Математика для инженеров(практика) I часть

Для нахождения суммы и разности векторов можно использовать «правило параллелограмма»: сумма и разность векторов являются соответственно диагоналями параллелограмма, сторонами которого являются данные векторы. Основные свойства линейных операций (но здесь не указано направление векторов):

1)

a +

b

=

b

+ a (коммутативность сложения),

2)

(a +

) + c = a + (

+ c ) (ассоциативность сложения),

b

b

3)

α(β a) = (αβ )a, α, β Î (ассоциативность умножения на

число),

4)

(α + β )a = α a + β a, α, β Î

(дистрибутивность относительно

суммы чисел),

5)

α(a +

) = α a +α

, α Î

(дистрибутивность

b

b

относительно суммы векторов).

Скалярным произведением векторов a и

(обозначение

b

(a,

) или a ×

) называется число, определяемое равенством

b

b

(1)

(a,b ) =

a

×

b

×cos(a,b ) .

Скалярное произведение векторов a(xa ; ya ),

(xb ; yb )

можно

b

найти через их координаты:

a ×

= xa xb + ya yb (a ×

= xa xb + ya yb + za zb )

(1´)

b

b

Спроецировав вектор

=

на вектор

= a (см.

рис. 1)

OB

OA

b

получим прa

=

OC

=

cosα, следовательно, формулу (1)

можно

b

b

переписать так:

a ×

= пр

a,

(1˝)

b

b

т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию второго вектора на первый. Проекция произвольного вектора p = (x; y; z) на

некоторую ось l пространства, единичный вектор e которой

91

составляет

с координатными

осями

углы α, β , γ

определяется формулой

прe p = x cosα + y cos β + z cosγ .

Рис. 1

Если

действует сила

материальная точка, на которую

F

, совершила перемещение по вектору

S ,

то

работа А равна скалярному произведению вектора силы

и

F

вектора перемещения

.

S

Угол

ϕ

между

двумя

ненулевыми

векторами

a и

b

определяется так:

a ×

.

ϕ = arccos

b

(2)

a

×

b

Свойства скалярного произведения:

1)

a ×

=

× a – коммутативность;

b

b

2)

(λ a) ×

= λ (a ×

)

– ассоциативность,

λ ;

b

b

3)

(a +

) ×c = a ×c +

×c – дистрибутивность;

b

b

4)

a × a =

a

2 .

С помощью скалярного произведения легко записать

условие перпендикулярности çæ

ϕ =

π ÷ö

векторов:

a ×

= 0 .

b

è

2 ø

коллинеарными

Два

ненулевых

вектора

называются

(параллельными), если их координаты пропорциональны. При этом эти векторы сонаправлены, если коэффициент пропорциональности положителен и противоположно направлены, если он отрицателен.

Стандартным ортогональным базисом на плоскости (в

пространстве) называется пара

(1;0),

(0;1)

(совокупность

i

j

(1;0;0),

(0;1;0),

(0;0;1) ).

Любой вектор однозначно разлагается

i

j

k

по этому базису:

(a = xa

).

(3)

a = xa

+ ya

+ ya

+ za

i

j

i

j

k

92

Таким образом, координаты вектора − это коэффициенты его разложения по стандартному базису.

Если в пространстве α, β , γ − углы между вектором a и

положительным направлением координатных осей Ox, Oy, Oz, то:

cosα =

xa

, cos β =

ya

, cosγ =

za

.

(4)

a

a

a

Числа

cosα, cos β, cosγ

называют

направляющими

косинусами вектора a .

Если a1, a2 − любая пара

неколлинеарных векторов

на

плоскости

( a1, a2 , a3 −

тройка

векторов в

пространстве,

в

которой любые два вектора неколлинеарны), то произвольный

вектор a можно представить в виде:

a = α1a1 +α2a2 (a = α1a1 +α2a2 +α3a3 ).

(5)

Коэффициенты

α1,α2

(α1,α2

,α3 ) можно

определить из

системы уравнений

ì

= α1

a1

2

+α2a1

× a2 ,

ïa ×a1

(6)

í

= α a a

+α

2 ,

ïa ×a

2

2

2

a

2

î

1

1

ì

= α1

a1

2

+α2a1

× a2 +α3a1 ×a3,

ïa × a1

ï

= α1a2

× a1 +α2

a2

2

+α3a2

× a3,

(6')

ía × a2

ïa × a3 = α1a3 × a1 +α2a3 × a2 +α3

a3

2 .

ï

î

Пример

1.

Найти

вектор

a =

,

если

AB

A(1;2;3), B(4;8;−5).

Решение. Проекциями вектора

на оси координат

AB

являются

точек В

и А:

разности соответственных

координат

ax = 4 −1 = 3,

ay = 8 − 2 = 6, az = −5 − 3 = −8.

Следовательно,

= 3

+ 6

− 8

. □

AB

i

j

k

Пример

2.

Найти

длину

вектора

+ m2

a = mi

j

+ (m +1)mk

.

93

Решение. Длина вектора a определится следующим образом:

a= m2 + m4 + m2 (m +1)2 = 2m4 + 2m3 + 2m2 = 2m2 (m2 + m +1) =

=m2(m2 + m +1). □

Пример

3.

В

треугольнике

с

вершинами

А(−2;0), В(6;6) и С(1;−4).

Определить

длину

биссектрисы АЕ.

Решение.

Найдем

координаты

точки Е

как

точки,

делящей

отрезок

ВС

(рис. 2)

в

отношении

λ =

BE

=

a

(биссект-риса

EC

b

делит противоположную сторону

на

части,

пропорциональные

прилежащим к ней

Рис.2

сторонам).

= a = (8;6),

a

=

82 + 62 =10;

AB

=

= (3;-4),

=

33 + 42 = 5.

AC

b

b

Тогда λ =

a

= 2.

b

Координаты точки, делящей отрезок ВС в отношении

λ = 2, будут x =

6 + 2×1

8

, y

6 + 2 ×(-4)

2

æ

8

2 ö

=

=

= -

,

E ç

;

÷.

1+ 2

3

1+

2

3

3

è

3 ø

Находим длину

. Имеем

AE

æ 8

æ

2 ö

ö

æ

14

2 ö

2

AE = ç

- (-2);ç

-

÷

- 0÷

=

ç

;

-

÷

=

×(7;-1).

3

3

3

è

è

3 ø

ø

è

3 ø

94

2

2

10

72 + (-1)2 =

AE

2. □

Тогда

=

50 =

3

3

3

Пример

4.

Даны

точки

M1(1;2;3), M2 (3;-4;6).

Найти

длину и направляющие косинусы вектора

.

M1M2

Решение.

Найдем

вектор

.

Будем

иметь

M1M2

= 2

- 6

+ 3

. Тогда

M1M2

i

j

k

= 22 + (-6)2 + 32 =

= 7;

M1M2

4 + 36 + 9

2

6

3

cosα =

,cos β = -

,cosγ =

. □

Пример 5.

7

7

7

Вычислить

модуль

(длину)

вектора

a = 2

+

+

-

1

(4

+ 7

+ 2

)

и его направляющие косинусы.

k

k

i

j

i

j

2

Решение. Согласно определению суммы векторов и

произведения вектора на скалярный множитель,

вектор a

перепишем в виде a = 0 ×

-

5

+ 0 ×

. Тогда

i

j

k

2

a

2

æ

5

ö2

2

5

=

0

+ ç

-

÷

+ 0

=

;

2

2

è

ø

0

-

5

0

2

cosα =

= 0, cos β =

= -1, cosγ =

= 0.

□

5

5

5

2

2

2

Пример 6. Нормировать вектор a = 2i - j - 2k . Решение. Найдем длину вектора a :

a = ax2 + a2y + az2 = 22 + (-1)2 + (-2)2 = 3.

Искомый единичный вектор имеет вид

			a				2		-		- 2			2				1				2
								i		j		k
a0 =						=							=			i	-			j -			k . □
			a				3							3				3				3

95

Пример 7. Найти скалярное произведение векторов a = 3i + 4 j + 6k и b = 2i - 3 j - 8k .

Решение. Находим

a ×b = 3× 2 + 4×(-3) + 6 ×(-8) = 6 -12 - 48 = -54. □

Пример 8. Вычислить, какую работу производит сила F = (3;-5;2), когда ее точка приложения перемещается из начала координат в конец вектора S = (2;-5;-7).

Решение. A = F × S = 3× 2 + (-5) ×(-5) + 2×(-7) = 6 + 25 -14 =17.

□

Пример 9. Даны три силы F1 = (3;-4;2), F2 = (2;3;-5) и

F3 = (-3;-2;4), приложенные к одной точке. Вычислить,

какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения C(5;3;−7) в положение

B(4;−1;−4). □

Решение. Имеем R = F1 + F2 + F3 = (2;-3;1), CB = (-1;-4;3). Тогда A = R ×CB = 2×(-1) + (-3) ×(-4) +1×3 = -2 +12 + 3 =13. □

Пример 10. Зная векторы a и

b , на которых построен параллелограмм, выразить через них вектор, совпадающий с высотой параллелограмма,

перпендикулярной к стороне a .

Рис. 3

= λa -

Решение.

Очевидно (рис. 3),

=

-

. По

h

d

b

b

условию

× a = 0, т.е.

(λa -

) × a = 0

или λa2 - a ×

= 0.

h

b

b

a ×

a ×

Отсюда λ =

b

b

и h =

× a - b. □

a 2

a

2

96

Пример

11.

Даны

векторы

a = mi

+ 3 j + 4k и

b = 3

i

+ 2mj

- 9k .

При

каком

значении

m эти векторы

перпендикулярны?

Решение. Находим скалярное произведение этих векторов:

a ×b = 3m + 6m - 36 = 9m - 36.

Так как a ^ b , то a ×b = 0. Отсюда 9m − 36 = 0, т.е. m = 4.

□

Пример 12. Найти (7a - 3b )(5a + b ).

Решение. Имеем (7a - 3b )(5a + b ) = 35a 2 - 8a ×b - 3b 2. □

Пример

13. Определить

угол

между векторами

a =

+ 3

+ 2

и

= 6

- 2

+ 4

.

k

b

k

i

j

i

j

Решение. Для вычисления угла между данными

векторами

воспользуемся

формулой

(2).

Имеем

a ×

=1×6 + 3×(-2) + 2× 4 = 8,

b

a

=

=

=

=

= 2

1+ 9 + 4

14,

36 + 4 +14

56

14.

b

Следовательно cosϕ =

8

=

2

и ϕ = arccos

2

. □

× 2

7

7

14

14

Пример 14. Найти скалярное произведение векторов

3a - 2

и 5a - 6

, если

a

= 4,

= 6

и угол между векторами

b

b

b

a и

равен

π .

b

3

Решение. Перемножая данные векторы, получим

(3a - 2

)(5a - 6

) =15a2 -10a ×

-18a ×

+12

2 =

b

b

b

b

b

=15

a

2 - 28a ×

+12

2 .

b

b

Найдем скалярное произведение векторов a

и

:

b

97

a ×b = 4×6×cos π3 = 24 × 12 =12.

Тогда

(3a - 2b )(5a - 6b ) =15×16 - 28×12 +12 ×36 =

= 240 − 336 + 432 = 336. □
Пример	15.	Найти	единичный	вектор,

перпендикулярный векторам a = 2

+

+

и b = 2

+ 3

-

.

k

k

i

j

i

j

Решение. Пусть искомый вектор

c = cx

+ cy

+ cz

.

i

j

k

Тогда по

условию

перпендикулярности

векторов

имеем

2cx + cy + cz = 0 и

2cx + 3cy - cz = 0.

Кроме того,

по

условию

вектор c

единичный, т.е.

cx2 + c2y + cz2 =1.

Решив

систему

трех

полученных

уравнений,

находим

cx = m

1

,cy

= ±

1

, cz

= ±

1

.

Итак,

имеем

два

вектора,

3

3

3

удовлетворяющие требуемым условиям:

1

1

1

1

1

1

c1 = -

i +

j +

k и c 2

=

i -

j -

k . □

3

3

3

3

3

3

Пример 16. Даны векторы a = 2

+ 2

+

и

i

j

k

b = 6

+ 3

+ 2

. Найти прa

и пр

a .

i

j

k

b

b

=

a

×

. Имеем

Решение. Из формулы (1˝) следует пр

b

b

a

a

для данных векторов a и

:

b

2 ×6 + 2 ×3 +1× 2

20

a ×

20

20

b

прa b =

; пр

a =

. □

=

=

=

b

3

7

22 + 22 +12

b

36 + 9 + 4

Пример 17. Представить вектор a = (1;2) в виде (5) через пару неколлинеарных векторов a1 = (-1;1), a2 = (3;2).

98

Решение. І способ. Пусть a = α1a1 + α2a2 , где α1,α2 − некоторые коэффициенты. Так как равные векторы имеют равные координаты и координаты линейной комбинации равны соответствующим линейным комбмнациям одноименных координат, то

ì1 = -α1

+ 3α2 ,

í2 = α + 2α

2

.

î

1

Решив

эту

систему

уравнений,

найдем

α =

4

, α

2

=

3

.

1

5

5

4

3

Итак a =

a +

a .

5

5

1

2

ІІ способ. Для составления системы (6) находим:

a × a =1×(-1) + 2×1 =1,

a

2

= 2,a × a

2

= (-1) ×3 +1× 2 = -1,

1

1

1

a × a

2

=1×3 + 2 × 2 = 7,

a

2 =13.

2

Подставляя в (6), имеем

ì1 = 2α1

-α2 ,

.

í7 = -α +13α

2

î

1

4

3

Отсюда α1 =

, α2 =

. □

5

5

Пример

18.

Даны

векторы

a1 = (1;0;0), a2 = (1;1;5), a3 = (0;3;8).

Разложить

вектор a = (1;1;1)

по векторам a1, a2 , a3.

Решение. І способ.

Представим вектор a

в виде (5):

a = α1a1 + α2a2 + α3a3.

a

Приравнивая

координаты

вектора

к

соответствующим

координатам

линейной

комбинации

векторов

a1, a2 , a3,

получаем

систему

для

нахождения

α1, α2 , α3 :

ì1 = α ×1+α

2

×1+α

3

×0,

ï

1

í1 = α1 ×0 +α2

×1+α3

×3,

ï1 = α ×0 +α

2

×5 +α

3

×8.

î

1

99

	Решая						эту						систему														уравнений,													найдем
α =	12	, α		= -	5	, α			=		4		. Имеем a =										12		a -							5	a +	4		a .
	7				7																	7								7				7
1			2					3	7																1								2				3
	ІІ способ. Для составления системы (6΄) находим:
	a × a =1,a × a						2		= 7, a × a =11,								a		2			=1,					a	2			2 = 27,				a				2	= 73,
			1										3				1																		3
	a1 × a2 =1, a1 × a3 = 0,a2 × a3 = 43.
	Тогда (6΄) примет вид
													ì1 = α +α							2		,
													ï		1
													í7 = α1 +					27α2 + 43α3,
													ï11 = 43α					2			+ 73α								.
													î												3
									12				5									4
	Отсюда α1 =											,	α2 = -		, α3			=						. □
										7				7								7

Задания для самостоятельной работы

1

. Найти вектор a =

, если

AB

а)

A(3;5;0), B(1;2;3);

в) A(−3;8;0), B(1;0;0);

б)

A(−4;0;−3), B(0;−2;1);

г) A(0;4;8), B(0;2;5).

2

. Найти длину вектора:

а) a = mi

+ (m -1) j + m(m -1)k ; б) a = mi + (m +1) j + m(m +1)k .

3

. Даны

вершины треугольника A(1;−1;−3), B(2;1;−2) и

C(−5;2;−6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла

при вершине А.

4

. Найти длину и направляющие косинусы вектора

,

M1M2

если точки M1 и M2 имеют координаты:

а) M1(0;1;3), M2 (1;-2;-3) ;

б)

M1(2;-1;8),

M2 (5;-3;10) ;

в) M1(3;0;3), M2 (3;-4;3) ;

г) M1(−5;−9;−36), M2 (15;21;24) .

5

. Вычислить модуль вектора a и найти его

направляющие косинусы:

100