Tom_2

Определим по указанной выше схеме два решения y1(x) и

y2 (x) , причем для y1(x)	выберем c0 =1, c1 = 0 , а для y2 (x)					выберем
c0 = 0, c1 =1, что равносильно следующим начальным условиям:
y (0) =1,	y′(0) = 0,	y	2	(0) = 0,	y′ (0) =1.
1	1				2
Любое решение уравнения (4) будет линейной комбинацией
решений y1(x) и y2 (x) .						y (0) = A ,
В частности, если начальные условия					имеют вид
y′(0) = B , то, очевидно,
	y = Ay1(x) + By2 (x) .
Справедливо следующее утверждение: если ряды
	∞			∞
p(x) = å ak xk		и q(x) = åbk xk
	k=0			k=0

сходятся при x < R , то построенный указанным выше способом

степенной ряд (6) будет также сходиться при этих значениях x и будет являться решением уравнения (4). Например, если p(x) и q(x) –

многочлены от x, то ряд (6) будет сходиться при любом значении x R .

Пример 4. Найти общее решение уравнения

y¢¢ - x2 y = 0 .

(9)

Решение. Ищем решение уравнения (9) в виде ряда (6). Имеем:

∞	∞	∞
y = åck xk ,	y¢ = åkck xk−1,	y¢¢ = åck k(k -1)xk−2.
k=0	k=1	k=2

Подставляя найденные выражения в уравнение (9), имеем:

∞						∞			+2 = 0,
åck+2 (k + 2)(k +1)xk						-åck xk				(10)
k=0						k=0
которое верно, если:
c2 × 2 = 0; c3 ×3× 2 = 0;			c4 × 4 ×3 - c0 = 0; c5 ×5× 4 - c1 = 0; ...,
откуда получаем c	= c	= 0, c	=	c0	,	c =		c1	, …
2	3	4	3× 4			5	4×5
С учетом c2 = c3 = 0 , тождество (10) примет вид
∞								∞
åck+4 (k + 4)(k + 3)xk+2							-åck xk+2 º 0 .
k=0								k=0

Отсюда

44

ck+4 =

ck

.

(11)

(k

+ 4)(k + 3)

Из (11) получаем:

c0

c1

c4k =

, c4k+1 =

,

4k (k -1)

×K×8×7 × 4 ×

3

4k (k -1) ×K×9 ×8×5× 4

c4k+2 = c4k+3 = 0, k =1, 2,K.

В результате общее решение уравнения (9) примет вид:

∞

x4k

∞

x4k+1

y = c0 å

+ c1 å

,

-1) ×K×8×7

× 4 ×3

k=0 4k (k

k=0 4k (k -1) ×K×9×8×5× 4

где c0 и c1 – произвольные постоянные. □

Пример 5. Найти в виде степенного ряда решение задачи Коши:

y′′ - xy′ - 2y = 0 ,					y(0) = 0,	y′(0) =1.			(12)
Решение. Функцию y(x) ищем в виде ряда
				∞
		y(x) = åck xk .
Тогда				k=0
	∞				∞
¢		k−1	,	¢¢			k−2	.
y (x) = åkck x				y (x) = åk(k -1)ck x
	k=1				k=2
Подставляем y(x) ,	y′(x) , y′′(x) в (12), получаем:
∞				∞		∞
å k(k -1)ck xk−2				- åkck xk - 2åck xk = 0 .					(13)
k=2				k=1		k=0
Из условий y(0) = 0, y′(0) =1 находим
		c0 = 0,			c1=1.				(14)
Приводя в	(13) подобные				члены	и приравнивая к			нулю

коэффициенты при всех степенях x, получаем следующие соотношения:

2c2 - 2c0 = 0, 6c3 - 3c1

= 0, 12c4 - 4c2

= 0,

(15)

20c5 - 5c3 = 0,

30c6 - 6c4 = 0, 42a7 - 7a5 =

0, ... .

Из (15), с учетом (14), имеем:

c

= 0, c =

1

, c

= 0, c

=

1

, c

= 0, c

=

1

, ... .

2

2× 4

2 × 4×6

2

3

4

5

6

7

Очевидно, что

c2k = 0, c2k+1

=

1

, k =1, 2, 3K.

2 × 4

× 6 ×K× (2k)

45

æ x2

ök

3

5

7

∞

ç

÷

x

2

x

x

x

ç

2

÷

+K = xå

è

ø

Итак,

y(x) = x +

+

+

= xe

2

.

2 × 4

2 × 4×6

k!

2

k=0

Пример 6. Методом последовательного дифференцирования найти пять первых, отличных от нуля, членов разложения в ряд решения задачи Коши:

y

¢¢

= x + y

2

,

y(0)

¢

=1 .

(16)

= 0, y (0)

Решение. Функцию y(x)

ищем в виде ряда Маклорена

∞

(k)

(0)

y(x) = å

y

xk

,

(17)

k=0

k!

в котором нужно найти пять первых, отличных от нуля, производных. Последовательно подставляя начальные условия в исходное

уравнение и дифференцируя его, получаем:

y¢¢(0) =(x + y2 )

= 0,

y¢¢¢(0) =(1+ 2yy¢)

0

=1,

y(4)(0) = (2y¢2

+ 2yy¢¢)

= 2,

y

(5)

¢ ¢¢

0

¢¢¢

0, y

(6)

¢¢2

¢

¢¢¢

+ 2yy

(4)

=8,

0

(0) = (6y y

+ 2yy )

0 =

(0) =(6y

+8y y

)

0

y

(7)

¢¢

¢¢¢

¢

(4)

+2yy

(5)

)

= 20.

(0) = ( 20y y

+10y y

0

Таким образом, приближенное решение задачи Коши (16) имеет

вид:

y(x) » x + x3 + 2x4 + 8x6 + 20x7 . □ 3! 4! 6! 7!

Задания для самостоятельной работы

1.Найти область сходимости следующих функциональных рядов:

∞	cos		2		nx		∞	x	n
а) å						;	б) å			;	в)
		n2						(2n -1)
n=1							n=1
∞		x
å2n sin				.
n=0		22n

46

2.Исследовать на равномерную сходимость следующие функциональные ряды в области их сходимости:

∞	x2n				∞	1+ sin nx
а) å				;	б) å		.
		2				n
n=1 n			+1		n=1	3

3.Найти интервал сходимости следующих степенных рядов и исследовать сходимость на его концах:

∞

∞

x

n

∞

∞

(-1)

n−1

x

n

а) å(-1)n xn ; б)

å

; в)

å

n!

xn ; г) å

;

n=1

n=1 nn

n=1 nn

n=1

n

∞

(x +1)

n

∞

(x

- 3)

n

∞

(x - 2)

n

д) å

; е)

å

; ж) å

.

n2

n=1

n=1 n(n -1)

n=1

2n (2n -1)

4.Написать разложения в ряд Маклорена следующих функций и указать интервалы сходимости рядов:

а) ex2 ;

б) cos 2x;

в) cos 3x + xsin3x; г) (1+ x) e−x;

x

x

x

dt

д)

; е) òe−t2 dt ; ж) ò

.

4

+ x

0

0

1- t

4

5.

Разложить функцию ln x в ряд по степеням (x −1).

6.

Разложить функцию cos x в ряд по степеням çæ x -

π ÷ö .

è

2 ø

7.

При каких значениях x приближенная формула

cos x »1-

x2

дает

2

ошибку, не превыщающую 0,001?

1

sin

x

8.

Вычислить ò

dx с точностью до 0,001.

x

0

1

9.

Вычислить ò9

exdx с точностью до 0,001.

x

10. Найти

0

уравнения

x − tx + x =1 , которое удовлетворяет

решение

&& &

начальным условиям x(0) = x&(0) = 0.

11.Найти пять первых, не равных нулю, членов разложения в степенной ряд решения задачи Коши &&x - t2 x = 0, x(0) = x&(0) =1.

47

ГЛАВА 3

РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

§ 1. Тригонометрическая система функций

Функция y = f (x) , определенная на множестве

X , называется

периодической с периодом

T > 0 , если при каждом

x X значение

(x + T ) X

и выполняется равенство f (x + T ) = f (x) .

Отметим, что для построения графика периодической функции

периода T

достаточно построить его на любом отрезке длины T

и

периодически продолжить на всю область определения X .

Тригонометрической системой функций называется система

1, cos x, sin x, cos2x, sin 2x,K, cosnx,

sin nx,K .

(1)

Система функций (1) периодична с периодом 2π .

Свойства системы (1):

1) Интеграл по отрезку [-π ; π ] от произведения двух различных

функций равен нулю (свойство ортогональности).

2) Интеграл по отрезку [-π ; π ]

от квадрата любой функции из

(1) отличен от нуля.

Доказательство. Имеем:

π

sin nx

π

ò 1×cosnxdx =

= 0;

(2)

−π

n

−π

если m ¹ n , то

π

π

1

(cos(m - n)x - cos(m + n)x)dx =

ò sin mxsin nxdx = ò

2

−π

−π

π

1 æ sin(m - n)x

sin(m + n)x ö

=

ç

-

÷

= 0;

2 è m - n

m + n

ø

−π

π

π

1

1

π

1

π

ò sin

2 nxdx = ò

(1- cos2nx) dx =

ò

dx -

ò cos2nxdx = π.

2

2

−π

−π

−π

2

−π

Аналогично рассматриваются остальные случаи. □ Упражнение 1. Проверить свойства 1) и 2) в остальных случаях.

48

§ 2. Тригонометрический ряд Фурье

При изучении различных периодических процессов в радиотехнике, электронике, теории упругости и т.д. требуется разлагать функции, которые описывают эти процессы, не в степенной ряд, а в тригонометрический ряд Фурье.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд

вида:
	a0	+ a cos x + b sin x + a				2	cos2x + b sin 2x +K + a		n	cosnx + b sin nx +K
2			1	1				2		n
или, в краткой форме, ряд
					a0		∞
						+ å(an cosnx + bn sin nx) ,				(1)
				2
							n=1
где a0 , an , bn (n =1, 2,K)
						– постоянные коэффициенты.
			Поскольку члены ряда (1)					имеют общий период T = 2π , то и

сумма ряда, если он сходится, также является периодической функцией периода 2π .

Пусть f (x) – периодическая функция с периодом 2π , которая

	разлагается в тригонометрический ряд,			т.е. f (x) является	суммой
	ряда (1):		∞
		a0
	f (x) =		+ å(ak coskx + bk sin kx) .		(2)
	2		k=1	период 2π , то ее
	Так как функция		f (x) имеет		удобно

рассматривать на любом промежутке длины 2π . Основным промежутком считаем отрезок [-π ; π ] .

Теорема 1. Если ряд (2) сходится равномерно на [-π ; π ] , то его

коэффициенты ak и bk

определяются по формулам:

1

π

1

π

1

π

a0 =

ò f (x)dx;

ak =

ò

f (x)coskxdx; bk =

ò

f (x)sin kxdx,

k ³1.(3)

π

π

π

−π

−π

−π

Доказательство. Определим a0 . По условию,

ряд (2)

сходится

равномерно на

[-π ; π ] ,

следовательно, его

можно интегрировать

почленно:

π

π

a0

∞

æ

π

k

π

ö

ò

ò

å

ç

ò

ò k

÷

f (x)dx =

2

dx +

ç

a coskxdx

+

b

sin kxdx

÷ .

(4)

−π

−π

k=1è −π

−π

ø

49

	π		a	π
	ò	2		ò
Отсюда,		f (x)dx =	0		dx = a π .	По	свойству
	−π			−π	0

тригонометрической системы функций (1), остальные интегралы в (4) равны нулю. Для определения an умножим правую и левую части (2) на cosnx , и полученный результат проинтегрируем в пределах от −π до π .

π

ò f (x)cos nxdx =

−π

	π	a0	∞	æ	π
	= ò		cos nx dx + å	çç	ò ak
		2
	−π		k=1è		−π

Отсюда,

	π	k	ö
cos nx cos kx dx +	ò		÷
		b	cos nxsin kx dx÷.
	−π		ø

	π	π	1		π
	ò	f (x)cosnxdx = ò an cos2 nxdx =		an	ò (1+ cos2nx)dx = anπ .
			2
	−π	−π			−π

Из последнего равенства получаем выражения для an . Аналогично получаем коэффициент bn . □

Тригонометрический ряд, коэффициенты которого задаются формулами (3), называется рядом Фурье.

Теорема 2. Если функция f (x) определена, интегрируема на [-π ; π ] и разлагается в тригонометрический ряд (2), который

можно почленно интегрировать, то это разложение единственно.

Доказательство теоремы вытекает из единственности определения коэффициентов a0 , ak , bk по формулам (3). □

Возникает вопрос: является ли ряд Фурье (2) сходящимся, и, если он сходится, то сходится ли именно к функции f (x) ?

Оказывается, что ряд Фурье сходится к заданной функции f (x)

для довольно широкого класса функций.

Будем говорить, что функция f (x) на заданном отрезке

удовлетворяет условиям Дирихле, если она на этом отрезке кусочнонепрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и кусочно-монотонна, т.е. либо монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

50

Если функция f (x) имеет период T = 2π , то ее называют 2π -

периодической.

Теорема 3. Пусть 2π -периодическая функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке[−π ; π ] . Тогда ряд Фурье этой функции сходится на всем отрезке[−π ; π ] и при этом:

1)сумма этого ряда равна f (x) в точках непрерывности

функции;

2)в каждой точке x0 разрыва первого рода функции сумма

ряда равна среднему арифметическому пределов функции f (x) слева

и справа		1	( f (x − 0) + f (x + 0)) ;
	2		0	0
				отрезка [−π ; π ]
3)	на концах				сумма ряда равна

12 ( f (π − 0) + f (−π + 0)) .

Эту теорему принимаем без доказательства.

Таким образом, если функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке [−π ; π ] , то справедливо разложение (2), где

коэффициенты разложения вычисляются по формулам (3), причем равенство (2) может нарушаться только в точках разрыва функции

f (x) и на концах отрезка [−π ; π ] . В силу периодичности функции f (x) и суммы ряда Фурье, можно получить указанное разложение во

всей области определения функции.

Отметим еще одну особенность разложения функции в ряд Фурье.

Теорема 4. Если ϕ(x) − интегрируемая и 2π -периодическая функция на X , то для любого λ X выполняется равенство

π	λ+2π
ò ϕ(x)dx = ò		ϕ(x)dx.	(5)
−π	λ
	b
Доказательство. Рассмотрим òϕ(x)dx, где a X и b X .
	a
b	b+2π		b+2π
Пусть x = z − 2π , тогда òϕ(x)dx =	ò	ϕ(z − 2π )dz =	ò ϕ(z)dz.
a	a+2π		a+2π

λλ+2π

Положим здесь a = −π , b = λ : ò ϕ(z)dz =	ò ϕ(x)dx.
−π	π

51

Рассмотрим

λ+2π	−π	π	λ+2π	π
ò	ϕ(x)dx = ò ϕ(x)dx + ò ϕ(x)dx +		ò	ϕ(x)dx = ò ϕ(x)dx, так как
λ	λ	−π	π	−π
λ+2π	λ

òϕ(x)dx = ò ϕ(x)dx. Что и требовалось доказать. □

π−π

π2π

Если подставить в (5) λ = 0, то получим ò ϕ(x)dx = ò ϕ(x)dx,

поэтому									−π	0
					2π			2π
			1				1
a	k	=	π		ò	f (x)cos kxdx, k ³ 0; b =	π	ò	f (x)sin kxdx,	k ³1.	(6)
						k
					0			0

Сучетом изложенного выше, заключаем, что для 2π -

периодической функции f (x) , заданной на отрезке [0; 2π ] и

удовлетворяющей на нем условиям Дирихле, имеет место разложение (2), где коэффициенты вычисляются по формулам (6), которое может

нарушаться только на концах отрезка [0; 2π ] и в точках разрыва функции f (x) .

Отметим также, что условиям Дирихле удовлетворяют большинство функций, встречающихся в приложениях. Однако, существуют функции, разложимые в ряд Фурье, которые не удовлетворяют условиям Дирихле, т.е. теорема 3 дает лишь достаточные условия разложимости функции f (x) в ряд Фурье.

§ 3. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Если разлагаемая в ряд Фурье на отрезке [-π ; π ] функция f (x)

является четной или нечетной, то формулы вычисления коэффициентов Фурье упрощаются.

Пусть ϕ(x) − четная 2π -периодическая функция, т.е. ϕ(−x) = ϕ(x) . Рассмотрим интеграл

π

0

π

ò ϕ(x)dx = ò ϕ(x) dx + òϕ(x)dx .

−π

−π

0

0

В интеграле ò ϕ(x) dx сделаем замену x = −z , тогда

−π

52

0 0 π

ò ϕ(x) dx = - òϕ(-z)dz = òϕ(x)dx ,

−π π 0

поскольку определенный интеграл не зависит от переменной

ππ

интегрирования. Следовательно, ò ϕ(x)dx =2òϕ(x)dx .

Пусть ϕ(x)

−π

0

−

нечетная

2π -периодическая

функция, т.е.

π

0

π

ϕ(−x) = –ϕ(x) . Тогда ò ϕ(x)dx = ò ϕ(x) dx + òϕ(x)dx .

−π

−π

0

Сделаем замену x = −z :

π

0

π

π

π

ò ϕ(x)dx = - òϕ(-z)dz + òϕ(x)dx = -òϕ(z) dz + òϕ(x)dx = 0 .

−π

π

0

0

0

Применим

полученные

результаты

к

вычислению

коэффициентов Фурье. Для четных функций имеем:

2

π

2

π

a0 =

ò f (x) dx; ak =

ò f (x)coskxdx; bk

= 0, k ³1 .

π

π

0

0

Для нечетных функций:

π

2

a

= 0;

a

= 0; b =

π

ò

f (x)sin kxdx;

k ³1.

0

k

k

0

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию y = x2 на [-π ; π ] .

Решение. Функция y = x2 четная, значит

2 π ak = π ò0 x2

=2 éêx2

πê

ë

=4 éêx ×

πê

ë

2

π

2 x3

π

2π

2

a0 =

ò x2dx =

=

.

π

π

3

3

0

0

coskxdx =

x2 = u,

2xdx = du

=

coskxdx = dv, v =

sin kx

k

sin kx

π

2

π

ù

x = u,

dx = du

×

-

ò

xsin kxdxú

=

coskx

=

k

sin kxdx = dv, v = -

k

0

ú

0

û

k

coskx

π

1

π

ù

4coskπ

4

(-1)k .

-

ò coskxdxú

=

=

k

2

k

2

k

2

k

2

ú

0

0

û

53