Математика для инженеров(практика) I часть

2)элементы разрешающего столбца, расположенные ниже разрешающего элемента, обращаются в нули;

3)все прочие элементы матрицы вычисляются по правилу прямоугольника,

которое заключается в следующем: ведущий элемент [aks ] и эле-

Рис. 1

мент aij , который необходимо пересчитать, задают концы главной диагонали прямоугольника (рис. 1). По ним находят концы akj , ais побочной диагонали прямоугольника. Преобразованный элемент (aij )новый равен разности [aks ]×aij - akj × ais .

	ì2x - 3x - 4x =15,
Пример 10. Решить систему	ï	1	+ x2	2	3
	í-x1			- 2x3 =1, используя
	ï3x		+ x	+ x	= 3,
	î	1	2	3

замечание.

Решение. Проведем элементарные преобразования расширенной

æ			2	-3	-4	15	ö
матрицы системы: (A		b) = ç	-1	1	-2	1	÷ .
		ç	3	1	1	3	÷
è							ø

Поменяем местами первую и вторую строки, предварительно умножив вторую строку на –1. Будем считать первый элемент первой

æ	2	-3	-4		15ö		æ	1	-1	2		-1ö
							ç	[ ]	-3	-4
строки ведущим. Получим ç	-1	1	-2		1	÷		2				15	÷ .
ç	3	1	1		3	÷	ç	3	1 1			3	÷
è						ø	è						ø

Согласно прямому ходу метода Гаусса элементы разрешающей строки остаются неизменными; элементы разрешающего столбца, расположенные ниже разрешающего элемента, обращаются в нули; остальные элементы пересчитываем по правилу 3):

51

æ	[ ]	-1		-1ö		æ	[ ]	-1		-1ö
	1		2				1		2
ç	2	-3	-4	15	÷	ç	0	-1	-8	17	÷ .
ç	3	1 1		3	÷	ç	0	4 -5		6	÷
è					ø	è					ø

Теперь будем считать ведущим второй элемент второй строки и снова пересчитаем матрицу:

æ1	[	-1	2		-1ö	æ1	[	-1	2		-1 ö
ç		]	-8		÷	ç		]	-8		÷
ç0		-1			17 ÷	ç0		-1			17 ÷ .
è0		4	-5		6 ø	è0		0 37			-74ø

Проведем обратный ход метода Гаусса. По последней матрице записываем систему уравнений, равносильную данной:

ìx		- x	+ 2x	= -1,
ï	1	2	3
í		x2	+ 8x3	= -17,
ï			37x	= -74.
î			3

Начиная снизу вверх, последовательно находим: x3 = -2 ,

x2 + 8×(-2) = -17 Þ x2 = -1, x1 - (-1) + 2×(-2) = -1Þ x1 = 2. Итак, (2;−1;−2) – единственное решение данной системы. □

ì2x1 + x2 =1,

Пример 11. Решить систему ïx1 - x2 + x3 - x4 = 3,

íïx2 + 3x3 - x4 = 2,

îx1 + 2x2 - x3 + x4 = -2.

Решение. Проведем прямой ход метода Гаусса. Имеем

æ 2				1	0	0	1	ö
		ç	1	-1	1	-1	3	÷
(A		b) = ç	0	1	3	-1	2	÷.
ç								÷
è			1	2	-1	1	-2	ø

Поменяем местами первую и вторую строки, и будем считать первый элемент первой строки ведущим:

							æ	[ ]	-1		-1
æ2 1			0	0	1 ö			1		1		3 ö
ç	1	-1 1		-1	3	÷	ç	2	1	0	0	1	÷
ç	0	1	3	-1	2	÷	ç	0	1	3	-1	2	÷ .
ç	1	2	-1 1		-2	÷	ç	1	2	-1 1		-2	÷
è						ø	è						ø

Пересчитаем элементы полученной матрицы, согласно прямому ходу метода Гаусса:

52

	æ	[ ]	-1 1		-1
		1				3 ö		æ1 -1 1				-1	3	ö
	ç	2	1	0	0	1	÷	ç	0	3	-2	2	-5	÷
	ç	0	1	3	-1	2	÷	ç	0	1	3	-1	2	÷ .
	ç	1	2	-1 1		-2	÷	ç	0	3	-2	2	-5	÷
	è						ø	è						ø

Далее считаем ведущим второй элемент второй строки и пересчитаем остаточную матрицу:

æ	1	-1 1		-1	3ö		æ	1	-1 1		-1	3 ö
ç	0	[ ]	3	-1	2	÷	ç	0	[ ]	3	-1	2	÷
		1							1
ç	0	3	-2	2	2	÷	ç	0	0	11 -5		11÷ .
ç	0	3	-2	2	2	÷	ç	0	0	0	0	0	÷
è						ø	è						ø

Теперь проведем обратный ход метода Гаусса. По последней матрице записываем систему уравнений, равносильную данной:

ìx		- x + x -			x	= 3,
ï	1	2	3		4
í		x2	+ 3x3	-	x4	= 2,
ï			11x	- 5x		=11.
î			3		4

Из последнего уравнения находим x3 = 115 x4 +1. Подставляем x3 во второе уравнение и получаем x2 + 1511 x4 + 3 - x4 = 2 . Откуда

x2 = -114 x4 -1 . Подставляя x2 , x3 в первое уравнение, имеем

	x	+		4	x	+1+		5	x	+1- x = 3 . Отсюда x =													2		x	+1. Таким образом,
			11				11															11
	1				4				4	4											1					4
	получили общее решение
										ìx		=		2			x				+1,
										ï	1		11					4
										ï								4
										ï
										íx		= -								x -1,
															11
										ï	2										4
										ïx		=	5					x			+1
										ï	3		11					4
										î

данной системы, записанное относительно базиса (x1; x2; x3) . □

30. Нахождение базисных решений системы линейных уравнений.

Совместная система линейных алгебраических уравнений называется неопределенной, если она имеет более одного решения. Важную роль в приложениях, в частности в линейном программировании, играют базисные решения такой системы уравнений. Запишем общее решение системы (1) в

виде (11).

53

Базисное решение получается из решения (11), если свободным неизвестным придать нулевые значения, т.е. положить

xr+1 = xr+2 = ... = xn = 0 . Тогда базисные неизвестные будут равны соответствующим свободным членам, т.е. x1 = c10 , x2 = c20 , ..., xr = cr 0 .

Полученное базисное решение (c10; c20; ... ; cr0; 0; ...; 0) соответствует базису (x1; ...; xr ) . Если общее решение записать в другом базисе, то получим другое базисное решение. Поскольку из системы n неизвестных можно образовать не больше, чем Cnr базисов, то базисных решений у системы (1)

может быть не более Cnr .

Пример 11. Найти все базисные решения системы

ìx	+ 3x		=14,
ï 1		2		= 7,
í2x1		- 3x3
ï2x		+ x		= 7.
î	2	3

Решение. В результате системы приводится к виду:

	æ x1		x2	x3		ö	æ x1
	ç	1	3	0	14÷		ç	1
	( A | b) = ç						Þ ç
		[ ]	0	-3	7	÷		0
	ç	2					ç
		0	2	1	7	÷		0
	è					ø	è

прямого

хода

расширенная

матрица

x2

x3

14

ö

æ x

x

x

14

ö

3

0

÷

ç

11 32

03

÷

[-6]

-3

-21÷

Þ ç

0

-6 -3

-21÷

Þ

2

1

7

÷

ç

0

0

0

0

÷

ø

è

ø

æ x		x	x		ö
ç	1	2	3	14	÷	, которому соответствует система двух уравнений с
Þ ç	1	3	0		÷
ç	0	2	1	7	÷
è					ø

тремя неизвестными. Так что, в общем решении системы две базисные неизвестные выражаются через одну свободную. Возможные свободные неизвестные x1, x2 или x3 .

Пусть x1 = 0 . Тогда последняя матрица запишется так:

æ x		x	14	ö	,
ç	32	03		÷
ç	2	1	7	÷
è				ø

из которой следует x2 = 143 , 2 ×143 + x3 = 7 Þ x3 = - 73.

54

Таким образом, в базисе (x , x )	базисное решение	æ	0;	14	; -	7	ö .
		ç
2 3			3			3	÷
		è					ø

Пусть теперь x2 = 0 . Тогда указанная выше матрица запишется в

æ x		x	14	ö	и, значит,	x	=14 , x = 7 , а базисное решение
форме ç	11	03		÷
ç	0	1	7	÷		1	3
è				ø

(		)	.
14; 0; 7
При x	= 0 соответствующая матрица имеет вид			æ x		x		14	ö
				ç	11	32			÷ .
3				ç	0	2		7	÷
				è					ø

Отсюда x = 7 ; x =14 - 7 ×3 = 7 . Базисное решение æ 7 ; 7 ; 0ö . Итак,

2 1 ç ÷

2 2 2 è 2 2 ø

базисные решения данной системы следующие:

æ

0;

14

;

-7

ö

,

(14;

0; 7) ,

æ 7

;

7

; 0

ö

. □

ç

÷

ç

÷

3

3

2

è

ø

è 2

ø

Задания для самостоятельной работы

1.Решить системы матричным методом и по формулам Крамера. Результаты сравнить.

1)	ì3x + 4y - 2 = 0,	2)	ì3x - 5y -15 = 0,			3)	ì6x - 7 y + 39 = 0,
	í		í		= 0;		í
	îx - 2y - 4 = 0;		î2x - y - 3				î7x + 6y - 82 = 0;
	ì3x + y = -7,			ì7x + 8y = 40,			ì3x - x		+ x = 4,
4)		5)				6)	ï	1 2	3
	í			í			íx1	+ 2x2 - 3x3 = -3,
	î5x + 3y = -13;			î6x - 5y	= 58;		ïx - x - x = -2;
							î 1	2	3

	ìx + 7x + x = 7,				ì2x - x = -5,
	ï	1	2 3		ï	1	3
7)	í-x1		+ x3 = -1,	8)	íx1	+ 4x2 - 3x3 = -10,
	ï2x - 2x =1;				ïx	- x	+ 4x =11;
	î	2	3		î 1	2	3

ìx1 - x2 = -1,

9)ïíx2 - x3 = -2,

ïîx3 - x1 + x2 = 3;

	ìx + x + x =1,			ì6x - 3x			- x = 0,
	ï 1	2 3		ï	1	2	3
10)	í2x1	- 2x2 + x3 = -3,	11)	í3x1 + 9x2			+ 5x3 =19,
	ï	- x2 - 2x3 = 4;		ï		- 3x2	+ x3 = -1;
	î7x1			î3x1

55

	ì15x				+ 5x				-10x =11,			ì3x			- 4x + x				=1,
	ï		1				2			3		ï		1		2		3
12)	í25x1 - 35x2 -15x3 = -13,										13)	í4x1 + x3 = 2,
	ï			+ 5x2				= 4;				ï
	î5x1											îx2 - 3x3 = 6;
	ì6x - 6x +12x = -23,											ìx		- x + 3x			=14,
	ï		1				2			3		ï	1		2	3
14)	í12x1 + 6x2 - 3x3 =14,										15)	í5x1 - 8x2 + 6x3 = 37,
	ï											ï
	î10x1 - 2x3 = 9;											î2x1 - x2 + x3 = 7;
	ì-x			+ 2x					- x = 5,			ìx - 2x				+ x	= -17,
	ï		1				2			3		ï	1		2	3
16)	íx1		+ x2 = 3,								17)	íx1 + x2 - 4x3 =19,
	ï		- 5x2 + 3x3 = -6;									ï
	îx1											î9x1 - 3x2 + x3 = -24;
	ì3x - x = 6,											ì5x + x - x = 9,
	ï		1		2							ï		1	2	3
18)	íx1		+ x2			- 5x3				= -12,	19)	íx1		+	5x2	- x3	= 9,
	ïx		+ x			+ 3x				= 4;		ïx		+ x - 5x			= -11;
	î	1			2				3			î	1		2	3
	ìx - 3x + 5x = 3,											ì8x + 2x - 8x = 9,
	ï	1			2					3		ï	1		2		3
20)	í7x1 + x2 - x3 = 29,										21)	í6x1 + 2x2 - 8x3 =15,
	ï2x			+ 6x				+ 5x = 25;				ï4x		+ x + 4x				= 5;
	î		1				2			3		î	1		2	3
	ì3x - 7x - x = -7,											ìx + x - x = -3,
	ï		1				2			3		ï 1			2	3
22)	í4x1 - 2x2 = -2,										23)	í-x1 + x2 + x3 = -1,
	ï			+ x2 - 3x3 =1;								ï			+ 3x2 = -2;
	î-x1											î12x1
	ìx		+ 3x				=1,					ì3x - 7x				+ 5x			= 38,
	ï	2			3							ï	1		2		3
24)	íx1 + 3x2 =14,										25)	í4x1 + x2 - 6x3 = -31,
	ï			+ x3 = 5;								ï
	î3x1											î8x1 - x2 + x3 = -1.
2. Решить матричные уравнения
1) (02		53)× X = (1725); 2) (-32 65)× X = (-64);
3) X ×(1 -1)								= (		6 2 ); 4)	( 0 5)× X ×(3 0 )= (20 -10);
		2 5							10 31		-3 1				1 -2				-5 -2
5) (-2 1 )× X = (-11 5 ); 6) ( 3 -2)× X ×( 3 5 )= ( 24 38 );
	5 -1									29 -8	-1 2				-2 -3				-12	-18
7) X ×(6 3 )								= (		7 -4); 8)	(2 1)× X ×(				6 1)= (18 4);
		7			-4					6 3	0 1				-2 0			14 2

56

9)

æ

2

5

1ö

×

æ

5 ö

;

10)

æ3

0

-6ö

×

æ

-27ö

;

ç

-1

3

0

÷

X = ç

-2

÷

ç

2

1

-1

÷

X = ç

-3

÷

ç

0

7

1

÷

ç

1

÷

ç

3

0

2

÷

ç

5

÷

è

ø

è

ø

è

ø

è

ø

11)

æ

6

1

8ö

× X =

æ

12 ö

;12)

æ3 2 0 ö

× X =

æ

3

-2ö

;

ç

-2 5

4

÷

ç

-8

÷

ç

0

1

-2

÷

ç

-2

-5

÷

ç

3

0

0

÷

ç

3

÷

ç

1

-2 3

÷

ç

4

8

÷

è

ø

è

ø

è

ø

è

ø

æ-1 1 3ö

× X

æ -3 0

12 ö

;

13) ç

4

-5

0

÷

= ç

14

-15

-28

÷

ç

0 2 0

÷

ç

-4 6

8

÷

è

ø

è

ø

æ

3

2 1 ö æ-2

4 0 ö

;

14) X ×ç

-2

4

0

÷

= ç

3

3

-2

÷

ç

÷

ç

-2 4 0

÷

è

0 1 -3ø è

ø

æ 2

4

-1ö

4

-3).

15) X ×ç

3

0

-1÷ = (9

ç

1

0

0

÷

13

12

-5

è

ø

3. Решить методом Гаусса системы:

ìx1

+ x2

- x3

+ x4

=13,

ìx2

+ 2x3

- x4

=1,

ïx

- 2x

+ x

- x

= -13,

ï3x - x

+ x

=1,

1

2

3

4

1

2

4

= 2,

1) í4x - x

+ x

= 0,

2) íx

+ x

+ 4x

ï

1

2

3

- x

=1;

ï

1

3

4

î

2x + x

+ x

4

î

x

- x

2

+ x

+ x = -3;

1

2

3

1

3

4

ì2x1 - x2 + x3 + x4 = 9,

ì2x1 - x2 + 2x4 = 4,

ï-x

+ 2x

=10,

ïx

- 3x

+ x

= 2,

3)

ï

2

4

ï

1

2

4

í

x

+ x

+ 4x

=18,

4) í

x

- x

+ 3x

= 2,

ï

ï

1

3

4

1

3

4

ï-2x - 2x + x + x = 7;

ïx - x + x = 8;

î

1

2

3

4

î

1

2

4

ìx1 + x2 =1,

ìx2 + x3 - x4 =1,

ïx + x = 2,

ïx - x + x =1,

5)

ï

2

4

6)

ï

1

2

4

í

x

+ x

= 2,

í

x

+ x + x

= 2,

ï

ï

4

1

3

1

3

ïx - x = 3;

ïx - x + x + x = -2;

î

1

2

î

1

2

3

4

ìx

- x - x =1,

ì3x - x - 2x - x =1,

7)

ïx1

+ x2

+ x4

= 6,

8)

ïx

1+ 2x2

- 3x3

+ x4 = 2,

í

1

-

2

4

= 4,

í

1

2

3

+

4

= 0,

ï

x

2x

+ x

5x + 2x

2

- x

4x

1

3

4

ï

1

3

4

îx1

- x2

+ x4

= 4;

î3x1 - x2

+ x3 +

2x4 = -2;

57

ìx3 + x4 =1,

9) ïx1 + 2x2 - x4 =1,

íïx1 + x2 - x3 + x4 = 2, îx1 + x2 + x3 - x4 =12;

ìx1 - x2 + 3x4 = 5, 11) ïíx1 - x2 + x4 = 2,

ïî-x1 + x2 + 2x3 - x4 =1; ìx3 + x4 =1,

13) ïïx1 + 2x2 - x4 =1,

íïx1 + x2 - x3 + x4 = 2, ïîx1 + x2 + x3 - x4 =1;

2+ x3 - 2x4 = 2,

15)ï3x1 - x2 + x3 + x4 = 5, íïx1 + x3 + x4 = -3,

îx1 - x2 + x3 = -5;ì2x

	ìx	+ x		- x			+ x =1,
	ï 1		2			3		4
17)	í4x1		- 2x2 + 3x3 - 3x4 = 8,
	ï4x		- 5x			+ x = 0;
	î	1		2				3
	ì2x		+ x	2	+ x			= -1,
	ï	1				4
19)	í3x1 - 2x2 + 3x3 - 3x4 =1,
	ï4x		- 4x + x = -1;
	î	1			2			3

ìx1 - 4x2 + x3 - 2x4 =18,

21)ïïx1 - x2 + x3 + x4 =14, íïx1 + 2x3 + 4x4 =10,

ïî-x1 - x2 + x3 + x4 = -20;

	ìx		+ 3x		- 4x	4	=10,
	ï	1		2
23)	íx1		- 4x2		+ 2x4		= -3,
	ï7x			- 2x - x		4	= 3;
	î	1			3

ìx1 - x2 + x3 + x4 = 5,

10)ïx1 - 4x2 + x4 = 21,

íï-2x1 + x2 + 3x3 + x4 = 21, î-x1 + x2 + 2x3 - x4 =10;

12)ìx1 - 4x2 + 3x3 = 40,

íîx2 + 2x3 - x4 =10;

14)ì6x2 - 3x3 - x4 =12,

íî3x1 - x2 + 2x4 =15;

	ì3x + x - x + 2x = 4,
	ï		1		2			4			5
16)	íx1		- x2			+ x5			=		8,
	ïx		+ 3x				+ x			- x =16;
	î	1			2			3			5
	ìx		- x			+ 2x				= 5,
	ï	1		2				4
18)	í3x1 - 4x2 + x4 = 7,
	ïx		- x			+ x			= 8;
	î	1		2			3
	ìx2 - 2x3 + x4 =10,
	ïx - x + 2x + x = 6,
20)	ï	1		2				3			4
	í	x	+ x		- x				= 4,
	ï
		1		3			4
	ïx - x - 2x + x = 8;
	î	1		2				3			4
	ì3x - x						+ 2x				+ x	=16,
	ï		1		2					3	4
22)	ïx1 + 2x2 - x3 = 3,
	í	x	+ x		+ x				= 4,
	ï
		1		3			4
	ïx		- x			+ x			= 6;
	î	1		2			4
	ìx		- x		+ 3x					- x =10,
	ï	1		2			4				5
24)	í3x1			- 2x2 + x4							= 20,
	ï2x			- x			+ 2x				- x - x =10;
	î	1		2					3		4	5

58

ìx2 + 2x4 - x5 = 20,

25) ïïx1 + 3x2 - x5 = -20,

íïx1 - 3x2 + x5 =18,

ïîx1 + x2 + 2x3 - x4 - x5 = -12; ì2x1 - x2 + x3 + x4 = 0,

27) ïïx1 - 4x2 + x4 =1,

íï-2x1 + x2 - 2x3 + x4 = 2, ïîx1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 0;

ì2x1 + 2x2 - x4 + x5 = 20, 29) ïíx1 - 2x2 + x5 = 4,

ïîx1 - x2 + x3 - x5 = 7;

ìx1 + 2x2 - x3 + 2x4 =12,

31) ïïx1 - 3x2 + 2x4 = 0,

íï2x1 + x2 - 3x3 + 4x4 = 4, ïîx1 - x2 + 2x3 - x4 =12; ì2x1 + x4 = 5,

33) ïïx1 - x2 =10,

íïx2 - x3 =10, ïîx1 - x4 =10;

ìx1 + 2x2 - x4 + 4x5 = 8, 35) ïíx1 - 2x2 - x5 = -4,

ïîx1 - x2 + 3x3 - 2x5 = 6;

ì-2x1 + x2 + 2x4 = 4,

37)ïí3x1 - 4x3 + x4 = 2, ïî-x1 + x3 + x4 = 2;

ì2x1 - x2 + x4 + x5 = 0,

26) ïïx1 - 3x2 = 3,

íïx1 + 3x2 - 2x3 - x4 + x5 = 0, ïîx1 - x4 - x5 = 0;

ìx1 - x2 - x3 = 2,

28) ïïx1 - x2 + x4 =1,

íïx1 + x2 + x3 + x4 = 0, ïîx1 + x2 + x3 - x4 =1;

ìx1 + x2 - 4x4 + x5 = 0, 30) ïíx1 - 5x2 + x5 = 0,

ïî2x1 + x2 + 2x3 - x5 = 0; ì4x1 - 2x2 + x4 + x5 =1,

32) ïïx1 - 2x2 + 3x3 - x5 = 3,

íï2x1 - x5 = 2, ïî3x2 - x3 =1;

ìx1 - x2 + x3 - 2x4 = -2,

34) ïïx1 + x2 - x3 + x4 = -4, íïx2 - 2x3 =1,

ïîx1 + x2 - x3 - x4 = -4;

ì4x1 - 2x2 + x4 = 28, 36) ïíx1 - 4x2 + 2x4 =14,

ïî2x1 - x2 + x3 = 7; ìx1 + 3x2 - x3 = 2,

38) ïï2x1 - x2 + x4 = -2,

íï3x2 - x3 + 2x4 = 4, ïîx1 + 2x4 = -6;

59

	ì2x1 + x2 + 4x4 = -3,			ìx1 + x2 + x4 - 2x5 = 0,
				ï2x - x = 4,
39)	ï	- x = 4,	40)	ï	2	5
	íx			í	+ 3x3 - 2x5 = 2,
	ï 1	4		ïx1
	î3x1 - x2 + 2x3 - 2x4 = 8;			ï2x + x - x - x = 2.
				î	1	2 3 4

4.Выяснить, совместна ли система. Если совместна, то найти ее решение.

ì5x1 + x2 - 2x3 = -14, 1) ïíx1 + 5x2 - x3 = 3,

ïîx1 + 2x2 + 3x3 =12;

ìx1 - x2 + 3x3 = 8, 3) ïí-2x1 + 6x2 - x3 = 3,

ïî3x1 - 7x2 + 4x3 = 6;

ìx1 - x2 + x3 = 0, 5) ïí2x1 + x2 - x3 = 3,

ïî6x1 - 3x2 + 3x3 = 4;

ì-x1 + 6x2 + 5x3 =14, 7) ïí4x1 - 7x2 + 8x3 =16, ïî2x1 - 4x2 + 3x3 = 20;

ì3x1 - 5x2 + 2x3 = 0, 9) ïí4x1 - x2 + 2x3 = 4,

ïîx1 + 4x2 = 5;

ìx1 - x2 + x3 - x4 = 2,

11) ïï-x1 + x2 + x3 - x4 = -3, íïx1 - x2 + x4 =1,

ïîx1 + x3 + x4 =1;

ìx1 - 3x2 + x3 + 2x4 = -4, ïïx1 - 4x2 + x4 = 2,

íïx1 - x2 + x3 =1,

ïî2x1 + 2x3 - 2x4 = 9;

=5,

2)ïí7x1 - 5x2 + x3 =1, ïîx1 - 9x2 + 3x3 = -11;2x2 - x3ì3x1 +

ì2x1 + 4x2 + x3 = 3,

4)ïíx1 - 5x2 - 6x3 = 9, ïîx1 - 8x2 +13x3 = 0;

ì2x1 - x2 - 2x3 =1, 6) ïíx1 + 2x2 - x3 = 2,

ïîx1 - 2x2 - 6x3 = 2;

ì10x1 + x2 + x3 = 0, 8) ïí2x1 - x3 = 0,

ïîx1 - 4x3 = 8;

-x3 =18,

10)ïí-x1 + 4x2 + x3 =13, ïî-3x1 + 4x2 + x3 = 0;ì-5x1 + x2

12)

60