СБОРНИК ЗАДАЧ

w1I1 = l1H1 − l3H3 − l0H0 = l1H1 − Uìab; w2I2 = l2H2 − l3H3 − l0H0 = l2H2 − Uìab,

ãäå Uìab = Uì3 = l3H3 + l0H0 – магнитное напряжение на третьем участке.

Для расчета магнитной цепи графическим способом необходимо построить вспомогательные вебер-амперные характеристики:

Ô1(−w1I1 + l1H1); Ô2(−w2I2 + l2H2); Ô3(Uì3).

С этой целью задаемся значениями магнитного потока Ф и определяем индукцию, напряженность, падение магнитного напряжения на всех участках цепи. Результаты расчетов приведены в табл. 6.3.

Ò à á ë è ö à 6 . 3

Ô·10–3, Âá	60	120	180	240	300	360	420
В1 = В2 =	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,2	1,4
= Ô / S1, Òë
Н1 = Н2, À/ì	80	140	230	330	470	800	2100
l1Н1 = l2Н2, À	41,6	72,7	110	172	244	416	1090
l1Н1 – w1I1, À	–958,4	–927,3	–880	–828	–756	–584	90
l2Н2 – w2I2, À	–458,4	–427,3	–380	–326	–256	–84	590
В0 = В3 =	0,167	0,334	0,5	0,666	0,835	1,0	1,17
= Ô / S3, Òë
Н0 = 0,8 ×	133 500	267 000	400 000	533 000	667 000	800 000	935 000
× 106В0, À/ì
Н3, À/ì	70	132	190	280	380	475	690
l0Н0, À	133,5	267	400	533	667	800	935
l3Н3, À	17,4	32,8	47,2	69,6	94,5	118	172
l0Н0 + l3Н3, À	150,9	299,8	447,2	602,6	761,5	918	1107

190

По данным, приведенным в табл. 6.3, построены кривые (рис. 6.13):

Ð è ñ . 6 . 1 3

Ô1(−w1I1 + l1H1); Ô2(−w2I2 + l2H2); Ô3(Uì3),

ãäå Uì3 = −w1I1 + l1H1 = −w2I2 + l2H2 = l3H3 + l0H0 .

Поскольку значения потоков должны удовлетворять первому закону Кирхгофа: Ф1 + Ô2 + Ô3 = 0, строим еще одну кривую (Ф1 + Ô2 + Ô3) fUì3 путем суммирования ординат трех характеристик. Она пересекает ось абсцисс в точке m. Проводим через эту точку вертикаль до пересечения с кривыми Ф1(−w1I1 + l1H1) , Ô2(−w2I2 + l2H2) è Ô3(Uì3) и находим потоки в ветвях: Ф1 =

191

355 10–5 Âá, Ô2 = – 125 10–5 Âá, Ô3 = – 230 10–5 Вб. Отрицательные значения потоков Ф2 è Ô3 говорят о том, что действительные направления их противоположны выбранным.

Задача 6.12. В воздушном зазоре l0 = 1 мм сердечника квадратного сечения площадью Sñ = 20 × 20 ìì2 необходимо получить магнитный поток Ф = 400 мкВб при токе в обмотке I = 0,25 А. Плотность тока в проводе обмотки J = 5 À/ìì2. Сердечник изготовлен из электротехнической стали, кривая намагничивания которой приведена на рис. 6.4. Коэффициент заполнения проводом окна магнитопровода Kç = 0,65. Определить минимальные размеры сердечника прямоугольной формы.

Р е ш е н и е . Магнитные индукции в сердечнике и зазоре одинаковы:

B =	B =	Ô	=	Ô		=	400 10−6	= 1 Òë.
c	0	Sc		S0			400 10−6
По кривой намагничивания находим напряженность магнитно-
го поля в сердечнике: Нñ		= 470 À/ì.
Напряженность магнитного поля в зазоре
Н0 =	В0 =		1			= 7,958 105 À/ì.			(1)
	μ0	4π 10−7
Площадь поперечного сечения провода
Sïð = I	= 0,25 = 0,05ìì2 = 0,05 10−6 ì2.								(2)
J	5
Минимальные размеры сердечника получатся при минималь-
ной длине средней линии сердечника lñ, что соответствует квадра-
ту. Поэтому сердечник должен иметь форму квадрата (рис. 6.14),
			сторона которого а = сn, ãäå с = 20 ìì,
			n – параметр, который должен быть
			найден в результате решения задачи.
				Длина средней линии сердечника
					lñ		= 4(n − 1)c − l0 ≈ 4(n − 1)c.		(3)
				Площадь окна сердечника
Ð è ñ . 6 . 1 4						Sîê = ((n − 2)c)2 = (n − 2)2 c2.
192

Суммарная площадь сечения всех витков провода, проходящих через окно сердечника,

Sïð∑ = KçSîê = Kçc2(n − 2)2.

Количество витков провода

w =		Sïð∑	=	Kçc2 (n −	2)2	.	(4)
		Sïð		Sïð
По закону полного тока
	lñHñ + l0H0 = wI.						(5)

Используя выражения (1) – (4), уравнение (5) можно преобразовать к виду

4cHñ (n − 1) + B0l0 = Kç Jc2 (n − 2)2.

μ0

После подстановки числовых значений и алгебраических преобразований получаем квадратное уравнение относительно искомого параметра n:

n2 – 4,0289n + 3,4168 = 0,

корнями которого являются n1 = 1,2137 è n2 = 2,8153.

Ïðè n1 сторона окна сердечника (n1 – 2)с = (1,2137 – 2)с < 0, что не имеет физического смысла. Поэтому искомый параметр n = n2 = = 2,8153.

Определяем искомые размеры сердечника. Сторона сердечника

nс = 2,8153 20 = 56,3 ìì,

сторона окна сердечника

(n – 2)с = (2,8153 – 2) 20 = 16,3 ìì.

П р о в е р к а . Длина средней линии сердечника

lc = 4(n – 1)с = 4(2,8153 – 1) 20 = 145,2 мм = 0,1452 м. Магнитное напряжение вдоль средней линии сердечника

Uì.ñ = lñHñ = 01452, 470 = 68,2À.

193

Магнитное напряжение в зазоре

Uì0 = l0H0 = 1 10−3 7,958 105 = 795,8А. Магнитное напряжение вдоль всей магнитной цепи

Uì = Uì0 + Uìñ = 795,8+ 68,2 = 864À.

Количество витков обмотки
w =	Kçc2(n − 2)2	=	0,65 (20	10−3)2(2,8153	− 2)2
						= 3456,5..
	Sïð			0,05 10−6

Округляем до w = 3457. Магнитодвижущая сила

F = wI = 3457 0,25 = 864,25À.

Таким образом, равенство Uì = F èëè lñHñ + l0H0 = wI выполняется с относительной погрешностью

δ = 864,25 − 864 ≈

0,03%,

864 что подтверждает правильность расчетов.

Контрольные задачи

У к а з а н и е . При решении контрольных задач (6.13–6.22) пользоваться кривой намагничивания стали, приведенной на рис. 6.4.

Задача 6.13. По двум параллельным прямолинейным проводам, радиус сечения которых R = 4 мм, проходит ток I = 200 А. Расстояние между осями проводов 1 м. Рассчитать напряженность магнитного поля в средней точке между осями проводов (на расстоянии 0,5 м от оси каждого провода) для двух случаев: токи проходит в противоположных направлениях; токи проходят в одинаковых направлениях. Воспользоваться результатами расчетов, представленными в табл. 6.1.

Задача 6.14. При прохождении одинакового тока по двум длинным параллельным проводам, находящимся на расстоянии 1 м один от другого, на каждый метр длины провода действует сила F = 2 × × 10–7 Н. Определить ток, проходящий по каждому из проводов.

Задача 6.15. На стальном сердечнике кольцевой формы (рис. 6.15) помещена катушка с числом витков w = 300. Площадь

194

сечения сердечника S = 16 ñì2, длина средней ли-
íèè l = 0,6 м. Ток катушки I = 1 А. Определить
поток в сердечнике и потокосцепление катушки.
Задача 6.16. Рассчитать в условиях задачи 6.3
индуктивность катушки, если сердечник выпол-
нен из электротехнической стали, но ток в об-
мотке: а) уменьшился в 2 раза (I = I2 / 2 = 2,5 À);	Ð è ñ . 6 . 1 5
б) увеличился в 2 раза (I = 2I2 = 10 À).

Задача 6.17. Решить задачу 6.15 при условии, что стальной сердечник имеет воздушный зазор длиной l0 = 1 мм. Определить поток в сердечнике и потокосцепление катушки при том же токе в ней.

Задача 6.18. В условии задачи 6.15 стальной сердечник имеет воздушный зазор длиной l0 = 1 мм. Определить ток катушки, при котором поток в сердечнике и потокосцепление останутся такими же, как и в отсутствие зазора. Как при этом изменится потребляемая катушкой активная мощность?

Задача 6.19. Магнитный поток в воздушных зазорах магнитной цепи, изображенной на рис. 6.16, Ф = 0,48 10–3 Âá; c = 2 ñì, l0 = 1 мм. Определить МДС катушки.

Ð è ñ . 6 . 1 6

Ð è ñ . 6 . 1 7

Задача 6.20. На якорь электромагнита, изображенного на рис. 6.17, действует подъемная сила F = 1500 Н. Между полюсами сердечника и якорем имеется зазор l0 = 0,5 ìì; c = 3 см. Определить магнитодвижущую силу обмотки электромагнита.

Задача 6.21. В правом стержне магнитной цепи, показанной на рис. 6.18, имеется воздушный зазор длиной l0 = 1 ìì; c = 3 см. Индукция в зазоре В0 = 0,2 Тл. Определить индукцию на всех участках (1–4) цепи и МДС катушки.

Задача 6.22. Длина средней линии стального сердечника цепи, изображенной на рис. 6.19, l = 0,4 м, площадь сечения сердечника S = 16 ñì2. Длина воздушного зазора l0. Задаваясь значениями ин-

195

Ð è ñ . 6 . 1 8

Ð è ñ . 6 . 1 9

дукции от 0 до 1,5 Тл, рассчитать и построить вебер-амперную характеристику Ф (wI) цепи для двух значений длины зазора: l0 = 0,2 ìì è l0 = 2 ìì.

Ответы к контрольным задачам

6.13. 127,4 À/ì; 0. 6.14. 1 À. 6.15. Ô = 1,66 ìÂá; ψ = 0,5 Âá. 6.16. à) 25 ìÃí; á) 7,8 ìÃí. 6.17. Ô = 0,48 ìÂá; ψ = 0,144 Âá. 6.18. 3,77 À. 6.19. 1440 À. 6.20. 470 À. 6.21. В4 = В0 = 0,2 Òë; В3 = 1,38 Òë, В2 = 1,58 Òë, В1 = 0,79 Òë, wI = = 679 À.

	7. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
	С ПЕРЕМЕННОЙ МАГНИТОДВИЖУЩЕЙ СИЛОЙ
	Задачи с решениями
	Задача 7.1. Катушка с сердечником из электротехнической ста-
	ли подключена к сети напряжением u = 179cos314t В. Кривая на-
	магничивания стали В(Н) приве-
	дена на рис. 7.1. Площадь попереч-
	ного сечения сердечника S = 10
	ñì2, длина средней магнитной
	линии l = 50 см, число витков ка-
	тушки w = 400. Пренебрегая ак-
	тивным сопротивлением и пото-
	ком рассеяния обмотки, потерями
	в стальном сердечнике: 1) постро-
	ить диаграммы мгновенных значе-
	ний потока Ф(ωt) è òîêà i(ωt) â
	катушке; 2) рассчитать действую-
	щее значение тока, коэффициент	Ð è ñ . 7 . 1
	амплитуды и эквивалентную ин-
	дуктивность катушки.
	Р е ш е н и е . При отсутствии активного сопротивления и потока
	рассеяния обмотки напряжение уравновешивается ЭДС самоин-
	дукции u = −e = w dÔ и изменение потока во времени определяет-
	dt
	ся приложенным к катушке напряжением:

Ô(t) =	1	∫	udt + C =	Um	sinωt = Ôm sinωt,
	w
				ωw

т.е. при синусоидальном напряжении на зажимах катушки рабочий поток ее сердечника изменяется также синусоидально (рис. 7.2, а).

Поскольку U = E = 2πfwÔm 2 = 4,44fwÔm , то амплитуды магнитного потока и индукции равны соответственно:

Ôm =

Um

2

=

179 2

= 1,43

10

−3

Âá;

4,44 fw

4,44

50 400

В =

Φ

m

=

1,43 10−3

= 1,43 Òë.

m

S

10

10−4

197

Ð è ñ .

7 . 2

Для построения диаграммы мгновенных значений тока i(ωt) строим зависимость Ф(i). С этой целью масштаб кривой намагни- чивания стали В(Н) (см. рис. 7.1) пересчитываем, используя формулы i = lHw , Ô = SB (ðèñ. 7.2, б).

Задаваясь значениями магнитного потока на кривой Ф(ωt) (точки 1, 2, 3), с помощью зависимости Ф(i) находим соответствующие зна- чения тока i и определяем точки 1′, 2′, 3′ кривой i(ωt) (ðèñ. 7.2, а, б).

Действующее значение несинусоидального тока определяем по приближенной формуле

		1	n
	I =		∑ik2 ,	(1)
		n
			1

ãäå n – число частей, на которое разделен полупериод тока;

I = 1(0,052 + 0,252 + 0,952 + 0,952 + 0,252 + 0,052) = 0,57À. 6

Коэффициент амплитуды

ka = Imax = 1,25 = 219,.

I0,57

Полное сопротивление катушки

= U = 127 =

Z 222,8 Îì.

I0,57

198

Ð è ñ . 7 . 3

Эквивалентная индуктивность

L =	XL	=	Z	=	222,8	= 0,71Ãí.
	ω		ω
				314

Задача 7.2. В условиях задачи 7.1 найти зависимость полного сопротивления Z катушки от напряжения U на ее зажимах в диапазоне изменения напряжения от 30 до 127 В. Активным сопротивлением, потоком рассеяния обмотки, потерями в стали пренебречь.

				Ò à á ë è ö à 7 . 1
U, Â	30	60	90		127
I, A	0,03	0,071	0,17		0,57
Z = U/I, Îì	1000	845	529		222,8

Р е ш е н и е . Расчет полного сопротивления производим графоаналитическим методом. С этой целью задаемся значениями напряжения U = 30; 60; 90; 127 В и рассчитываем соответствующие им амплитуды потока:

	Ôm =	U	= 0,338	10−3;	0,675 10−3; 101, 10−3; 1,43 10−3 Âá.
		4,44 fw

С помощью зависимости Ф(i) (ðèñ. 7.2, б) строим диаграммы мгновенных значений тока катушки i(ωt). По приближенной формуле (1), приведенной в задаче 7.1, определяем действующие зна- чения тока. Результаты графоаналитического расчета даны в

табл. 7.1, кривые I(U) è Z(U) – íà

ðèñ. 7.3. Задача 7.3. Аппроксимируя

кривую намагничивания электротехнической стали (см. рис.

7.1) степенным полиномом Н = = aB + bB5, определить закон изменения тока и его действующее значение в катушке с замкнутым магнитопроводом, описанной в условии задачи 7.1. Мощностью

199