СБОРНИК ЗАДАЧ

Iíîì = 5 À, Uíîì = 150 Â, αíîì = 150 делений. У счетчика 1 кВт ч соответствует 2500 оборотам диска. Определить погрешность счет-

÷èêà.

Р е ш е н и е . Энергия, зарегистрированная счетчиком,

W = CN = 3600 1000 N = 3600 1000 24 = 34560Äæ, n0 2500

ãäå С – номинальная постоянная счетчика; n0 – передаточное число счетчика; n0 = 2500 оборот(êÂò ÷) .

Измеренная с помощью ваттметров и секундомера действительная энергия

W	= (P + P )	t =		IíîìUíîìα1	+	IíîìUíîìα2		t = 36 000 Äæ
0	1 2			αíîì		αíîì

Относительная погрешность счетчика

δ = W − W0 100 = −4%.

W0

Задача 9.16. Измерение параметров конденсатора производилось по схеме, приведенной на рис. 9.11. После уравновешивания моста получили: R1 = 1,25êÎì, R2 = 10êÎì, C0 = 10ìêÔ, R0 = = 5,4 кОм. Чему равны Cx è Rx при параллельной схеме замещения конденсатора?

Р е ш е н и е . Мост переменного тока уравновешен при равенстве произведений комплексных сопротивлений противоположных плеч моста: R1Zx = R2Z0 èëè

	R1	=		R2	;
	1 Rx + jωCx		1 R0 + jωC0

R1R0 + jωR1C0 = R2Rx + jωR2Cx .

При равенстве двух комплексов равны их вещественные и мнимые части:

R1R0 = R2Rx ; jωR1C0 = jωR2Cx .

Отсюда параметры параллельной схемы

замещения конденсатора:

Ð è ñ . 9 . 1 1

250

R		= R	R2	= 43,2 êÎì; C		= C		R1	= 1,25 ìêÔ.
							0 R
	x	0 R			x
			1				2

Задача 9.17. В момент равновесия мостовой цепи (рис. 9.12)
зафиксировано следующее: R1 = 10 Îì, R2 = 14,8 Îì, С2 = 16, ìêÔ,
С0 = 1 мкФ. Чему равен тангенс угла по-
терь tgδ конденсатора Cx ,					если частота
источника питания 1000 Гц?
Р е ш е н и е . Равновесие мостовой цепи
имеет место при равенстве отношений ком-
плексных сопротивлений соседних плеч:
	Z x	R1 = Z0	Z2
Rx +	1	1 + jωC2					Ð è ñ . 9 . 1 2
èëè	jωCx = R2		;
R1		jωC0
		Rx +	1		=	1	+ C2 .
		R	jωC	R		jωC R	C
		1		x	1	0 2	0

Приравнивая вещественные и мнимые части комплексов, по-

лучаем:
R		= R	C2	= 16 Îì; C		= C		R2	= 1,48 ìêÔ.
	x	1 C			x		0 R
			0				1

При последовательной схеме замещения конденсатора тангенс угла потерь

tgδ = ωCx Rx = ωC2R2 = 2πfC2R2 = 0,15.

Задача 9.18. Цепь (рис. 9.13) используется для наблюдения на экране осциллографа формы кривой индукции в исследуемом ферромагнитном образце. Параметры интегратора: R = 1 ÌÎì, C = 1 мкФ. Частота источника питания f = 50 Гц. Чувствительность осциллографа 2,5 мм/мВ. Площадь сечения образца S = 2 10–4 ì2, максимальная индукция Bmax = 1,5 Тл. Какое наибольшее число витков

должна иметь измерительная обмотка образца, чтобы отклонение по вертикали луча на экране осциллографа не превышало 60 мм? Рассчитать напряжение на измерительной обмотке образца.

251

Ðè ñ . 9 . 1 3

Ðе ш е н и е . Переменный магнитный поток наводит во вторич- ной обмотке образца ЭДС

e2 = − dψ = − w2S dBt , dt dt

ãäå Bt – мгновенное значение индукции в образце.

Поскольку сопротивление вторичной цепи практически чисто

активное (R >> 1 ωC), òî òîê

i ≈

e2

= −

w2S

dBt

.

2

R

R

dt

Напряжение на конденсаторе

uC =

1

∫i2dt = −

w2S

Bt ,

C

RC

откуда находим искомое число витков измерительной обмотки, исходя из максимальной индукции, вызывающей наибольшее отклонение луча осциллографа:

					u RC			u RC		0,012 106 10−6
	w			=	C	=		C	=		= 40витков,
	2				SBt			SBmax		2 10−4 15,
ãäå uC	=			60ìì				= 0,012Â		– напряжение на конденсаторе, вы-
			2,5ìì ìÂ
	2

зывающее заданное отклонение луча осциллографа.

При синусоидальном законе изменения индукции в образце напряжение на измерительной обмотке

U2 = 4,44 fw2SBmax = 2,67Â.

252

Ð è ñ . 9 . 1 4

Задача 9.19. Магнитоэлектрический микроамперметр с пределом измерения по току Iíîì = 200 мкА и внутренним сопротивлением RA = 166,8 Ом необходимо использовать для измерения температуры путем сочетания его с хромель-копелевой термопарой, удельная термо-ЭДС которой eò = 69,5 ìê°С. Найти предельную температуру, которую можно измерить данным прибором, цену деления шкалы прибора по температуре и току, если число делений шкалы αíîì = 100. Температуру окружающей среды t0 принять равной 20 °С.

Р е ш е н и е . Напряжение полного отклонения прибора

Uíîì = RÀ Iíîì = 166,8 200 10−6 = 0,03336 Â.

Поскольку удельная термо-ЭДС задается в микровольтах на 1 °С разности температур горячего спая термопары и окружающей среды, то предельная температура, которую можно измерить этим прибором,

tíîì	= t0	+	Uíîì	= 20 +	0,03336 106	= 500 °Ñ.
			eò
				69,5

Цена деления прибора по току

CI = Iíîì = 200 = 2 ìêÀ äåë.,

αíîì 100

по температуре –

Сt = t íîì = 500 = 5 °C äåë.

αíîì 100

Задача 9.20. Неуравновешенная мостовая цепь (рис. 9.14) используется для измерения деформации в исследуемой детали. На- чальное сопротивление тензорезистора

ÒÐ R = 100 Ом, а его тензочувстви-

тельность Sòð = 2,04; сопротивление остальных плеч моста – также по 100 Ом. Напряжение источника питания U = 2 В. Сопротивление милли-

вольтметра RmV = 10 кОм. Чему равна деформация в детали, если измеренное милливольтметром напряжение разба-

ланса U = 5 ì ?

253

Р е ш е н и е . Поскольку в измерительную диагональ моста включен милливольтметр с большим входным сопротивлением (RmV >> R), то напряжение разбаланса неуравновешенного моста

R

R

2R ± R − 2R

U

± R

U = U

−

= U

=

4

2R 2R ±

R

4R ± 2 R

R ± R 2

или с учетом того, что

R 2 << R,

U ≈ U 4

R R.

Таким образом, относительное изменение сопротивления тен-

зорезистора
R =	4	U	=	4 0,005	= 0,01 = 1%.
		U
R			2

Деформация, т.е. относительное линейное удлинение или сжатие, обусловленное нагрузкой на исследуемую деталь,

ε = l = 1 R = 1 1 = 0,49 %.

lSòð R 2,04

Контрольные задачи

Задача 9.21. Измеряемое сопротивление связано с сопротивлением остальных плеч одинарного уравновешенного моста уравнением Rx = R2 R4 / R3. Определить относительную погрешность из-

мерения Rõ, если известны погрешности изготовления резисторов плеч моста: δ2 = +0,1%, δ3 = +0,3%, δ4 = – 0,2%.

Задача 9.22. Для измерения сопротивления используется вольтметр на 150 В класса точности 1,5 и амперметр на 2 А класса точ- ности 1,0. Приборы показали 120 В и 1,5 А соответственно. Определить максимальные абсолютную и относительную погрешности измерения сопротивления. Собственным потреблением мощности приборов пренебречь.

Задача 9.23. Магнитная индукция в воздушном зазоре магнитоэлектрического измерительного механизма равна 0,1 Тл, площадь рамки 4 см2, сопротивление обмотки 10 Ом. Для полного отклонения подвижной части требуется подвести напряжение 80 мВ. При этом создается вращающий момент 4 10−5Н м. Определить число витков обмотки.

Задача 9.24. Магнитоэлектрический миллиамперметр (ток полного отклонения 1 мА, сопротивление 20 Ом) необходимо использовать в качестве двухпредельного амперметра на 1 и 2 А. Начертить схему амперметра и рассчитать сопротивление шунтов.

254

Задача 9.25. Â öåïè (ðèñ. 9.15) R = 100 Îì, u = 141sinωt В. Опреде-

лить показания ферродинамиче-
ских приборов. Вольт-амперную
характеристику диода считать иде-
альной.
Задача 9.26. В цепи проходит ток
i = 2 + 1,5sinωt + 0,7sin(3ωt –30°) À.	Ð è ñ . 9 . 1 5
Определить показания магнито-

электрического и электромагнитного амперметров, включенных в эту цепь.

Задача 9.27. Форма измеряемого напряжения показана на рис. 9.16. Определить показания магнитоэлектрического и электроди-

намического вольтметров.
Задача 9.28. Имеются два вольтметра,
каждый с верхним пределом измерения
150 В. Сопротивление электромагнитного
вольтметра 20 кОм, электродинамическо-
го – 5 кОм. Можно ли измерить напряже-
ние 220 В путем последовательного вклю-
чения этих вольтметров?	Ð è ñ . 9 . 1 6
Задача 9.29. В симметричной цепи
(ñì. ðèñ. 9.9, а) ваттметры показывают:

α1 = 40 делений и α2 = 60 делений. Определить коэффициент мощности цепи и построить векторную диаграмму.

Задача 9.30. В симметричной цепи (см. рис. 9.9, а) показание второго ваттметра равно нулю. Построить векторную диаграмму, определить коэффициент мощности цепи и характер нагрузки.

Задача 9.31. Два однофазных счетчика активной энергии, вклю- ченных в трехфазную симметричную цепь для учета расхода энергии, за месяц работы показали: первый – 12 МВт ч, второй – 16 МВт ч. Определить активную и реактивную энергию цепи и среднемесяч- ный коэффициент мощности цепи.

Задача 9.32. К однофазной цепи через трансформатор тока 200/5 и трансформатор напряжения 10 000/100 подключены амперметр, вольтметр и ваттметр. Начертить схему измерения и определить ток, напряжение и коэффициент мощности цепи, если приборы показали соответственно 4 А, 105 В и 336 Вт.

Задача 9.33. Номинальная постоянная счетчика Сíîì =

= 1250 Вт с/оборот. При мощности цепи 1,27 кВт диск счетчика за 20,1 с сделал 20 оборотов. Определить относительную погрешность счетчика.

255

Задача 9.34. Определить условие равновесия мостовой цепи, изображенной на рис. 9.11, при последовательной схеме замещения измеряемого конденсатора.

Задача 9.35. В качестве измерительного прибора термоэлектрического термометра применяется магнитоэлектрический милливольтметр на 100 мВ с внутренним сопротивлением 1 кОм. Каким должно быть сопротивление добавочного резистора, чтобы при разности температур горячего и холодного спаев термобатареи в 50 °С стрелка прибора отклонялась на всю шкалу? Чувствительность термобатареи 10 мВ/°С.

Ответы к контрольным задачам

9.21. –0,4%. 9.22. ±2,57 Îì, ±3,2%. 9.23. 125. 9.24. 0,01 Îì. 9.25. 100 Â, 0,707 À, 50 Âò. 9.26. 2 À, 2,32 À. 9.27. 20 Â, 34,6 Â. 9.28. Íåò. 9.29. 0,945. 9.30. 0,5, емкостный. 9.31. 0,97. 9.32. 160 À, 10,5 êÂ, 0,8. 9.33. – 2,06%.

9.35. 4 êÎì.

10. АСИНХРОННЫЕ МАШИНЫ

Задачи с решениями

Задача 10.1. На разрезе асинхронного двигателя с трехфазной обмоткой статора, состоящей из трех одинаковых катушек, смещенных в пространстве относительно друг друга на угол 2π / 3 (рис. 10.1), показать картину результирующего магнитного поля для двух моментов времени: ωt1 = 0 è ωt2 = π/2 (рис. 10.2). Для упрощения обмотка статора изображена одновитковыми катушками А – Х, В – Y, С – Z. Обмотка питается трехфазной системой токов частотой f1 = 50 Гц. Определить число пар полюсов, частоту и направление вращения магнитного поля.

Ð è ñ . 1 0 . 1

Ð è ñ . 1 0 . 2

Р е ш е н и е . Докажем, что в неподвижных катушках статора асинхронного двигателя образуется круговое вращающееся магнитное поле. Для его возбуждения выполнены два условия: три одинаковых тока смещены в пространстве и во времени. Второе условие достигается благодаря тому, что катушки подключают к трехфазной системе токов, имеющих сдвиг во времени на 1/3 периода (рис. 10.2):

iА = Imsinωt; iВ = Imsin(ωt − 2π3); iС = Imsin(ωt + 2π3).

Условно примем, что ток фазы положителен, если он направлен от начала катушки (А, В, С) к ее концу (Х, Y, Z), а отрицателен – от конца к началу (см. рис. 10.1). Ток каждой катушки создает собственное пульсирующее магнитное поле, магнитные индукции которого выражаются уравнениями:

257

ВА = Вmsinωt; ВВ = Вmsin(ωt − 2π3); ВС = Вmsin(ωt + 2π3).

Положительное направление векторов индукций магнитного поля каждой катушки определяется по правилу правоходового винта и показано на рис. 10.1.

Сумма векторов магнитных индукций катушек образует результирующее магнитное поле

ВΣ = ВА + ВВ + ВС .

Построим картины результирующего магнитного поля и векторные диаграммы магнитных индукций для моментов времени

ωt1 = 0 (ðèñ. 10.3, а) è ωt2 = π / 2 (ðèñ. 10.3, б).

В момент времени ωt1 = 0 òîê ôàçû А равен нулю и индукция

магнитного поля ВА = 0. Òîê ôàçû В отрицателен, т.е. направлен от конца Y к началу В катушки. Индукция поля

В	= B sin(–	2π	) = −	3	B .
		3
В	m			2 m

Òîê ôàçû С положителен и направлен от начала С к концу Z катушки, индукция магнитного поля

В	= B sin	2π	=	3	B .
		3
C	m			2 m

Результирующая индукция магнитного поля (рис. 10.3, а)

В	= 2B cos30 = 2	3	B cos30 = 1,5B .
Σ	В	2 m		m

Íà ðèñ. 10.3, б изображена картина магнитного поля и векторная диаграмма магнитных индукций для момента времени ωt2 = π/2, ãäå:

ВА = Вm; ВВ = Вmsin(−30 ) = − 1Вm; 2

В	= В sin210 = −	1	В	; В	= В	+	1	В	= 1,5В .
		2
С	m		m	Σ	m	2		m	m

Из рис. 10.3 видно, что результирующее магнитное поле, не изменяясь по величине (B∑ = 1,5Bm), вращается по ходу часовой стрелки и за 1/4 периода синусоидального тока поворачивается в пространстве на угол 90°, за период Т совершит полный оборот на 360°, за 1 с – 1/Т = f1 оборотов, а за 1 мин – 60f1 оборотов.

258

Ð è ñ . 1 0 . 3

Рассмотренное поле является двухполюсным, т.е. имеет одну пару полюсов (p = 1), частота его вращения n1 = 60f1 ìèí–1.

При промышленной частоте синусоидального тока f1 = 50 Ãö

частота вращения двухполюсного магнитного поля n1 = 3000 ìèí–1. Она постоянна и называется синхронной.

Задача 10.2. Как изменится магнитное поле трех одинаковых катушек, рассмотренных в задаче 10.1, если при включении трехфазной обмотки ошибочно поменять местами начало А и конец X катушки фазы А?

Р е ш е н и е . В данном случае изменится направление тока в катушке фазы А. Построим векторные диаграммы магнитных индукций трех катушек и результирующей индукции магнитного поля для моментов времени ωt1 = 0 è ωt2 = π/2. Воспользуемся рис. 10.1 и 10.2.

259