную интегрирования А находим из начальных условий с помощью второго закона коммутации при t = 0:

uC (0) = 0 = U + А,

откуда А = – U. Тогда напряжение на конденсаторе uC = U(1 − å−t(RC)) = 220(1 − å−t0,001) Â,

òîê â öåïè

i = C	duC	=	U	å−t (RC) = 22å−t 0,001 À.
	dt
			R
Постоянная времени

τ = −1 p = RC = 10−3 ñ.

Диаграммы uC (t) è i(t) приведены на рис. 4.4, б.

Для определения времени, за которое конденсатор зарядится до напряжения 50 В, воспользуемся общим выражением для uC:

50 = 220(1 − å−t10,001),

откуда:

å−1000t1 = 0,775; − 1000t1 = ln0,775;

t1 = ln7,75 − ln10 = 2,04 − 2,3 = 26 10−5 ñ. −1000 −1000

Задача 4.7. Конденсатор емкостью С = 500 мкФ, заряженный до напряжения источника U, разряжается на резистор сопротивлением R (ðèñ. 4.5, а). При этом за время t1 = 0,035 с напряжение на зажимах конденсатора снижается в 2 раза. Определить сопротив-

148

Ð è ñ . 4 . 5

ление R и постоянную времени τ переходного процесса. Построить

диаграммы uC (t) è i(t) .

Р е ш е н и е . По второму закону Кирхгофа для послекоммутаци-

онной цепи

0 = RC duC + uC . dt

Это уравнение имеет решение uC = uC ñâ = Аåpt , ãäå p = – 1/(RC). Поскольку согласно второму закону коммутации напряжение

на емкости не изменяется скачком, то в момент переключения рубильника (при t = 0) uC (0) = U = Àå0 . Следовательно, А = U, и напряжение при разрядке конденсатора

uC = U å−t(RC).

Решая это уравнение для момента времени t1, определяем сопротивление резистора R:

	U			= U å−	0,035 106			0,5 = å−		70
					R 500		,			R ,
		2
	R = −		70			= −		70	= 100 Îì.
								1,6 − 2,3
				ln5 − ln10

Постоянная времени τ = RC = 0,05 ñ.

Диаграммы изменения напряжения uC и тока при разрядке конденсатора (рис. 4.5, б) строим по уравнениям:

u = U å−t 0,05	Â; i = − C	duC	=	U	å−t 0,05 À.
C		dt		R

149