СБОРНИК ЗАДАЧ

U

b =

U

B −

U

nN

= − j110 = 110e− j90

Â;

U

c =

U

C −

U

nN

= j110 = 110e j90

Â;

I a

=

U

a

= 0; I b =

U

b

= 11e− j143

À;

I c

=

U

c

= 11e j37

À.

Za

Zc

Zb

Находим мощности:

*

110e− j90

Sa

= 0; Sb =

U

b I b

=

11e j143

= 726 + j968 Â À;

*

= 110e j90

11e− j37

= 1210e j53

Sс =

U

с I с

= 726 + j968 Â À;

S = Sa + Sb + Sс

= 1452 + j1936 = 2420e j53

 À,

откуда активная мощность P = 1452 Вт, реактивная Q = 1936 вар, полная S = 2420 Â À.

3. При коротком замыкании фазы А приемника Za = 0 и напря-

жение смещения нейтрали приемника

1

U

A +

1

U

B

+

1

U

C

U

nN

=

Za

Zb

Zc

=

1 Za

+ 1 Zb + 1 Zc

U

A

+

Za

U

B +

Za

U

C

=

Zb

Zc

=

U

A = 127 Â.

1 + Za Zb + Za Zc

Определяем фазные напряжения и токи приемника:

U

a =

U

A −

U

nN

= 0;

U

b =

U

B −

U

nN = −190,5 − j110 = 220e− j150

Â

(

U

b = −

U

AB ) ;

U

с =

U

С −

U

nN

= −190,5 + j110 = 220e j150 Â

(

U

с =

U

СA);

I b =

U

b Zb

= 22e− j203

À; I c =

U

c Zc

= 22e j97

À.

На основании первого закона Кирхгофа для узла n получаем:

120

I a = −I b − I c			= 22,9 − j30,4 = 38e− j53			À.
Находим комплексные мощности:
S = Sb + Sc =	U	b I b	+	U	c I c = 220e− j150 22e j203 +
+220e j150 22e− j97			= 5800 + j7700 = 9600e j53				Â À,

откуда активная мощность P = 5800 Вт, реактивная Q = 7700 вар, полная S = 9600 Â À.

Векторные диаграммы для всех трех режимов изображены на рис. 3.3, б, в, г соответственно.

Задача 3.4. В трехфазную цепь с линейным напряжением Uë = 220 В включены конденсатор емкостью С = 31,8 мкФ и две лампы накаливания сопротивлением R = 100 Ом каждая (рис. 3.4, а). Частота f = 50 Гц. Рассчитать напряжения и токи конденсатора и ламп, построить векторную диаграмму.

Ðè ñ . 3 . 4

Ðе ш е н и е . Емкостное сопротивление конденсатора

Xc =	1	=	1	= −	1		= 100 Îì.
					2 314, 50	318, 10−6
	ωC		2πfC

Находим комплексные проводимости фаз приемника:

Y a			= j	1	= j0,01 = 0,01e j90	Ñì;
				Xc

121

Y b = Y c = 1 R = 0,01См. Фазные напряжения источника

Uô = Uë 3 = 220 3 = 127Â.

Записываем фазные напряжения источника в комплексной форме (считаем U À положительной вещественной величиной):

U

А

=

U

ôe j0 = 127 Â;

U

В

=

U

ôe− j120

= 127e− j120

= −63,5 − j110 Â;

U

C

=

U

ôe j120

= 127e j120

= −63,5 + j110 Â.

Напряжение смещения нейтрали n приемника

U

=

Y

a

U

А +

Y

b

U

B +

Y

c

U

C

= −25 + j76,2B.

nN

Y

a +

Y

b +

Y

c

Определяем напряжения на фазах приемника:

U

a =

U

A −

U

nN

= 152 − j76,2 = 170e− j26,5

Â;

U

b =

U

B −

U

nN = −38,5 − j186,2 = 190e− j101,5

Â;

U

c =

U

C −

U

nN

= −38,5 + j33,8 = 51e j139

Â.

Рассчитываем токи:

I a =

Y

a

U

a = 17,å j63,5

À;

I b

=

Y

b

U

b

= 19,å− j101,5

À;

I c

=

Y

c

U

c

= 0,51å j139

À.

Векторная диаграмма, построенная по результатам расчета, представлена на рис. 3.4, б.

Схема, приведенная на рис. 3.4, а, используется для опытного определения чередования фаз трехфазной сети. За фазу А принимается любая из трех. В нее включается конденсатор, а в две дру-

122

гие фазы – лампы накаливания. Тогда фаза, лампа которой накаливается ярче, является опережающей фазой В, а фазой С будет фаза с меньшим накалом лампы.

Задача 3.5. Три вольтметра используются для контроля сопротивления изоляции незаземленной трехфазной цепи (рис. 3.5, а). Линейное напряжение Uë = 380 В. Емкость каждой фазы по отношению к земле С = 0,319 мкФ. Частота f = 50 Гц. Сопротивление изоляции каждой фазы по отношению к земле в нормальном состоянии Rè = 2 105 Ом. Сопротивления вольтметров RV = 50 кОм. Определить показания вольтметров: 1) при нормальном состоянии изоляции; 2) при понижении сопротивления изоляции фазы

Аâ 4 ðàçà.

Ðе ш е н и е . 1. Из схемы замещения (рис. 3.5, б) видно, что активно-емкостные сопротивления изоляции трехфазной цепи относительно земли совместно с вольтметрами образуют в нормаль-

Ð è ñ . 3 . 5

123

ном состоянии (Rè A = Rè B = Rè C ) симметричную звезду. При

этом потенциалы нейтрали генератора и земли одинаковы. Поэтому в данном режиме показания вольтметров одинаковые и соот-

ветствуют фазному напряжению цепи UV = Uô = Uë 3 = 220 Â.

2.Изменение сопротивления изоляции любой из фаз приводит

êвозникновению напряжения между нейтралью генератора (точка N) и землей:

1

1

+ e j240

1

1

+ e j120

1

1

U

+

+

jωC

+

+ jωC

+

+ jωC

A

R

R

R

R

R

R

U

N =

è А

V

è B

V

è C

V

= 40

Â

1

+

1

+ jωC +

1

+

1

+ jωC +

1

+

1

+ jωC

R

R

R

R

R

R

è А

V

è B

V

è C

V

(ïðè U

А

= 220 Â è Rè

= 5 104 Îì).

Показания вольтметров соответствуют модулям комплексных

напряжений между фазами цепи и землей:

U

V1 =

U

A −

U

N = 180B; UV1 = 180B;

U

V2 =

U

B −

U

N

= e j240

U

A −

U

N

= −150 − j190 = 242e− j128

B;

UV2 = 242B;

U

V3 =

U

C −

U

N

= e j120

U

A −

U

N

= −150 + j190 = 242e j128

B;

UV3 = 242B.

Таким образом, снижение сопротивления изоляции какойлибо фазы по отношению к земле приводит к уменьшению показания вольтметра, подключенного между этой фазой и землей, и к увеличению показаний двух других вольтметров, что и позволяет контролировать сопротивление изоляции незаземленных цепей.

Задача 3.6. Â öåïè (ðèñ. 3.6, а) Uë = 380 Â, Rb = XC = 100 Ом, сопротивление переменного резистора Rа изменяется от нуля до 500 Ом. Построить диаграммы Ia(Ra) è Ua(Ra).

Р е ш е н и е . Расчет цепи выполняем методом эквивалентного генератора. Электродвижущая сила эквивалентного генератора равна напряжению холостого хода фазы а:

124

1

+ e

j240

1

+ e

j120

1

U

А

j

Rb

Eý =

U

a x =

U

А

−

U

nN x =

U

А −

Ra

XС

= 520 B

1

+

1

+ j

1

R

R

X

a

b

С

(ïðè

U

A = 380

3 = 220 B è Ra = ∞).

Ð è ñ . 3 . 6

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно входному сопротивлению цепи относительно точек a è n при закороченном генераторе и разомкнутой ветви с резистором сопротив-

лением Ra (ðèñ. 3.6, б):
Zý = Zâx	=	Rb (− jXС )	=	100(− j100)	=	− j100(1 + j)	= 50 − j50 Îì.
		Rb − jXС				(1 − j)(1 + j)
				100 − j100

Искомые ток и напряжение фазы а равны соответственно:

	I a =	Eý	=	520	;		U	a = Ra I a .
		Zý + Ra		50 − j50 + Ra

Результаты расчета тока Ia при различных значениях Ra приведены в табл. 3.1. Диаграммы Ia(Ra) è Ua(Ra) изображены на рис. 3.6, в.

Ò à á ë è ö à 3.1

Ra, Îì			0	50	100	200	500
I	a	, À	7,35å j45°	4,65å j26,6°	3,29å j18,4°	2,04å j11,3°	0,94å j5,8°
Ia, À			7,35	4,65	3,29	2,04	0,94
Ua, Â			0	232	329	408	472

125

Задача 3.7. Â öåïè (ðèñ. 3.7) Uë = 220 Â, R = 6 Îì, XL = 8 Ом. Определить линейные токи и активную мощность цепи: 1) при нормальном режиме работы; 2) при обрыве в фазе ab; 3) при обрыве линейного провода А.

Р е ш е н и е . 1. Находим фазные токи нагрузки:

	Iab = Ibc	= Ica = Iô =	Uô	=	Uë	=	220	= 22 À.
			Zô		R2 + XL2		62 + 82

Фазные токи отстают по фазе от соответствующих напряжений на угол ϕ = arctgXLR = 53,2° (ðèñ. 3.7, б).

Линейные токи находим по первому закону Кирхгофа (рис. 3.7, а):

I a = I ab − I ca; I b = I bc − I ab; I c = I ca − I bc.

При симметричной нагрузке (векторная диаграмма рис. 3.7, б)

Ia = Ib = Ic = 3Iô = 38 À.

Ð è ñ . 3 . 7

126

Активная мощность

P= 3UëIëcosϕ = 3RIô2 = 8,72 êÂò.

2.При обрыве в фазе ab (векторная диаграмма рис. 3.7, в) токи равны соответственно:

Iab = 0; I a = −I ca ; Ia = Ica = 22 À;

I b = I bc ; Ib = Ibc = 22 À;

I c = I ca − I bc ; Ic = 3Iô = 38 À.

Активная мощность

P = RIbc2 + RIca2 = 2RIô2 = 5,81 êÂò.

3.При обрыве линейного провода А напряжения и токи фаз ab

èca уменьшаются вдвое:

Uab = Uca =				Ubc	= 110 Â;
			2
Iab = Ica =	Ibc	=		Uë		= 11 À.
			2 R2 + XL2
2

Для нахождения линейных токов строим векторную диаграмму (рис. 3.7, г) на основании следующих уравнений:

U bc = −U ab − U ca ; I a = 0; I b = I bc − I ab; I c = I ca − I bc.

Из диаграммы следует, что

Ib = Ic = Ibc + Iab = 22 + 11 = 33 À.

Активная мощность

P = RIab2 + RIbc2 + RIca2 = 4,36 êÂò.

Задача 3.8. Приемник, каждая из фаз которого обладает сопротивлением Z, включен треугольником на линейное напряжение сети Uë. Как изменятся ток и мощность приемника при подключе- нии его звездой?

127

Р е ш е н и е . При соединении треугольником ток и мощность приемника равны соответственно:

Ië	= 3Iô	= 3	Uë	; P = 3UëIë cosϕ.
			Z

При звезде

I

ëΥ

= I

ôΥ

=

Uô

=

U

ë

;

P =

3U

ë

I

ëΥ

cosϕ.

Z

3Z

Υ

Находим:

Ië

3

Uë

P

Ië

Iô

=

Z

= 3;

=

= 3;

= 3.

I

Uë

P

I

I

ëΥ

Υ

ëΥ

ôΥ

3Z

Таким образом, линейные токи и мощность приемника уменьшатся в 3 раза, а фазные токи – в 3 раз.

Задача 3.9. Â öåïè (ðèñ. 3.8, а) Uë = 380 Â, R1 = XС = 100 Îì, R2 = 80 Îì, XL = 60 Ом. Определить линейные токи, активную и реактивную мощности цепи.

Р е ш е н и е . При решении задачи используем комплексный метод. Принимаем Uab = 380 В, т.е. совмещаем вектор данного линейного напряжения с осью действительных величин комплексной плоскости (рис. 3.8, б). Тогда:

U bc = 380å− j120 Â; U ca = 380å− j240 = 380å j120 Â.

Ð è ñ . 3 . 8

128

Определяем фазные токи:

I ab =

U

ab

=

U

ab

=

380

=

380

=

3,8å

− j37

À;

Zab

R2

+ jXL

80 + j60

100å j37

U

bс

U

bс

380å− j120

380å− j120

− j30

I bс =

Zbс

=

− jXс

=

=

100− j90

=

3,8å

À;

− j100

I сa =

U

сa

=

U

сa

=

380å j120

= 3,8å j120

À.

R1

Zсa

100

Отметим, что Zab

= Zbc

= Zca = Zô = 100 Ом и модули токов рав-

íû: Iab = Ibc = Ica = 3,8 À.

Линейные токи находим по первому закону Кирхгофа:

I a = I ab − I ca

= 3,8å− j37

− 3,8å j120 = 4,94 − j5,57 = 7,45å− j48,5

À;

I b = I bc

− I ab = 3,8å− j30

− 3,8å− j37

= 0,25 + j0,38 = 0,45å j57

À;

I c = I ca

− I bc

= 3,8å j120

− 3,8å− j30

= −5,19 + j5,19 = 7,3å j135

À.

Векторная диаграмма напряжений и токов представлена на рис. 3.8, б.

Активная и реактивная мощности цепи

							= 2,6 − j0,58 ê À;
S = Sab + Sbc + Sca =	U	ab Iab +	U	bc Ibc +	U	ca Ica

P = 2,6 êÂò; Q = – 0,58 квар (емкостный характер).

Задача 3.10. Симметричный приемник, соединенный треугольником и имеющий сопротивление фазы Zô = 15 + j18 Îì , подклю- чен к генератору с симметричной системой напряжений (Uë.ã = = 380 В) с помощью ЛЭП, провода которой имеют сопротивление Zë = 1+ j2 Îì (ðèñ. 3.9, а). Определить линейные и фазные токи цепи, а также фазное напряжение нагрузки. Построить векторную диаграмму.

Р е ш е н и е . Задача упрощается после преобразования треугольника сопротивлений нагрузки в эквивалентную звезду с сопротивлением

Z Υ = Z3ô = 15 +3 j18 = 5 + j6 = 7,8å j50° Îì.

129