Математика для инженеров(практика) I часть

Точка М с полярными координатами ρ и ϕ обозначается M (ρ; ϕ). Обычно считают, что полярные координаты ρ и ϕ изменяются в пределах: 0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ ϕ < 2π.

Справедливы следующие формулы (рис. 6), выражающие декартовы координаты через полярные и наоборот:

	x = ρ cosϕ,			y = ρ sinϕ.			(4)
					y	.	(5)
	ρ = x2 + y2 ,			tgϕ =
					x

Формула tgϕ = xy определяет два значения полярного угла

ϕ , т.к. ϕ изменяется в пределах от 0 до 2π.

Если из условий задачи понятно в какой четверти лежит точка (x; y), то выбираем тот из полярных углов, который соответствует этой четверти. В общем случае для определения угла ϕ пользуются соотношениями

cosϕ =

x

, sinϕ =

y

.

x2 + y2

x2 + y2

Пример 8.

Построить

точки,

заданные

полярными

æ

π

ö

æ

4π

ö

æ

π

ö

координатами:

Aç

5;

÷

, Bç

3;

÷,C

ç

4;-

÷.

4

3

6

è

ø

è

ø

è

ø

Решение. Чтобы построить точку А,

проведем из точки О луч под углом ϕ = π

4

к полярной оси ОЕ (рис. 7). На этом луче

построим отрезок ОА, длина которого равна 5.

Конец отрезка ОА и будет искомой точкой.

Рис. 7

Аналогично построим точки В и С. □

Пример 9. Найти полярные координаты точек: A(2;-2), B(−4;4), C(0;−3), если полюс совпадает с началом координат, а

полярная ось − с положительным направлением оси абсцисс. Решение. На основании равенств (5) находим

81

для точки А:

ρ =

(

)2 + (-

)2

= 2; tgϕ = -1, тогда ϕ =

3π

2

2

4

7π

или ϕ =

, но так как x =

> 0, y = -

< 0 , то точка А лежит в IV

2

2

4

четверти, поэтому ϕ =

7π

.

4

для

точки

В:

ρ =

(-4)2 + (4)2 = 4

как

2; tgϕ = -1. Так

x = −4 < 0, y = 4 > 0, точка В лежит во второй четверти и ϕ =

3π

;

4

0

= 0, sin

-3

для

точки С:

ρ =

0 + (-3)2 = 3; cosϕ =

= -1,

т.е.

3

3

3π

ϕ =

.

7π

5π ö

3π ö

2

æ

ö

æ

æ

. □

Итак,

A

ç

2;

÷, B

ç3;

÷

,C

ç

3;

÷

4

è

ø

è

4 ø

è

2 ø

Пример

10.

Найти

прямоугольные

координаты

точек

æ

π

ö

æ

5π ö

æ

π

ö

Aç5;

2

÷, Bç

3;

÷, C ç

2;-

4

÷ ,

если

полюс

совпадает

с

началом

è

ø

è

4 ø

è

ø

координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.

Решение. Используя формулы (4), имеем

для точки А:

x = 5×cos

π

= 0, y = 5×sin π

= 5×1 = 5;

2

2

5π

æ

ö

для точки В:

x = 3×cos

2

3

2

= 3×

ç -

÷

= -

,

4

ç

2

÷

2

è

ø

3π

æ

ö

y = 3×sin

2

3 2

= 3×

ç -

÷ = -

;

4

ç

2

÷

2

è

ø

π ö

æ

2

для точки С:

x = 2×cosç -

÷

= 2

=

2;

2

è

4 ø

82

π

æ

ö

y = 2 ×sin

æ

ö

2

ç

-

÷

= 2×ç

-

÷

= - 2 .

ç

2

÷

è

4 ø

è

ø

æ

3

3

ö

2

2

Итак, A(0;5), Bçç

-

;-

÷÷

, C(- 2;

2) . □

2

2

è

ø

			æ	3;	π ö	и
	Пример 11. Определить расстояние между точками M1 ç				÷
			è		4 ø
æ		3π ö
M2 ç	5;		÷ .
		4
è			ø

Решение. І способ. Найдем прямоугольные координаты точек

M1 и M2 .

Для точки M	1	имеем: x				= 3×cos π								=		3				2			; y			= 3sin π =										3				2		.
				1								4							2				1										4		2
							3π		= -				5					; y						= 5×sin				3π				=		5					.
Для точки M	2	: x	= 5×cos												2						2																2
		2					4							2													4								2
			æ	3			3			ö									æ				5				5			ö
Таким образом, M					2	;		2				и M								-					2	;			2				. Тогда
			ç								÷						2		ç												÷
			1 ç	2			2			÷									ç				2				2			÷
			è							ø									è											ø

	æ		5			3		ö2		æ	5			3		ö2
d =				2			2					2			2
	ç	-			-				÷	+ ç			-				÷	= 32 + 2 = 34.
	ç		2			2		÷		ç	2			2		÷
	è							ø		è						ø

ІІ способ. Применим к треугольнику OM1M2 теорему косинусов (см. рис. 8). Имеем

ÐM2OM1 = 34π - π4 = π2 , OM1 = 3; OM2 = 5.

Рис. 8 Тогда

M2M1 = 32 + 52 - 2 ×3×5× cos π2 = 34. □

40. Цилиндрическая система координат. Кроме декартовой системы координат в пространстве часто

83

используется цилиндрическая система координат. Здесь произвольная точка М в пространстве однозначно определяется

тройкой	чисел (ρ;ϕ; z) , где z –	аппликата точки М, z (−∞;+∞) ,
(ρ;ϕ) –	полярные координаты	точки M1 , которая является

проекцией точки М на плоскость Оху (рис. 9).

Считаем, что полярная ось на плоскости Оху совпадает с положительным направлением оси Ох при совмещении их начал. Тогда (см. рис. 9) легко убедиться, что имеют место формулы:

	x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, z = z,	(6)
	ρ [0;+∞), ϕ [0; 2π ), z (−∞; + ∞).

Рис.9

Они выражают декартовы координаты (x; y; z) точки М через ее цилиндрические координаты (ρ; ϕ; z) .

Пример 12. Найти цилиндрические координаты точек:

A(−3;3;1), B(0;−3;2), C(−2;2;1).

Решение. Согласно формулам (5) найдем полярные координаты точек, которые являются проекциями заданных точек на плоскость

	Оху:					3			3π
	для точки А: ρ = (−3)2 + (3)2 = 3						= −1,	т.е. ϕ =		, так
				2; tgϕ =
						−3			4

как точка лежит во ІІ-ой четверти;

84

						0		-3
для		точки В: ρ = 02 + (-3)2 = 3; cosϕ =					= 0, sinϕ =			= -1, т.е.
	3π					3		3
ϕ =			;
	2

для точки С: ρ = (-2)2 + (2 )2 = 2, tgϕ = -1, т.е. ϕ = 34π .

æ

3π

ö

æ

3π

ö

æ

3π

ö

. □

Итак, учитывая (6),

Aç

3 2;

;1÷

, Bç

2;

;3

÷

, C ç

2;

;1÷

4

4

4

è

ø

è

ø

è

ø

Пример 13.

Найти

прямоугольные координаты точек:

æ

π

ö

æ

3π

ö

æ

π

ö

Aç

4;

;1÷

, Bç

2;

;3

÷

, Bç

3;-

;1÷.

2

4

4

è

ø

è

ø

è

ø

Решение. Согласно формулам (6), будем иметь: для точки А:

x = 4×cos π2 = 4 ×0 = 0; y = 4×sin π2 = 4×1 = 4; z =1;

для точки В:

3π

æ

ö

3π

2

2

x = 2×cos

=

2 ×ç

-

÷

= -

2; y = 2×sin

= 2×

=

2; z = 3;

4

ç

2

÷

4

2

è

ø

для точки С:

π

3

π

æ

ö

3

x = 3×cos

æ

ö

2

2

; y

æ

ö

2

2

; z =

ç

-

÷

= 3×

=

= 3

×sin

ç

-

÷

= 3

×ç -

÷

= -

2

2

ç

2

÷

2

è

4 ø

è 4

ø

è

ø

æ

ö

A(0;4;1), B(-

2;3); C

3

2

;-

3 2

. □

Таким образом,

2;

çç

;1÷÷

è

2

2

ø

Пример

14.

Найти

расстояние

между

точками

æ

2;

π

ö

и

M1 ç

3

;1÷

è

ø

æ

2π

ö

M2 ç

4;

;3

÷.

3

è

ø

Решение. І-ый способ. Найдем

85

Рис. 10а)

прямоугольные координаты точек (см.

3;3).

пример 13). Будем иметь (рис. 10а)) M1 (1; 3;1), M2 (-2;2

Тогда

d =

(

)

2 +

(

)

2 + (1- 3)2 =

1- (-2)

3

- 2

3

9 + 3 + 4

=

16

= 4.

ІІ-ой способ.

По

теореме

косинусов

найдем

длину

отрезка

(см. пример 11,

M2 M1 , который является проекцией отрезка M1M2

ІІ-ой способ)

2

2

æ

2π

π ö

M2M1 =

2

+ 4 - 2 × 2× 4 ×cosçcos

3

-

3

÷ =

è

ø

=

=

4 +16 - 8

12.

По теореме Пифагора из M1M2K находим

Рис. 10б)

расстояние M1M2 (рис. 10б)), учитывая, что

M1K

M2K

= 3 -1 = 2. Будем иметь

M1M2

= 12 + 4 = 4. □

= M1M2 ,

Задания для самостоятельной работы

1.Определить расстояние между точками

а)	A(2;3), B(−10;−2); б) A(−1;−3), B(2;	−3); в) A(3;8), B(−5;14);
г)	A(−3;−3;0), B(−1;3;3); д) A(11;−1;8),	B(0;−1;8).

2.Вычислить периметр треугольника с вершинами в точках

A(1;3), B(−2;3), C(−2;1).

3.Найти площадь треугольника с вершинами

а) A(−2;−4), B(2;8),C(10;2); б) A(4;3), B(7;6),C(2;11);

в) A(−2;2), B(−1;5),C(4;8); г) A(−1;5), B(6;2),C(4;8).

86

4. Доказать, что для любых трех точек A(x1; y1), B(x2; y2 ), C(x3; y3) , не

лежащих на одной прямой, площадь S треугольника АВС выражается формулой

S= 12 (x2 − x1)(y3 − y1) − (x3 − x1)( y2 − y1) .

5.Доказать, что координаты точки пересечения медиан треугольника

свершинами A(x1; y1), B(x2; y2 ), C(x3; y3) определяются

формулами:

x =	x1 + x2 + x3	, y =	y1 + y2 + y3	.
3		3

6.Найти координаты середины отрезка M1M2 :

а) M1(2;6), M2 (−8;−12);

б) M1(2;−4), M2 (−2;4); в) M1(1;−3;3), M2 (3;−7;5);

г) M1(0;2;−8), M2 (2;0;−2).

7.На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек

M1(1;−4;7) и M2 (5;6;−5).

8.Заданы вершины A(1;0;−1), B(2;2;1) и точка O(−1;2;1) пересечения медиан треугольника АВС. Найти координаты вершины С.

9.Даны вершины треугольника A(6;−6), B(2;−3),C(8;5). Найти длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

10.Доказать, что треугольник с вершинами в указанных точках прямоугольный

а) A(2;−1), B(−3;4), C(5;2);

б) A(−4;−2), B(4;0), C(1;3).

11.Установить, является ли треугольник с вершинами A(1;3), B(3;0), C(−4;1) остроугольным, тупоугольным или прямоугольным.

87

12. Отрезок M1M2 делится точкой M (2;2;4) в отношении λ = 23 .

Найти координаты точки M2 , если M1(−2;4;0).

13.Даны две точки А(2;2), В(5;−2). На оси Ох найти такую точку С, чтобы угол АВС был прямым.

14.Даны вершины треугольника A(3;−1;5), B(4;2;−5) и C(−4;0;3).

Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

15.Отрезок AB разделен на четыре равные части тремя точками. Определить координаты точек деления, если A(−3;7), B(5;11).

16.Концы однородного стрежня находятся в точках M1(4;-5;1) и M2 (2;1;5). Найти координаты центра тяжести.

17.

Построить

точки,

заданные

полярными

координатами:

æ

π ö

æ

4π ö

æ

π ö

æ

3π ö

æ

π

ö

A

ç 2;

÷

, Bç 4;

÷, C

ç1;

-

÷, Dç 2;

-

÷

, E ç1;

-

÷, F (0;α ).

3

4

6

è

4 ø

è

ø

è

6 ø

è

ø

è

ø

18.

Зная прямоугольные декартовы координаты точек, найти их

полярные координаты, если полюс совпадает с началом координат,

а полярная ось − с положительным направлением оси абсцисс:

а)

M1(1;-

б) M2 (0;-

в)

M3 (-7;0);

г)

M4 (-

3);

3);

2;- 6);

д)

M1(-1;1);

е)

M6 (1;1).

19. Найти прямоугольные декартовы координаты точек, заданных полярными координатами, если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс:

M1(5;π );

æ

π ö

æ

3π ö

æ

π ö

а)

б)

M2 ç10;

÷

; в)

M3 ç

2;

÷

;

г)

M4 ç

-1;-

÷

;

4

è

2 ø

è

ø

è

4 ø

æ

π

ö

æ

5π

ö

д)

M5 ç

2;

÷

;

е)

M6 ç

2;

÷.

3

4

è

ø

è

ø

20. Доказать, что в полярной системе координат расстояние α между точками M1(ρ1;ϕ1) и M2 (ρ2;ϕ2 ) определяется формулой

d = ρ12 - 2ρ1ρ2 cos(ϕ2 -ϕ1) + ρ22 .

88

21.

Определить расстояние между точками:

æ

π ö

æ

π

ö

æ

π

ö

æ

3π ö

а)

A

ç

2;

-

÷

и

Bç

3;

2

÷

;

б) Aç3;

-

4

÷

и

Bç

4;

÷

;

è

4 ø

è

ø

è

ø

è

4 ø

æ

π ö

æ

3π ö

æ

π

ö

æ

π

ö

в)

A

ç

3;

-

÷

и

Bç

4 2;

÷;

г) Aç1;-

÷

и

Bç -1;-

÷.

4

4

4

è

2 ø

è

ø

è

ø

è

ø

22.

Найти

цилиндрические

координаты

точек:

A(

-

2),

2;

2;

B(0;3;1) ,

C (2

D(-

E (-5;0;2) ,

F (-1;1;1) ,

3;2;3) ,

2;-

2;0),

G(1;

3;3).

23.

Найти прямоугольные координаты точек

æ

π

ö

æ

π

ö

2;

Dç

4

;2÷, E

ç 2;

3

;4÷ .

è

ø

è

ø

24.

Найти

полярные координаты

точек,

симметричных

точкам

æ

π

ö

æ

π ö

æ

2π ö

:

ç6;

÷,

ç8;-

÷, ç 2;

÷

4

3

è

ø

è

6 ø

è

ø

а) относительно полярной оси;

б) Относительно полюса.

25.

Найти расстояние между точками

æ

3π

ö

æ

π

ö

æ

π

ö

и B (5;π;3).

а)

A

ç

2;

;1÷

и

B ç

2;

;0÷

;

б)

A ç

2;

;2÷

4

2

3

è

ø

è

ø

è

ø

26.Отрезок АВ, где А(7;1), В(4;-5) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.

27.Найти точку, симметричную точке А(-2;0;7) относительно точки

В(5;-1;-2).

28.Даны вершины треугольника А(1;4), В(3;-9), С(-5;2). Определить длину его медианы, проведенной из вершины В.

29.Точки А(4;2), В(7;2) и С(1;6) являются вершинами треуголника, сделанного из однородной проволоки. Определить центр тяжести этого треугольника.

30.Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого − А(-3;2), В(1;6).

89

§ 2. Векторы

Вектором называется направленный отрезок −

упорядоченная пара точек (A0 , A1), из						которых	первая A0
называется началом, а вторая					A1	− концом	вектора.
Обозначение		или A0 A1 .
	A0 A1
Если	A0 (x0 ; y0 ), A1(x1; y1)				для	точек	плоскости
( A0 (x0 ; y0 ; z0 ), A1(x1; y1; z1)			для	точек	пространства),		то числа
x1 - x0 , y1 - y0	( x1 - x0 ,		y1 - y0 , z1 - z0 ) называют координатами
вектора.				равными,
Два вектора называют						если их координаты

совпадают. Геометрически это означает, что параллельный перенос вектора дает равный ему вектор. Задание вектора через координаты a = a(xa ; ya ) ( a = a(xa ; ya , za ) ) удобнее задания вектора координатами его начала и конца, у которых в сумме четыре (шесть) координат. Вектор o(0;0) ( o(0;0;0) ) называется

нулевым.

Длиной

вектора

называется

число

a

=

x2 + y2

a

a

(

). Суммой векторов a и

называется вектор

a

=

x2

+ y2

+ z2

b

a

a

a

a +

с

координатами

xa + xb , ya + yb

( xa + xb ,

ya + yb ,

za + zb ).

b

Произведением числа

λ

на вектор

a

называется вектор λa

1

с

координатами

λ xa , λ ya

(λxa , λ ya ,λ za ) .

В частности, если

λ =

,

a

то вектор

a

имеет длину, равную единице,

и направление,

a

совпадающее с направлением вектора a . Этот вектор называют

единичным вектором (ортом) вектора a и обозначают a0 .

Нахождение единичного вектора того же направления, что и данный вектор a , называется нормированием вектора a .

Таким образом, a =	a		или a =		a		× a .
0	a						0

90