СБОРНИК ЗАДАЧ

Реактивная мощность синхронного двигателя

QÑÄ = PÑÄtgϕÑÄ = 140 0,488 = –68,3 êâàð.

Потребляемая заводом активная мощность с учетом синхронного двигателя

Pç = P + PÑÄ = 750 + 140 = 890 êÂò.

Реактивная мощность, потребляемая заводом с учетом реактивной мощности синхронного двигателя,

Qç = Q + QÑÄ = 451,5 − 68,3 = 383,2 âàð.

Коэффициент мощности завода с учетом работы синхронного двигателя в составе нагрузки

	cosϕ2 =	Pç		=	890	= 0,92.
		P2	+ Q2		8902 + 383,22
		ç	ç

Контрольные задачи

Задача 10.20. Какова частота вращения ротора шестиполюсного асинхронного электродвигателя, если он присоединен к сети ча- стотой f1 = 50 Гц и имеет скольжение ротора s = 0,04?

Задача 10.21. Частота вращающегося ротора асинхронного электродвигателя с контактными кольцами n = 2850 ìèí–1. Активное сопротивление обмотки ротора R2 = 0,03 Ом. Частота тока питающей сети f1 = 50 Гц. Определить добавочное сопротивление Rä, которое необходимо включить в цепь ротора, чтобы при неизменном электромагнитном моменте частота вращения ротора стала равной n′ = 2100 ìèí–1 .

Задача 10.22. Асинхронный четырехполюсный двигатель с короткозамкнутым ротором имеет номинальное скольжение síîì = = 0,03 и магнитный поток Ф = 0,0275 Вб. Определить ЭДС и ча- стоту тока в роторе в момент пуска двигателя, если при номинальной нагрузке E2 íîì = 1,83 Â, f1 = 50 Ãö.

Задача 10.23. Найти значение и фазу номинального тока ротора асинхронного двигателя с контактными кольцами, если известно, что E2íîì = 112 Â, R2 = 0,08 Îì, X2 = 2,4 Îì è síîì = 0,025.

Задача 10.24. Для двигателя, параметры которого даны в условии задачи 10.13, найти ток и пусковой момент при пуске его без

280

добавочного сопротивления в случае снижения напряжения сети на 10%. При решении задачи воспользоваться упрощенной схемой замещения одной фазы двигателя.

Задача 10.25. Для асинхронного двигателя АИР112М2 найти номинальный вращающий момент и пусковой ток двигателя при соединении обмоток двигателя треугольником.

Задача 10.26. Обмотки статора асинхронного двигателя при работе в номинальном режиме соединены треугольником. При пуске двигателя обмотки статора переключаются в звезду. Возможен ли пуск двигателя в ход при нагрузке, равной 50% от номинальной, если кратность пускового момента при номинальном фазном напряжении равна 1,4?

Задача 10.27. Найти электромагнитную мощность двигателя АИР132М4 в номинальном режиме, если потери мощности в стали при этом считать равными Pñ = 0,05 PÍÎÌ, а потери мощности в

обмотках статора Pý1 = 0,035 PÍÎÌ.

Ответы к контрольным задачам

10.20. 960 ìèí–1. 10.21. 0,15 Îì. 10.22. E2í = 61 Â; E2 = 1,83 В, частота тока в роторе при пуске f2 = f1 = 50 Ãö. 10.23. 28 À, 36°50′. 10.24. 12,6 Í ì, 39,6 À. 10.25. 47,16 Í ì, 116 À. 10.26. Íåò. 10.27. 11,64 ÊÂÒ.

11. СИНХРОННЫЕ МАШИНЫ

Задачи с решениями

Задача 11.1. Построить диаграммы распределения магнитных индукций поля ротора, поля токов статора и результирующего поля двухполюсного синхронного генератора для двух режимов: 1) ЭДС фазы статора E0 и ток статора I совпадают по фазе; 2) ток I отстает от E0 на угол ψ. Выяснить по диаграмме природу электромагнитного момента Мýì и влияние на него угла рассогласования θ между магнитными осями полюсов ротора и результирующего поля синхронного генератора. Определить возможность регулирования активной мощности, отдаваемой генератором в сеть.

Р е ш е н и е . Основное магнитное поле синхронного генератора создается постоянным током IÂ в обмотке возбуждения ротора. Распределение магнитной индукции B0(х) в воздушном зазоре машины синусоидально благодаря форме полюсов ротора или распределению обмотки возбуждения по пазам ротора. Поэтому магнитное поле ротора можно рассматривать как волну магнитной индукции, бегущую по зазору (рис. 11.1, а). При вращении ротора турбиной это поле индуцирует синусоидальные ЭДС e0 в проводниках статора. Направление ЭДС e0 определяется по правилу правой руки и указано точками и крестиками (рис. 11.1, б). Максимальная ЭДС E0m наводится в проводниках, где в данный момент магнитная индукция B0m максимальна.

Ð è ñ . 1 1 . 1

282

Если к обмотке статора подключен приемник и ток статора I совпадает по фазе с E0, то картина магнитного поля токов статора представлена двумя замкнутыми магнитными линиями, его полюсы Nа, Sа определены по правилу правоходового винта (рис. 11.1, б). Токи статора создают вращающееся магнитное поле, распределение магнитной индукции которого Bа(х) вдоль зазора по окружности статора синусоидально (рис. 11.1, в). Это поле вращается синхронно с полем ротора (относительно друг друга они неподвижны).

Как видно из рис. 11.1, б, возникает взаимодействие полюсов N0 – Sа è S0 – Nа, создающее электромагнитный момент, противодействующий вращению. Для поддержания вращения ротора с прежней скоростью необходимо затрачивать механическую энергию турбины.

При наложении магнитных полей ротора и статора образуется результирующее магнитное поле. Сложение двух магнитных полей с синусоидальным распределением магнитных индукций можно выполнить сложением векторов B0m è Bаm, если допустить, что магнитная цепь не насыщена. Определение вектора результирующего магнитного поля Bm ðåç (ðèñ. 11.2, а) и диаграмма распределе-

ния магнитной индукции (рис. 11.2, б) даны для случая, когда ЭДС E0 и ток статора I совпадают по фазе.

Ð è ñ . 1 1 . 2

283

Если ток статора I отстает от ЭДС E0 на некоторый угол ψ, то проводники статора с максимальным током Im будут на рис. 11.1, б смещены относительно полюсов ротора N0 – S0 на тот же угол ψ противоположно вращению.

Построение вектора Bm ðåç äàíî íà ðèñ. 11.2, в.

В обоих случаях амплитуда результирующей магнитной индукции (магнитная ось результирующего поля) смещается относительно магнитной оси поля ротора на угол θ в сторону отставания тем больше, чем больше активная нагрузка (I′ > I , óãîë θ′ > θ íà ðèñ. 11.2, а).

Угол θ между магнитными осями полюсов ротора и результирующего поля машины называют углом рассогласования (полюсов).

В генераторе полюсы ротора являются ведущими, «тянущими» за собой полюсы результирующего поля. Возникающий при взаимодействии полюсов электромагнитный момент

M = 3 E0U sinθ = Mmaxsinθ,

Ω1 X

противодействующий вращению, уравновешивается вращающим моментом турбины. Чем больше момент турбины, тем больше активная мощность P ≈ Pýì = Ω1M, отдаваемая генератором в сеть (она максимальна при θ = 90°).

Таким образом, активная мощность генератора на электростанции не определяется сопротивлением приемников в сети, а задается регулированием механической мощности турбины (впуском пара или воды в турбину).

Задача 11.2. Трехфазный синхронный генератор, обмотка которого соединена звездой, включается на параллельную работу с сетью напряжением U = 220 В. При включении соблюдены необходимые условия: ЭДС генератора E0 равна по величине и по фазе напряжению U сети. Синхронное реактивное сопротивление X = 0,5 Ом, активным сопротивлением из-за малости можно пренебречь. Построить векторные диаграммы и определить ток статора, активную и реактивную мощности генератора для следующих режи-

мов: 1) ЭДС фазы статора равна фазному				напряжению сети
(E0 = U) ; 2) после включения генератора на параллельную работу
			, è ÝÄÑ E′ возрастает до
увеличивают ток возбуждения ротора I
â					0		E′′ ñíè-
230 В (режим перевозбуждения); 3) уменьшают I					, è ÝÄÑ
				â		U	0
жается до 210 А (режим недовозбуждения); 4) при E0 =							ê ðîòî-

ру приложен дополнительный вращающий момент, и ротор полу-

284

чает временное ускорение, в результате чего вектор E0 опережает

Uíà óãîë θ = 20°.

Ðе ш е н и е . По второму закону Кирхгофа напряжение фазы ста-

òîðà U = E0 − jX I, откуда ток статора

I = E0 − U = U . jX jX

Векторная диаграмма для первого режима приведена на рис.

11.3, а, ãäå U = E0 − U = 0, значит, I = 0, P = 0, Q = 0, т.е. генератор работает вхолостую.

Векторная диаграмма для второго режима дана на рис. 11.3, б.

С ростом тока возбуждения возрастает E′	. Модуль	U = E′	− U =
0		0

= 230 − 220 = 10 Â, à òîê I′ = U = 10 = 20 À.
X	0,5

Ð è ñ . 1 1 . 3

Вектор I отстает по фазе от U на 90°, так как цепь содержит

лишь реактивное сопротивление X. По отношению к напряжению U ñåòè òîê I является отстающим (ϕ = 90°), и машина вырабатывает индуктивную реактивную мощность Q = 3UI sinϕ = 13,2 квар, а активная мощность P = 3U I cosϕ = 0.

Для третьего режима векторная диаграмма дана на рис. 11.3, в.

Здесь модуль U = U − E′′ = 10 Â, I′′ = 10 0,5 = 20 А, но вектор

0

тока, отставая на 90° от U, опережает на 90° напряжение сети (ϕ = – 90°). Значит, Q = 3UI sinϕ = −13,2 квар, т.е. в режиме недо-

возбуждения (I′′ < I	â	) синхронный генератор вырабатывает ем-
â

костную мощность. Активная мощность P = 3U I cosϕ = 0.

285

Рассмотрим четвертый режим. После включения генератора в сеть при U = E0 увеличивается вращающий момент первичного двигателя (турбины). В результате поле ротора обгоняет результирующее поле машины на угол θ = 20°, т.е. вектор E0 опережает U на θ = 20°. Векторная диаграмма для этого режима дана на рис. 11.3, г. Вектор U = E0 − U направлен к уменьшаемому, а ток I отстает по

ôàçå îò U на 90°. Он имеет активную составляющую I cosψ ≈ ≈ I cosϕ, совпадающую по фазе с E0. Это значит, что генератор отдает в сеть активную мощность

P = 3UIcosϕ ≈ 3E0Icosψ.

Из векторной диаграммы, приведенной на рис. 11.3, г, находим:

U = 2Usinϕ = 2 220sin10 = 76,4 Â;

I = UX = 76,40,5 = 152,8 À.

Активная и реактивная мощности генератора равны соответственно:

P = 3 220 152,8 cos10° = 99,3 êÂò;

Q = 3UIsinϕ = 3 220 152,8 sin10° = 17,51 êâàð.

Таким образом, регулируя ток возбуждения ротора, изменяют лишь реактивную мощность синхронного генератора. Для отдачи генератором активной мощности увеличивают вращающий момент турбины впуском пара или воды.

Задача 11.3. Трехфазный синхронный генератор имеет следующие номинальные данные: Síîì = 1600 ê À, Uíîì = 6,3 êÂ,

cosϕíîì = 0,8, níîì = 1000 ìèí–1, f = 50 Ãö, ηíîì = 95,5%. Определить число пар полюсов, ток статора и электромагнитную мощ-

ность генератора.

Р е ш е н и е . С учетом того что частота вращения генератора равна частоте вращения магнитного поля, индуцируемого токами обмотки статора (поля реакции якоря), получим, что число его пар полюсов

p = 60 fníîì = 60 501000 = 3.

Ток статора

	Síîì		1600 103
I =		=		= 146,8 À.
	3Uíîì		3 6,3 103

286

Электромагнитная мощность в режиме номинальной нагрузки

Pýì.íîì = Síîìcosϕíîì = 1600 0,8 = 1340,3 êÂò. ηíîì 0,955

Задача 11.4. Трехфазный синхронный генератор имеет Síîì =

=1500 ê À, Uíîì = 6600 В, активное сопротивление фазы обмотки статора R = 0,45 Ом, синхронное сопротивление X = 6 Îì, cosϕíîì =

=0,8 (ϕ > 0). Обмотка статора соединена звездой. Определить активное и индуктивное падения напряжения в фазе для режима но-

минальной нагрузки генератора (в процентах от Uô). С помощью

векторной диаграммы рассчитать ЭДС фазы E0 генератора. Как изменится ЭДС E0, если генератор работает с тем же напряжением Uô, номинальным током, cosϕíîì = 0,8, íî ϕ < 0?

Р е ш е н и е . Известно, что в случае ненасыщенного магнитопровода справедливо соотношение

E0 =	U	ô + jIX + IR,	(1)

ãäå IX = Uô.ð, IR = Uô.à – соответственно индуктивное и активное падения напряжения в фазе обмотки статора генератора.

Ток статора, соответствующий режиму номинальной нагрузки,

		Síîì				1500 103
Iíîì =					=						= 131 À.
		3Uíîì				3
									6600
Фазное напряжение генератора
Uô.íîì		=	Uíîì		=			6600		= 3810,5 Â.
		3							3

Найдем падения напряжения в режиме номинальной нагрузки:

Uô.ð.íîì % =

Uô.ð.íîì

100

=

I

íîì

X

100

=

131 6

1000

= 20,6%;

Uô.íîì

Uô.íîì

3815

Uô.à.íîì % =

IíîìR

100 =

131 0,45

100 = 1,55%.

Uô.íîì

3815

Векторная диаграмма синхронного генератора, построенная по соотношению (1) для случая индуктивной нагрузки (ϕ > 0), приведена на рис. 11.4.

287

Ð è ñ . 1 1 . 4
	Ð è ñ . 1 1 . 5

Из векторной диаграммы можно найти ЭДС E0 по теореме косинусов

	E0 =	Uô2 +	Uô2 − 2Uô Uôcosγ,	(2)
ãäå Uô = Uô2	.ð + Uô2	.à .
Для режима номинальной нагрузки имеем:
ϕíîì = arccos0,8 = 36,9°;			Uô.íîì = 788,2 Â; γíîì = 13116,	°.

Тогда значение ЭДС, индуцируемой основным магнитным потоком в номинальном режиме работы генератора,

E0íîì = Uô2

.íîì + Uô2

.íîì − 2Uô.íîì Uô.íîì cosγíîì =

=3810,52 + 788,22 − 2 3810,5 788,2 cos131,16 = 4370 Â.

Âслучае работы генератора на емкостную нагрузку (ϕ < 0) век-

торная диаграмма примет вид, показанный на рис. 11.5.

Для случая работы генератора на емкостную нагрузку cosϕ =

=0,8, ϕ = – 36,9°.

Из векторной диаграммы, приведенной на рис. 11.5, можно определить, что в этом режиме γ = 55,63°. Тогда, подставив в формулу (2) параметры, соответствующие анализируемому режиму работы, найдем:

E0 = 3810,52 + 788,22 − 2 3810,5 788,2 cos55,63 = 3328 Â.

288

Задача 11.5. Трехфазный синхронный генератор, имеющий Síîì = = 68 750 ê·À, Uíîì = 13 800 Â, cosϕíîì = 0,8, Iíîì = 2880 А, работает параллельно с системой бесконечной мощности с Uñ = 13 800 В = = const при номинальном токе возбуждения. Синхронное сопротивление генератора X = 3,2 Ом. Рассчитать угол θ, cosϕ, I для различных нагрузок генератора, равных 1,0; 0,75; 0,50; 0,25 Píîì, ãäå Píîì – активная мощность, выдаваемая в систему в режиме номинальной нагрузки.

Р е ш е н и е . Если принять, что магнитопровод генератора ненасыщенный, и пренебречь активным сопротивлением обмотки статора, то уравнение электрического состояния фазы обмотки статора будет иметь вид

E0 =	U	ô + jIX.	(1)

Из условия неизменности тока возбуждения генератора следует, что ЭДС E0 = const. Отсюда можно сделать вывод, что годографом конца вектора E0 при построении совмещенных векторных диаграмм, соответствующих заданным режимам нагрузки синхронного генератора, будет являться окружность радиуса, равного E0.

Из условия, что генератор работает на систему бесконечной мощности, следует:

Uô = Uô.íîì = Uíîì = 13 800 = 7967,4 Â = const.
3	3

Построим векторную диаграмму генератора по уравнению (1) для номинального режима работы, когда ϕíîì = arccos0,8 = 36,8°.

Учтем, что в режиме номинальной нагрузки падение напряжения на синхронном сопротивлении генератора

Iíîì X = 2880 3,2 = 9216 Â.

Из векторной диаграммы, приведенной на рис. 11.6, находим:

γíîì = 180 − (90 − ϕíîì ) = 180 − 90 + ϕíîì = 90 + 36,8 = 126,8 .

Тогда по теореме косинусов из векторной диаграммы получаем:

E0	= Uô2	.íîì + (Iíîì X)2 − 2Uô.íîì (Iíîì X)cosγíîì =
=	7967,42 + 92162 − 2 7967,4 9216cos126,8 = 15 375 Â.

289