СБОРНИК ЗАДАЧ

Рассчитаем максимальный момент, развиваемый генератором:

Mmax =

3E0Uô

=

3 15 375 7967,4

=

XΩ1

3,2 314

= 0,366 106 Í ì,

ãäå

Ω

= πn

= π 3000 = 314 ñ−1 – угловая

1

скорость. 30

30

Ð è ñ . 1 1 . 6

Из условия M = Mmaxsinθ находим:

sinθ =

M

=

P

=

PXΩ1

=

PX

.

M

max

Ω M

Ω 3E U

3E U

1

max

1

0

ô

0 ô

Тогда

PX

θ = arcsin

.

(2)

3E0Uô

Учитывая, что в номинальном режиме

Píîì = Síîìcosϕíîì = 68 750 0,8 = 55 000 êÂò,

по формуле (2) получаем:

θíîì = arcsin

55 106

3,2

= arcsin0,479 = 28,62°.

3 15 375 7967,4

Расчет параметров θ, cosϕ, I для других нагрузок генератора, указанных в условии задачи, выполняем аналогично. Ниже дан

расчет для случая, когда P = 0,75 Píîì.
Величина угла рассогласования
	P			0,75 55	106
θ = arcsin			= arcsin			= arcsin0,359	= 21,03°.
	Ω M
		max		314 0,366
	1

Тогда по теореме косинусов для векторной диаграммы, приведенной на рис. 11.6, с учетом рассчитанного значения θ = 21,03° получим:

I X = Uô2.íîì + E02 − 2Uô.íîì E cosθ =

= 7967,42 + 15 3752 − 2 7967,4 15 375cos20,03° = 8437,5 À.

290

Рассчитаем теперь ток I и коэффициент мощности cosϕ:

= IX = 8437,5 =

I 2637 À;

X3,2

	P		P		0,75	55 106
cosϕ =		=		=			= 0,654.
	S		3UI		3 13
						800 2637

Расчеты для других загрузок генератора выполнены аналогич- но. Результаты расчетов представлены в табл. 11.1.

Ò à á ë è ö à 1 1 . 1

	P/Píîì			1	0,75	0,5	0,25
θ = arcsin	P		ýë. ãðàä	28,62	21,03	13,85	6,88
	Ω M
	1	max
	I Х, Â			9216	8437,5	7873,5	7525,5
	I, À			2880	2637,2	2460,5	2351,7
	cosϕ			0,8	0,654	0,47	0,245

Задача 11.6. Для турбогенератора типа Т2-30-2 с паспортными

данными Uíîì = 10,5 êÂ, Píîì = 30 103 êÂò, X = 9,35 Îì, Iâ 0 = 152 А (ток возбуждения, при котором ЭДС E0 = Uô.íîì) построить

U-образную характеристику при активной нагрузке P = 0,3 Píîì и изменении тока возбуждения в таких пределах, при которых коэффициент мощности изменяется от cosϕ = 0,5 (емк.) до cosϕ =

=0,5 (èíä.).

Ðе ш е н и е . Расчет U-образной характеристики выполняется по

семейству векторных диаграмм, которые строятся для указанного в условии задачи диапазона изменения коэффициента мощности cosϕ.

Рассчитаем режим работы и построим векторную диаграмму

для случая cosϕ1 = 1. Учитывая, что ток статора I =								P	, ïî-
								3Ucosϕ
лучим:
	0,3P				0,3 30 106
I1 =		íîì		=		= 495 À.
	3U	íîì	cosϕ		3 10,5 103 1
			1

Тогда падение напряжения в фазе обмотки статора

Uô1 = I1X = 495 9,35 = 4628,25 Â.

291

+1

,,,,,

\

\

\

UФ\\,

\ \ ,

\

\

--------\----------
1,	\ ,	12
	).

+j

Ð è ñ . 1 1 . 7

292

Фазное напряжение обмотки статора Uô.íîì = U íîì 3 = 6062 В. Векторная диаграмма фазы обмотки статора при cosϕ = 1 при-

ведена на рис. 11.7. Из нее получим:

E01 = Uô2.íîì + Uô12 = 60622 + 4628,252 = 7627 Â.

В случае линейности характеристики намагничивания синхронного генератора его ЭДС E0 пропорциональна току возбуждения. Поэтому для рассчитываемого режима ток возбуждения

	Iâ1	= Iâ0	E01	= 152	7627	= 191,2 À.
			Uô.íîì		6062

Выполним расчет и для случаев: cosϕ2 = 0,5, ϕ2 = 60° è cosϕ3 = 0,5,

ϕ3 = – 60°.

Ïðè cosϕ2 = 0,5, ϕ2 = 60° получим:

I2	=		0,3 30 106		= 990 À;
			10,5 103	0,5
	3

Uô2 = I2Х = 990 9,35 = 9256,5 Â;

γ2 = 180° − (90° − ϕ2 ) = 90° + ϕ2 = 150°;

	E02 = Uô.2	íîì + Uô22 − 2Uô. íîì Uô2cosγ2 =
	= 60622 + 9256,52 − 2 6062 9256,5cos150° = 14 820 Â;
	Iâ2 = Iâ0		E02	= 152	14 820		= 3716, À.
			Uô. íîì			6062
	Ïðè cosϕ3 = 0,5, ϕ3 = – 60° имеем:
	I3 = 990 À;		Uô3 = I3Х = 990 9,35 = 9256,5 Â;

γ3 = 180° − (90° + 60°) = 30 ;

E03 = 60622 + 9256,52 − 2 6062 9256,5 cos30 = 5024 Â;

	Iâ3	= Iâ0	E03	= 152	5024	= 126 À.
			Uô.íîì		6062

293

Совмещенные векторные диаграммы, соответствующие выполненным выше расчетам, приведены на рис. 11.7.

Аналогично можно выполнить расчет и для случая ϕ = ± 30°. Соответствующие векторные диаграммы не приведены.

Результаты расчета сведены в табл. 11.2.

Ò à á ë è ö à 1 1 . 2

cosϕ	0,5 (åìê.)	0,866(åìê.)	1	0,866(èíä.)	0,5 (èíä.)
I, À	990	571,4	495	571,4	990
IХ, Â	9256,5	5342,6	4628,25	5342,6	9256,5
E0, Â	5024	5736	7627	9883	14820
Iâ, À	126	143,8	191,2	247,8	371,6

По результатам расчета построена U-образная характеристика, приведенная на рис. 11.8.

Ð è ñ .

1 1 . 8

Задача 11.7. Для синхронного двигателя СДН-16-38-8 построить векторную диаграмму и угловую характеристику М(θ) при номинальной нагрузке и номинальном возбуждении. Номинальные данные двигателя: Píîì = 800 êÂò, Uíîì = 6000 Â, f = 50 Ãö, ηíîì =

=94,9%, cosϕíîì = 0,8 (опереж.), Мmax / Мíîì = 1,9, X = 40 Îì.

Ðе ш е н и е . Номинальная скорость вращения двигателя

Ω1 = 2πfp = 3144 = 78,5 ñ−1,

294

ãäå p = 4 – число пар полюсов двигателя. Номинальный момент

Míîì = Píîì = 800 103 = 10,19 103 Í ì. Ω1 78,5

Максимальный момент

Mmax = 1,9Míîì = 1,9 10,19 103 = 19,36 103 Í ì.

Угол рассогласования в номинальном режиме работы найдем из уравнения угловой характеристики

M =	3Uô.íîìE0					sinθ = Mmax sinθ.			(1)
		Ω1X
Отсюда sinθ = M Mmax ;		θ = arcsin(M Mmax ).
Таким образом, получим:
θíîì = arcsin Míîì = arcsin1019, 103								= arcsin0,526 = 31,76 .
Mmax				19,36 103
Угловая характеристика М(θ),
построенная по уравнению (1),
приведена на рис. 11.9.
Векторную диаграмму стро-
им по уравнению электрическо-
го состояния фазы обмотки ста-
тора в номинальном		режиме,
пренебрегая падением напряже-
ния в активном сопротивлении
обмотки. Тогда уравнение будет
иметь вид
U ô.íîì = E0 + jI íîì X,								Ð è ñ .	1 1 . 9
ãäå
Uô.íîì		=	U	íîì	=		6 103	= 3464 Â;
				3			3
Iíîì =				Píîì				= 101,4 À.
	3Uíîìηíîìcosϕíîì

295

	Построение векторной диаграм-
	мы (рис. 11.10) начнем с вектора
	Uô.íîì, располагая его по оси дей-
	ствительных величин комплексной
	плоскости. Вектор тока Iíîì опере-
	жает вектор напряжения Uô.íîì íà
	óãîë ϕíîì = arccos (0,8) = 36,87°.
	В конце вектора Uô.íîì строим век-
	òîð j IíîìX, перпендикулярный век-
	òîðó òîêà Iíîì и опережающий его
	на 90°. Модуль этого вектора IíîìХ =
	= 101,4 40 = 4056 В. Вектор ЭДС
	E0 получим, соединив начала век-
Ð è ñ .	торов Uô.íîì è j I íîì X.
	1 1 . 1 0
	Модуль ЭДС E0 найдем по тео-
реме косинусов для построенного треугольника АВС напряжений
(ðèñ. 11.10):

E0 = Uô2.íîì + (IíîìX)2 − 2Uô.íîì (IíîìX)cos(ϕíîì + 90°) =

= 6,73 103 Â.

Задача 11.8. Исследовать, как изменяется cosϕ трехфазного синхронного двигателя, рассмотренного в задаче 11.7, при неиз-

менном токе возбуждения Iâ.íîðì = const, обеспечивающем ЭДС E0 = 6,73 кВ, если нагрузка двигателя изменяется в диапазоне

β = P Píîì = 0,25…10,. При решении воспользоваться векторными диаграммами.

Р е ш е н и е . Из условия IÂ = Iâ.íîðì = const следует, что E0 = const. Тогда годографом вектора E0 будет являться окружность радиу-

сом, равным E0. Неизменной будет и длина вектора U ô.íîì .

Если пренебречь потерями мощности в обмотке статора, то можно считать P = PÝÌ. Учитывая, что Mýì ≡ Pýì, можно найти величину угла рассогласования:

θ = arcsin	M		= arcsin	βMíîì		= arcsin	β	,
	M						k
		max		k M	íîì
				ì			M
ãäå kì = Mmax Míîì		– кратность максимального момента син-
хронного двигателя при Iâ = Iâ.íîðì.
296

Ð è ñ . 1 1 . 1 1

Величины углов рассогласования θ для заданного диапазона изменения нагрузки двигателя приведены в табл. 11.3.

				Ò à á ë è ö à 1 1 . 3
β = P / Píîì	1,0	0,75	0,5		0,25
θ, ýë. ãðàä	31,76	23,25	15,26		7,56

Совмещенные векторные диаграммы, построенные для случаев β = 1,0 и β = 0,25 по алгоритму, рассмотренному в задаче 11.7, приведены на рис. 11.11.

Векторы, соответствующие β = = 0,25, отмечены штрихом.

Векторная диаграмма позволяет найти, как изменяется угол сдвига фаз ϕ с изменением β.

Ниже покажем, как этот же расчет выполнить аналитически на основании построенных векторных диаграмм.

Потерю напряжения в синхронном сопротивлении двигате-

ëÿ IX для загрузки β можно найти по теореме косинусов для соответствующего треугольника напряжений векторной диаграммы:

I X = Uô2.íîì + E02 − 2Uô.íîìE0cosθ.

Тогда ток статора I найдем как

I = I XX. Теперь вычислим соответствующее значение коэффици-

ента мощности cosϕ и величину угла сдвига фаз ϕ:

cosϕ =	P	=	βPíîì	; ϕ = arccos(cosϕ).
	3UíîìI		3UíîìI

Ниже дан пример расчета для случая β = 0,25:

θ′ = arcsin0,25 = 7,56 ; 1,9

I′X = 34642 + 67302 − 2 3464 6730cos7,56 = 3320 Â;

297

′ = I′X = 3320 =

I 83 À;

X40

	0,25 800 103
cosϕ′ =				= 0,232; ϕ′ = arccos0,232 = 76,58°.
	3	6 103
			83

Расчеты для других значений β выполнены аналогично. Результаты сведены в табл. 11.4.

					Ò à á ë è ö à 1 1 . 4
β	θ, ýë. ãðàä	IX, Â	I, À	cosϕ		ϕ, ýë. ãðàä
0,25	7,56	3320	83,0	0,232		76,6
0,50	15,26	3524	88,1	0,437		64,1
0,75	23,25	3902	97,6	0,592		53,7
1,00	31,76	4200	105,0	0,740		42,2

		Некоторое отличие рассчитан-
		ных значений от значений, полу-
		ченных в задаче 11.7, объясняется
		принятым допущением, что P =
		Pýì. Зависимость cosϕ(β) приведе-
		íà íà ðèñ. 11.12.
		Таким	образом,	уменьшение
		нагрузки	синхронного двигателя
	Ð è ñ . 1 1 . 1 2	при неизменном токе возбуждения
		сопровождается уменьшением ко-
	эффициента мощности, т.е. ростом генерируемой реактивной мощ-
	ности.
	Задача 11.9. Для турбодвигателя, имеющего Píîì = 1000 êÂò
	(Síîì = 1160 ê À), Uíîì = 6 êÂ, ηíîì = 96%, X = 20 Îì, cosϕíîì =
	= 0,8 (опереж.), níîì = 3000 ìèí–1 построить U-образную характе-
	ристику I(Iâ) ïðè P = 0,75Píîì. Указать на ней точку, соответствую-
	щую пределу статической устойчивости (θ = 90°).
	Р е ш е н и е . При синхронном режиме работы угловая скорость
	турбодвигателя неизменна и равна

Ω1 = 2πn = 2 3,14 3000 = 314 ñ−1. 60 60

Максимальный момент, развиваемый двигателем,

	Mmax =	3Uô.íîìE0	,	(1)
		Ω1X

298

ãäå Uô.íîì – номинальное фазное напряжение; E0 – ЭДС, индуцируемая в фазе обмотки статора основным магнитным потоком при определенном токе возбуждения; X – синхронное сопротивление двигателя.

Если принять, что магнитопровод двигателя ненасыщен, то ЭДС E0 пропорциональна току возбуждения IÂ. Это позволяет находить значения ЭДС E0 при различных значениях тока возбуждения Iâ и рассчитывать по формуле (1) соответствующие максимальные моменты Мmax.

Момент на валу двигателя, соответствующий мощности P = = 0,75Píîì = 0,75 1000 = 750 кВт, для которой требуется построить U-образную характеристику,

		P		750 103
	M =		=		= 2388,5 Í ì.
		Ω		314
		1

При различных режимах возбуждения этому моменту будут соответствовать углы рассогласования θ, найденные по выражению θ = arcsin(MMmax ). Рассчитанные значения углов θ позволяют, воспользовавшись теоремой косинусов для соответствующей векторной диаграммы, найти падение напряжения IX на синхронном сопротивлении X и токи статора I синхронного двигателя:

IX = Uô2.íîì + E02 − 2Uô.íîìE0cosθ; I = IXX.

Для того чтобы определить диапазон изменения тока возбуждения IÂ при построении U-образной характеристики, рассчитаем предварительно два важных режима:

1)режим минимального возбуждения с таким током IÂ min, при котором будет иметь место предел статической устойчивости, т.е.

θ= 90°.

2)режим нормального возбуждения с током Iâ.íîðì, когда cosϕ = 1.

Соответствующие векторные диаграммы для этих режимов, построенные качественно, приведены на рис. 11.13.

При построении векторных диаграмм принято, что Pýë ≈ Pýì=

= const. Следствием является то, что Icosϕ = const è Esinθ = const, т.е. конец вектора I перемещается вдоль прямой АВ, а конец вектора E0 – вдоль прямой СD.

На основании диаграммы, приведенной на рис. 11.13, выполним расчет координат точек U-образной характеристики, соответствующих режимам 1 и 2.

299