конспект%20лекций%20ФМ

41

блок-схеми, представленої на рис.4.2.

Дисконтування

Складні проценти

Математичне дисконтування

Банківський облік

При

При

При

При

одноразовому

неодноразовому

одноразовому

неодноразовому

нарахуванні

нарахуванні

нарахуванні

нарахуванні

P

S

(1

j

)m*n

m

Рис. 4.2. Структурно-логічна схема дисконтування грошового потоку.

Наприклад, потрібно визначити сучасну вартість платежу в розмірі 8 млн. грн., що повинен надійти через 1,5 року, процентна ставка складає 20%:

	8
	P		6,086
при m = 1		1 0,2 1,5		млн. грн.
					P					8			6,01
										0,2	2 1,5
при m = 2 (нарахування 1 раз у півріччя)							1						млн. грн.
										2
				P			8					6,941
							0,2			12 1,5
						1
при m = 12 (щомісячне нарахування)							12						млн. грн.

4.2. Фінансові розрахунки вартості грошей.

Досконале володіння основами фінансової математики дозволяє порівнювати між собою ефективність окремих операцій і обґрунтовувати найбільш оптимальні управлінські рішення.

Широке поширення одержало використання фінансових таблиць для нарахування складних процентів і дисконтування. У цих таблицях приводяться значення множників нарощення (дисконтних множників) для заданих n та і. Для перебування нарощеної вартості досить помножити відому первісну суму на табличне значення множника нарощення. Аналогічно можна знайти приведену величину майбутніх грошей, множачи їх суму на дисконтний

42

множник з таблиці. Розглянемо деякі інші елементарні способи використання результатів фінансових обчислень.

В умовах нестабільної економіки банки й інші кредитори з метою зниження свого процентного ризику можуть установлювати перемінні ставки процентів для різних фінансових операцій.

Наприклад, по позичці в розмірі 2 млн. грн. загальною тривалістю 120 днів протягом перших двох місяців будуть нараховуватися 20% річних, а починаючи з 61 дня щомісяця проста процентна ставка буде збільшуватися на 3% (звичайні проценти). Фактично, позичка розбивається на декілька складових, по кожній з яких установлені свої умови. Необхідно знайти нарощені суми по кожній зі складових, а потім скласти їх. При нарахуванні простих процентів варто говорити про базисні темпи приросту, тому що первісна сума P залишається незмінною. Дана задача в статистичних термінах може бути інтерпретована як додавання базисних темпів приросту з наступним множенням на первісну суму позики. Загальна формула розрахунку буде мати такий вигляд:

n
S P*(1 nJ *ij )	,	(4.18)
j 1

де N - загальне число періодів, протягом яких проценти нараховуються по незмінній ставці. Підставивши в це вираження умови нашого приклада, отримаємо:

S = 2 * (1 + (60/ 360 * 0,2) + (30/ 360 * 0,23) + (30/360 * 0,26)) = 2,148 млн.

грн.

Відповідно для складних процентів, мова йтиме вже не про базисні, а про ланцюгові темпи приросту, що повинні не складатися, а перемножуватися:

n

S P* (1 ij )ni

j 1 . (4.19)

Підставивши умови приклада, отримаємо:

S = 2 * (1 + 0,2)^(60/360) * (1 + 0,23)^30/360 * (1 + 0,26)^30/360 = 2,138

млн. грн.

Дану задачу можна вирішити трохи іншим шляхом – розрахувавши спочатку середні процентні ставки. Розрахунок середніх процентних ставок (чи розрахунок середніх доходностей) узагалі дуже розповсюджений у фінансових операціях. Для його виконання корисно знову згадати про математикостатистичну природу процентних ставок, тому що нарахування простих процентів відбувається в арифметичній прогресії, середня проста ставка розраховується як середня арифметична зважена

n

ij *nj

ipr j 1n

nj

j 1	,	(4.20)
де N –	загальне число	періодів, протягом яких процентна ставка

43

залишалася незмінною.

Складні проценти ростуть у геометричній прогресії, тому середня складна процентна ставка розраховується як середня геометрична зважена. У якості ваги в обох випадках використовуються тривалості періодів, для яких діяла фіксована ставка.

icl N (1 iJ )ni	1	(4.21)
	.

Знову використовуємо дані нашого приклада. У випадку нарахування простих процентів отримаємо:

ipr = ((0,2 * 60) + (0,23 * 30) + (0,26 * 30)) / 120 = 0,223 = 22,3%

S = 2 * (1 + 0,223 * 120 / 360) = 2,149 млн. грн.

Тобто середня процентна ставка склала 22,3% і нарахування процентів по цій ставці за весь термін позички дає такий же результат, як і той, що був отриманий по формулі (4.21). Для складних процентів вираження прийме вигляд:

icl = ((1 + 0,2)^60 * (1 + 0,23)^30 * (1 + 0,26)^30)^(1/120) – 1 = 0,222 =

22,2%

S = 2 * (1 + 0,222)^(120/360) = 2,138 млн. грн.

Нарахування процентів по середній процентній ставці 22.2% також дає результат, еквівалентний тому, що був отриманий по формулі (4.22).

Розуміння розходжень механізмів нарощення простих і складних процентів допомагає уникати досить розповсюджених помилок. Наприклад, варто пам'ятати, що такий процес, як інфляція розвивається в геометричній, а не в арифметичній прогресії, тобто до нього повинні застосовуватися правила нарахування складних, а не простих процентів. Темпи приросту цін у цьому випадку являються ланцюговими, а не базисними, тому що в кожному наступному місяці ріст цін відноситься до попереднього місяцю, а не до початкового року чи якій-небудь інший незмінній базі.

Поряд з розрахунком майбутньої і сучасної величини коштів часто виникають задачі визначення інших параметрів фінансових операцій: їх тривалості і величини процентної чи дисконтної ставок.

Визначення терміну фінансової операції для антисипативного нарахування процентів і банківського обліку здійснюється по формулі (4.24) з

табл. 4.1.

Наприклад, через який період часу відбудеться подвоєння суми боргу при нарахуванні на неї 20% річних простих

а) при декурсивному методі нарахування процентів; б) при використанні антисипативного методу.

Тимчасова база в обох випадках приймається рівною 365 днів (точні проценти).

Розв’язання

Застосувавши формули (4.22) і (4.23), отримаємо:

а) t = (2 – 1) / 0,2 * 365 = 1825 днів (5 років);

44

б) t = (1 – 1/2) / 0,2 * 365 = 912,5 днів (2,5 роки).

Наприклад, за векселем номіналом 700 тис. грн. банк виплатив 520 тис. грн., зробивши його облік по простій ставці 12% річних.

Чому дорівнює термін до погашення векселя?

Розв’язання

Застосувавши формулу (4.2.5), отримаємо: t = (1 – 520 / 700) / 0,12 * 360 = 771 день.

Наприклад/

Товар, вартістю 1,5 млн. грн. оплачується на умовах комерційного кредиту, наданого під 15% річних (проста процентна ставка, тимчасова база 360 днів). Сума оплати після закінчення терміну кредиту склала 1 млн. 650 тис. грн.

Чому дорівнює термін наданого кредиту?

Розв’язання

З формули (4.21) випливає:

t = (1,65/1,5 – 1) / 0,15 * 360 = 240 днів.

Таблиця 4.1.

Формули розрахунку тривалості фінансових операцій і процентних

(облікових) ставок по них

Спосіб нарахування

Тривалість позички

Процентна (облікова)

процентів

ставка

1. Прості декурсивні

S

1

t

S P

*K

проценти (t –

t

P

*K

P*t

;

тривалість у днях, K –

i

;

(4.24)

тимчасова база)

(4.22)

2. Прості

1

P

d

S P

*K

антисипативні відсотки

t

S

*K

S *t

;

(t - тривалість у днях, K

d

;

(4.25)

- тимчасова база)

(4.23)

Одним з найважливіших параметрів будь-якої фінансової операції являється процентна (облікова) ставка. Вона використовується для оцінки

прибутковості.

Розглянемо способи розрахунку величини процентних (облікових) ставок, коли задані інші параметри фінансової операції. Перетворивши формули декурсивного й антисипативного нарощення простих процентів, отримаємо вираження (4.24) і (4.25) у табл. 4.1.

Без сумніву, дана методика може використовуватися при аналізі будьяких фінансових операцій, а не тільки в процесі банківського кредитування.

Наприклад, іноземна валюта в обсязі 1000 одиниць, куплена за курсом 10 грн. за 1 одиницю, через місяць була продана за курсом 10 грн. 20 коп. Визначити прибутковість цієї операції по річній простій процентній ставці (комерційні проценти).

Розв’язання.

З формули (4.12) отримаємо:

45

i = (10200 – 10000) / (10000 * 30) * 360 = 24%.

Аналогічний підхід до розрахунку прибутковості використовується і на фондових ринках.

Так, Національнім банком України була рекомендована формула розрахунку прибутковості ДКО:

r (	N	1)*	365	*100%
	P				,	(4.26)
			t

де N – номінал облігації;

P – ціна її придбання;

t – термін до погашення.

Прибутковість – це похідна величина, яка не визначає, а яку визначають ті грошові потоки, що породжує кредитна угода (цінний папір чи інший фінансовий інструмент).

Розраховуючи прибутковість фінансової операції, інвестор одержує суб'єктивну оцінку її величини, що залежить від цілого ряду передумов. Наприклад, таких як спосіб нарахування процентів, вибір тимчасової бази і т.п.

Для фінансового менеджменту складні проценти мають незмірно велику цінність, чим прості. Очевидно, що при використанні методики розрахунку простих процентів значення прибутковості неточне вже через те, що дана методика не враховує можливості реінвестування отриманих доходів. Тому при інших рівних умовах безумовно кращим являється розрахунок прибутковості як ставки складних процентів.

4.3. Основні характеристики ануїтету.

Форму ануїтетів мають багато фінансових потоків, наприклад виплата доходів по облігаціях, платежі по кредиту, страхові внески й ін. Це зрозуміло, тому що рівномірність будь-яких процесів зв'язана з їх упорядкованістю, а отже

– передбачуваністю і визначеністю. І хоча ризик як міра невизначеності постійно є присутнім у фінансах, однак зі збільшенням цього ризику відбувається трансформація фінансової діяльності в індустрію азартних ігор. Різниця між двома цінними паперами (облігацією, що має високий рейтинг, і лотерейним квитком) складається саме в тому, що перша з них з досить високою імовірністю гарантує її власнику виникнення упорядкованого позитивного грошового потоку (ануїтету).

Принцип тимчасової цінності грошей унеможливлює пряме підсумовування членів ренти. Для обліку впливу фактора часу на кожного члена ренти застосовуються розглянуті вище правила нарощення і дисконтування.

Поряд із членом ренти (позначимо його R) будь-який грошовий потік характеризується також іншими параметрами:

період ренти (t) – часовий інтервал між двома суміжними платежами; термін ренти (n) – загальний час, протягом якого вона виплачується; процентна ставка (i) – ставка складного процента, яка використовується

46

для нарощення і дисконтування платежів, з яких складається рента;

число платежів за 1 період ренти (p) – використовується в тім випадку, якщо протягом 1 періоду ренти виробляється більше, ніж 1 виплата коштів;

число нарахувань процентів протягом 1 періоду ренти (m) – при нарахуванні (дисконтування) по номінальній процентній ставці (j).

Наприклад.

Розглянемо приклад визначення майбутньої величини обмеженої постійної ренти (ануїтету) постнумерандо яка сплачується 1 раз у рік (p = 1) і проценти по якій нараховуються по складній ефективній процентній ставці і 10% річних також 1 раз у рік (m = 1). Розмір річного платежу R складає 3 тис. грн., загальний термін ренти n дорівнює 5 рокам.

Розв’язання

Скористаємося табличним методом розв’язання даної задачі.

	Нарощення грошового потоку				Таблиця 4.2.
№ періоду	1	2	3	4	5	Разом
1. Член ренти,	3	3	3	3	3	15
тис. грн.
2.Час до кінця
ренти, періодів	4	3	2	1	0	–
(років)
3. Множник	(1+0,1)4	(1+0,1)3	(1+0,1)2	(1+0,1)1	(1+0,1)0	–
нарощення
4. Нарощена
величина, тис.	4,39	3,99	3,63	3,3	3	18,31
грн.
(стр.1*стор.3)

Отримане значення (18,31 тис. грн.) помітно більше арифметичної суми окремих членів ренти (15 тис. грн.), однак вона значно менше тієї гіпотетичної суми, що могла бути отримана, якби ми спробували наростити по ставці 10% усі 15 тис. грн. за весь термін ренти. Нарощена сума ренти S отримана шляхом послідовного нарахування відсотків по кожному члену ренти і наступного підсумовування отриманих результатів. Увівши позначення k = номеру періоду ренти, у найбільш загальній формі даний процес можна виразити формулою:

n
S RK *(1 ik )(n k)	.	(4.27)
k 1

У нашому прикладі член ренти R незмінний протягом всього терміну, процентна ставка i також постійна. Тому нарощену величину ренти можна знайти як суму геометричної прогресії з першим членом 3000 і знаменником (1 + 0,2):

	5 1		5 1
S 3000	1 0,1	3000	1 0,1	18,31
	1 0,1 1		0,1		тис. грн.

47

Формула нарощення ануїтету має вигляд:

(1 i)n 1
S R*	.	(4.28)
i

Нарощення грошових потоків має місце при періодичному внесенні на банківський депозит фіксованих сум з метою накопичення фінансового фонду до визначеного моменту часу.

Наприклад, піклуючись про свою старість, людина може поряд з обов'язковими відрахуваннями в державний Пенсійний фонд, вносити частину свого щомісячного заробітку на банківський депозит під проценти. Нарощення суми такого внеску буде відбуватися по описаному вище алгоритму. Таким же шляхом підприємства можуть формувати амортизаційний фонд для планової заміни устаткування.

Зворотний, стосовно нарощення, процес – дисконтування грошового потоку має ще більшу важливість для фінансового менеджменту, тому що в результаті визначаються показники, що являються в даний період основними критеріями прийняття фінансових рішень. Для забезпечення порівнянності даних величина майбутніх надходжень повинна бути приведена до дійсного моменту, іншими словами даний грошовий потік повинен бути дисконтований. Підприємство зможе визначити сьогоднішню вартість майбутніх доходів. При цьому процентна ставка буде виступати як вимірник альтернативної вартості цих доходів: вона показує, скільки грошей могло б отримати підприємство, якби розмістило приведену (сьогоднішню) вартість майбутніх надходжень на банківський депозит під 10%.

Дисконтування грошового потоку припускає дисконтування кожного його окремого члена з наступним підсумовуванням отриманих результатів. Для цього використовується дисконтний множник математичного дисконтування по складній процентній ставці і. Операції нарощення і дисконтування грошових потоків взаємо протилежні, тобто нарощена сума ренти може бути отримана

нарахуванням	процентів по			відповідній складній ставці			і на сучасну
(приведену) величину цієї ж ренти.							Таблиця 4.3.
		Дисконтування грошового потоку.
№ періоду		1		2	3	4	5	Разом
1.Член ренти,		3		3	3	3	3	15
тис. грн.
2. Число років
від початкової		1		2	3	4	5
дати
3.Множник		1/(1+0,1)1		1/(1+0,1)2	1/(1+0,1)3	1/(1+0,1)4	1/(1+0,1)5	–
дисконтування
4.Приведена
величина, тис.		2,73		2,48	2,25	2,04	1,86	11,36
грн. (стр.1*

48

стор.3)

З таблиці видно, що при альтернативних витратах 10% сьогоднішня вартість майбутніх доходів складає 11,36 тис. грн. Саме ця величина і повинна порівнюватися з інвестиціями для визначення доцільності прийняття проекту чи відмовлення від його реалізації. Узагальнюючи алгоритм, по якому виконувалися розрахунки, одержуємо загальну формулу дисконтування грошових потоків:

	n		R
PV			K
			(1 iK )	K			(4.29)
k 1				.
Формула дисконтування ануїтету:
PV R	1 (1 i) n
	*
			i	.			(4.30)
Існують	фінансові інструменти, що						припускають безтермінову сплату

доходів їх власникам (необмежених грошових потоків, тобто вічних рент чи перпетуітетів). Одним із прикладів таких цінних паперів являються так звані консолі (консолідовані ренти), які емітуються британським казначейством починаючи з XVIII століття. У випадку смерті власника вони передаються в спадщину, забезпечуючи тим самим дійсну “нескінченність” грошового потоку. Очевидно, що майбутню вартість ренти такого роду визначити неможливо – її сума також буде прагнути до нескінченності, однак приведена величина вічного грошового потоку може бути виражена дійсним числом. Формула її визначення має такий вигляд:

PV=R/i,

(4.31)

де R – член ренти (разовий платіж), і – складна процентна ставка.

Наприклад, за умовами страхової угоди компанія зобов'язується виплачувати 5 тис. грн. у рік протягом необмеженого періоду, тобто вічно. Чому повинна дорівнювати вартість цього перпетуітета, якщо рівень процентної ставки складе 25% річних?

Розв’язання.

Відповідно до (4.31) поточна вартість усіх майбутніх платежів за договором буде дорівнювати 20 тис. грн. (5/0,25).

Узагальнюючи вищенаведені формули, можна сформулювати правило:

збільшення числа виплат по ренті протягом року (p) збільшує її поточну вартість, збільшення числа нарахувань процентів (m), навпаки, зменшує.

4.4. Визначення основних параметрів грошових потоків.

Необхідність виплачувати проценти кредитору на залишок банківської

49

позички чи комерційного кредиту ставить перед підприємствами задачу розробки оптимального плану погашення боргу. Справа в тому, що залишаючи незмінною суму основної заборгованості протягом всього терміну позики, підприємство буде змушено виплатити максимально можливу суму процентів по цій позиці. Якщо ж воно періодично буде направляти частину коштів на погашення основного боргу, то зможе зекономити на процентах, що нараховуються на залишок заборгованості. Можливі різні стратегії амортизації позик.

Фінансова ситуація. Підприємство може періодично сплачувати фіксовану суму в погашення основної заборгованості. Тоді в кожному новому періоді йому знадобиться менше грошей на оплату процентів, тобто загальні витрати по обслуговуванню боргу за період (термінова сплата) будуть знижуватися. Погашаючи щорічно 2 млн. грн. з загальної суми 3-річної позики 6 млн. грн., виданої під 20 процентів річних, підприємство в 1-й рік виплатить 1200 тис. грн. процентів (6000 * 0,2). Термінова сплата за цей період складе 3200 тис. грн. (2000 + 1200). За другий рік проценти складуть вже 800 тис. грн. (4000 * 0,2), термінова сплата – 2800 тис. грн. (2000 + 800) і т.д. Сума виплачуваних процентів буде знижуватися в арифметичній прогресії з першим членом 1200 тис. грн. (p*і) і різницею -400 тис. грн. (-p * і / n), n означає число членів прогресії, у даному прикладі воно дорівнює 3. Сума цієї прогресії буде дорівнювати 2400 тис. грн. (3 * 1200 – 2 * 3 * 400 / 2), а це значно менше суми процентів, яку довелося би сплатити підприємству у випадку одноразового погашення основного боргу наприкінці терміну позички – 4368тис. грн. (6000 * (1 + 0,2)3 - 6000).

Можливий і інший варіант, коли величина термінової сплати протягом усього терміну позики залишається незмінною, але поступово міняється її структура – зменшується частка, що йде на погашення процентів і збільшується частка, що направляється на сплату по основному боргу. У цьому випадку спочатку необхідно визначити розмір нагальної сплати, що розраховується як величина члена ренти, поточна вартість якої дорівнює первісній сумі боргу при дисконтуванні по процентній ставці, установленої по позичці. Перетворивши формулу приведення ануїтету з попереднього параграфу, знайдемо значення R:

R6000 (1 0.2)3 1 2848.4

0.2.

Для повного погашення заборгованості по позичці знадобиться зробити 3 погашувальних платежі по 2848 тис. грн. кожний. У сумі підприємству прийдеться заплатити по позичці 8544 тис. грн., тобто загальна сума процентів складе 2544 тис. грн. (8544 – 6000), що помітно вище, ніж по першому варіанту.

Порівняння різних варіантів погашення позики тільки за критерієм загальної величини виплачених процентів не цілком коректно – порівнюються різні грошові потоки, для яких крім абсолютних сум має значення, у якому конкретно періоді часу гроші були сплачені чи отримані.

Порівнюючи між собою приведені величини грошових притоків і відтоків по фінансовій операції, визначають найважливіший фінансовий показник -

50

чисту приведену вартість (NPV – від англійського net present value). Найбільш загальна формула визначення цього показника:

NPV IO *PV ,

(4.32)

де I0 – первісні інвестиції в проект (відтоки грошей),

PV – приведена вартість майбутніх грошових потоків по проекту.

При використанні цієї формули всі грошові притоки (доходи) позначаються позитивними цифрами, відтоки коштів (інвестиції, витрати) – негативними.

Звичайно при реалізації інвестиційних проектів спостерігається зворотна картина: спочатку підприємство вкладає кошти, а потім отримує періодичні

доходи від цих вкладень. Тому формула				чистої приведеної вартості (NPV) має
вигляд;
n	R
NPV IO *	K
	(1 iK )	K		(4.33)
k 1		,

де n – загальний термін фінансової операції (проекту),

Rk – елемент дисконтованого грошового потоку (член ренти) у періоді k, k – номер періоду.

Під процентною ставкою i (у даному випадку її називають ставкою порівняння) розуміється річна складна ефективна ставка декурсивних процентів. Строк операції n у загальному випадку виміряється в роках. Якщо ж реальна операція не відповідає цим умовам, тобто інтервали між платежами не дорівнюються року, то як одиниця виміру терміну приймаються частки року, обмірювані, як правило, в місяцях, розділених на 12.

Наприклад, інвестиції в сумі 500 тис. грн. принесуть у перший місяць 200 тис. грн. додаткового прибутку, у другий 300 тис. грн. і в третій – 700 тис. грн. Ставка порівняння дорівнює 25%. Приведена чиста вартість даного проекту складе 1 млн. 147 тис. грн.

Позитивне значення цього показника вказує на фінансову доцільність здійснення операції чи реалізації проекту. Негативна NPV свідчить про збитковість інвестування капіталу таким чином. У прикладі з проектом отримано значення NPV, яке свідчить про його інвестиційну привабливість.

Другим настільки ж важливим фінансовим показником є внутрішня норма прибутковості (IRR – від англійського internal rate of return). Розглянемо ще один інвестиційний проект. Упровадження нової технології вимагає одноразових витрат у сумі 1,2 млн. грн. Потім протягом 4 років підприємство планує отримувати додатковий грошовий потік від цих інвестицій у розмірі: 1-й рік – 280 тис. грн., 2-й рік – 750 тис. грн., 3-й рік – 1 млн. грн. і 4-й рік – 800 тис. грн. Розрахуємо NPV цього проекту при ставці порівняння 30% річних:

n	R
IRR	i
	(1 I)	i
i 0		,

де Ri – негативний грошовий потік в і-му періоді; І - інвестиції в даний проект.

і – складна процентна ставка.